,*,首页,上页,返回,下页,第四章 单元刚度矩阵,计算结构力学,第四章 单元刚度矩阵计算结构力学,1,形成单元刚度矩阵是整个结构分析中的一个重要环节。,静力法推导利用了结构力学中的转角位移方程，也是采用了Euler梁理论的结果。,Euler梁：简单梁,有限元分析的计算精度在很大程度上取决于单元刚度矩阵，也就是取决于,单元形状函数(位移函数),的选择。,4-1 概 述,形成单元刚度矩阵是整个结构分析中的一个重要环节。4-1,2,单元位移函数：,指单元位移场，或称形状函数。,在形成单元刚度矩阵前需事先假设，如梁单元可假设为三次多项式等，位移函数一般选取代数多项式。,一、单元位移函数,单元位移函数：一、单元位移函数,3,二、选择位移函数应遵守的准则,1、允许发生刚体位移(不产生单元自应变)；,2、能反应常应变。,二、选择位移函数应遵守的准则,4,K,ij,的定义,K,的某一行的元素表示中六个分量分别发生单位位移时所引起F中某一分量的值；,K,的某一列的元素表示中某一分量发生单位位移时所引起F中六个分量的值。,三、单元刚度矩阵中行列元素的物理意义,Kij的定义三、单元刚度矩阵中行列元素的物理意义,5,4-2 平面刚架的单元刚度矩阵(静力法推导),分别采用静力法、能量法(虚位移原理和势能驻值原理)推导局部坐标系下的单元刚度矩阵。为方便计，均省略“,”的记号。,4-2 平面刚架的单元刚度矩阵(静力法推导)分别采用,6,计算结构力学第四章课件,7,计算结构力学第四章课件,8,计算结构力学第四章课件,9,1、单刚是对称的，K,ij,=K,ji,反力互等定理,讨论：,讨论：,10,2、单刚是奇异的，不存在逆矩阵，如第一行(列)加第四行(列)等于零，或第二行(列)加第五行(列)等于零。,奇异性的说明：,没有约束的自由体是不能求解位移的，,故要引入足够的约束条件消除刚体位移，这样也就消除了矩阵的奇异性。,2、单刚是奇异的，不存在逆矩阵，如第一行(列)加第四行(列),11,令,则单刚便可写成简洁的形式，以利编程。,3.,K,ii,0,令,12,4-3 利用能量原理推导轴力杆单元的刚度矩阵(积分法),1、选择位移函数,考虑图示桁架单元(等截面直杆)在杆端力作用下杆内应力应变均为常量，根据轴力杆单元的几何条件(应变-位移关系)，,故可将单元位移场选为：,u=a,1,+a,2,x,(1),其中：,u=u(x),即为单元位移函数(单元位移模式),4-3 利用能量原理推导轴力杆单元的刚度矩阵(积分法)1,13,式(1)中：,a,1,刚体位移项；,a,2,常应变项。,满足单元位移模式的,选择准则,。将(1)式写成矩阵形式,u=X,T,a(2),式中：,X,T,=1 x,a,T,=a,1,a,2,x,i,j,x,y,式(1)中：xijxy,14,计算结构力学第四章课件,15,计算结构力学第四章课件,16,y,x,i,j,1,0,yxij10,17,(11),(12),(13),(11),18,5采用虚位移原理推导,任给单元一个虚位移u,*,(x)，并设结点虚位移为,*,，于是虚应变能可写为,(14),(15),(16),5采用虚位移原理推导(14),19,(17),(17),20,(18),(19),(20),(18),21,计算结构力学第四章课件,22,4-4,利用能量原理推导梁单元的刚度矩阵(积分法),仍采用虚位移原理和势能驻值原理进,行推导，现讨论较复杂的等截面直梁单元,(如图)，采用Euler梁理论。,4-4 利用能量原理推导梁单元的刚度矩阵(积分法)仍采,23,1、选择位移函数,因不考虑分布荷载(均简化为等效结点荷载处理)，故有EI,=q(x)=0，由此得,v=v(x)=a,1,+a,2,x+a,3,x,2,+a,4,x,3,=,X,T,a (1),v(x),满足刚体位移及常应变准则。,1、选择位移函数,24,(2),(3),(2),25,计算结构力学第四章课件,26,计算结构力学第四章课件,27,N,i,(x),仍满足：,0l 特性；,在区间内仍按(1)式的形式变化(三次函数)。(7)式称,Hermite,型插值(不考虑函数本身，包括函数的导数均作为内插函数)。,3(广义)应变的插值形式,Ni(x)仍满足：,28,4(广义)应力的插值形式,=(x)=M(x)=EIX,z,(x)=EIB,(10),5用虚位移原理,任给梁单元一个虚位移,v,*,，则结点虚位移为,*,，虚应变能为,4(广义)应力的插值形式,29,计算结构力学第四章课件,30,(11),(12),(13),(11),31,将桁式单元和梁式单元的单元刚度矩阵进行归并，便得到一般刚架单元的刚度矩阵。,上述推导均是在局部系进行的，实际上应为,K,，,由矩阵的旋转变换，在整体坐标系下的单元刚度矩阵应为,K=T,T,KT,将桁式单元和梁式单元的单元刚度矩阵进行归并，便得到一般刚架单,32,在上式K中代入(4-2-3)式,并在T中令,cos=l，sin=m,，完成矩阵相乘，得到,在上式K中代入(4-2-3)式,并在T中令,33,上面给出了经坐标变换后单元刚度矩阵K的表达式，要仔细研究，,发现其刚度元素共有7个常数(其余只是符号的变化),，根据对称性，单元刚度矩阵共有21个系数，均由这7个常数通过符号变化组成。,程序没计详见附录程序中的SUB.QXS，SUB.DKX,也就是说，组成每个变换后的单刚只需7个系数，将其存入计算机(程序)，只需输入该单元相应的参数s，s,1,，s,2,，s,3,，s,4,，便可得到这7个系数，从而由上式可直接得到坐标交换后的单元刚度矩阵K。,上面给出了经坐标变换后单元刚度矩阵K的表达式，要仔细研究,34,习题3 试用静力法和能量法两种方法推导图示单元的刚度矩阵。,可令,l1=l2=l/2,EA,1,=2EA,2,进行推导。,i,j,e,习题3 试用静力法和能量法两种方法推导图示单元的刚度矩阵。,35,习题4 用静力法推导图示梁单元的刚度矩阵。,习题4 用静力法推导图示梁单元的刚度矩阵。,36,习题5 试求图示平面桁架单元的单元刚度矩阵K 已知：E=2.0X10,7,KNm,2,，A=0.2m,2,。单元始端i和末端j的坐标如图示:,若=10,-3,X0.105 0.455 0.22 0.564,T,求单元轴力N。(参考答案N=39.08KN),习题5 试求图示平面桁架单元的单元刚度矩阵K,37,习题6 试求图示平面刚架单元的坐标变换矩阵T以及K、K。已知：E=2X 10,7,KN/m，A=0。25m,2,，I=5X10,-3,m,4,。,部分参考答案：,K,12,=130.76K,22,=76.92K,33,=16.0,K,44,=130.76K,55,=76.92K,66,=16.0X10,4,习题6 试求图示平面刚架单元的坐标变换矩阵T以及K,38,