单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,-,前进水波中的压力分布,在拉格朗日积分式（,7-,）中忽略,v,2,/2,项可得,(7-34),将（,7-15,）代入上式得,有限水深相对压强,：,式中,acos(kx-t),为波面方程。,适于,z,0 (7-35),因此,定义压力反应系数,方程,（,-35,）,简化为：,(7-36),方程（,7-35,）或,(7-36),只适于,z,0,的区域,讨论：,当,z,1,时,（,-35,）对于的正值无效。因小振幅波的近似，即自由面条件（动力学条件）式（,7-11,）中用,=,代替了,=,上式第一项为波动压强，第二项为静水压强。,1.,当,z,1,时（初始,平面以下所有深度）,kp,2.,当时,(7-37),压力分布与取正值的静水压力分布规律相符,3.,当时,(7-38),即底部的静水压力为,/,在波谷下（,为负,):,底部压力大于静水压力,因为,（,7,39,）,在波峰下（,为正,):,底部压力小于静水压力,若已知水平面以下某处的压强，可以反过来预测波高。,底部压强随时间和位置的变化将引起流体在砂床这类疏松介质中的流动。实际流体中会引起波能的粘性耗散。,(7-40),-,波群与波群速,波群,(Wave Group),：多种不同频率的波叠加在,一起形成的波。,设,和,为两个简谐波为：,而,kk,，,，,a,T,相同，,（,7,41,）,迭加后得,合成波,:,因,，,，上式可近似为,使合成波列具有波长,/,，周期,/,和波速（相速度）,/,；,(7-42),合成波由两部分组成：,sin(kx-t),:,负责调制合成波的波长与周期,振幅调制波具有较合成波列大得多的波长和周期,振幅调制波的传播速度,与合成波列的传播,速度 不相同。,:,负责调制合成波列的振幅,波长为,周期为,传播速度为,振幅调制波,的振幅,在,2a,之间随,时间和空间作周期性变化。,振幅调制波将合成波列分成振幅由小到大，又由,大到小的一群。,包络线将合成波分成一个个波群。,群波的长度为：,合成波列称为,波群（,wave group),合成波列具有两个速度,:,相速度,C,群速度,Cg,合成波列以相对速度,(C-Cg),进入振幅调制波的,节点,振幅从零逐渐加大到,2a,又逐渐减小到零。,群速度：,振幅调制波的传播速度为这一群波的,前进速度。,振幅调制波以群速度,C,g,传播,C,g,等于波能的传递速度（待续）,群速度：,(7-43),由,(7-23),式 两边对,k,求导得：,所以：,上述结果代入（,-,）式：,利用,(,-,3),以及,sinh2,x,=2sinh,x,cosh,x,，,适用于,深水波,:,(7-45),（因为 ）,波群速为单独水波前进速度之半,上式简化成,:,(7-44),极浅水波,(,因,):,(7-46),波群速与单独水波前进速度相等,-,船 波,Kelvin,计算了以等速,U,前进的压力点的兴波情况,波系见下图,图中为波峰线。,横波波长,:,(7-47),横波和散波互相干扰并随同压力点一起前进。,船首、船尾形成前、后驻点。驻点处流体,的动能转变成压能,该处压力升高,可认为该,点的造波作用与压力点相同。,船舶航行首尾各有一,Kelvin,波系见下图：,船舶所遭受的兴波阻力与首、尾两个横波系之,间的干扰有很大关系。,兴波阻力系数曲线上的“峰”和“谷”就是这一干扰的结果,见下图：,设计船舶时,应使在设计航速时船舶处于,兴波阻力系数“谷点”的位置,有利干扰兴波。,-,波能的传递及兴波阻力,水波运动是流体动能与势能之间的平衡结果，讨论波能的传递与兴波阻力的研究很有关系。,1.,波浪的总能量为动能与势能之和，动能与,势能相等。,2.,波能与波幅的平方成正比，与水深无关。,3.,波能的传播速度就是群速度。,结论：,对于余弦波，一个波长的,势能,为：,(7-48),动能,：,:,一个波长内由自由表面、底面及两侧面组成的闭边界线,.,利用,Green,公式，将面积分,(,单位宽度的体积分,),变为线积分,:,(7-49),为边界外法线,左右垂直侧面上积分路线相反，积分互相抵消。,水底,:,（,-49,）式中只剩下沿自由表面,OAB,的积分,对于微振幅波，取值近似由,=,代替,=,因此,(7-50),由式,（,7-26,）,(7-51),(7-52),因,gk,tanh,kh,则,将,（,7-51,），（,7-52,）,代入,（,-50,）,：,所以,(7-53),比较（,7-48,）和（,7-53,）得,进行波动能与势能相等,一个波长的波总能量为,(7-54),单位长度波浪的总能量：,在一个周期时间内，通过轴传播的能量等于压力对轴所做的功，即：,波能传递,结论：波能的传播速度就是群速度,证明：,(7-55),由（,7-26,）式得,（,7-56,）,所以,（,7-57,）,由（,-34,）式得,当,const.,这时,gz,为常数，随时间变化,能量传播，只与 有关,由（,7-56,）式有：,(7-58),将式（,7-57,）和（,7-58,）代入（,7-55,）：,因为,z,轴处，,x=0,所以,积分,所以,单位长度波能,群速,(7-59),所以,表明：单位时间通过轴的能量，等于单位,长度波能乘上群速度，即,波能传递速度等于,群速度,。,兴波阻力,船舶在水面航行，兴起波浪，一部分波能由船舶提供，这就是,兴波阻力。,船舶遭受的阻力有：粘性阻力和兴波阻力，兴波阻力是理想流体作用于船舶上的压差力。,船到波随，船波,波速,就,等于船速,时间内船后新增波浪长度由老波以波群速传来一部分能量,由于,=,，故,另一部分由船舶克服兴波阻力做功而提供,则能量平衡方程式为：,总能量,(7-60),对于深水,则,（,7,61,）,这一结论不仅适用于余弦波，其它波动同样适用,深水中船舶所遭受的兴波阻力是波能的一半,兴波阻力的大小与振幅的平方成正比,在极浅水中，波浪前进的最大速度不能超过临界速度 ，,若船的航行速度大于 ，则没有波浪可以跟随它，兴波阻力也就不可能产生。,例,.1,某小船在无限深水的波浪中每分钟摇摆,30,次，求波长，圆频率,，波数，,以及波形传播速度,解,:,船航速为零，单纯由波浪引起的摇摆,则周期,圆频率,波数,波长,波速,例,.3,水深,=10,，自由面上有一沿轴正向,传播的平面小振幅波，波长,=30,求：,）波幅,.1m,时的自由面形状,;,）波的传播速度；,）波幅,0.1m,衡位置在水平面以下,0.5,处,流体质点的运动轨迹；,）水平面以下,1,，,2,处流体的平均压力；,）波系的群速度。,解,:1,）由式（,7-16,）,波数,圆频率由（,-20,）为,波面方程为,）波的传播速度,(,相速度,),）由（,-20,）式流体质点的轨迹方程,其中,取,Z,0,=0.5m,，,a=0.1m,，,h=10m,，,k=0.209,，,得,:,4),由（,-25,）式计算压力,在一个周期内,的均值为零，故有：,压力与静压分布相同,故水下,1,和,2,处流体的压力分别为,:,5),由式,(7-44),可得：,例,7.4,波长为,6.28m,，在某一深度次波面的波高,减小一半，试求这一深度。,所以,z=ln(1/2)=-0.693m,解：流体质点得轨圆半径为,=ae,kz,在波面上,Z,0,=0,r,0,=a,在任意水深,=ae,kz,由题意,r,0,=2a,，,则,=ae,kz,，,a=2 ae,kz,所以,e,kz,1/2,K=2,/=6.28/6.28=1,e,kz,=,e,z,=,1/2,例,7.6,设无限深水中波浪得波长为,15m,和,150m,，,求：,1,）这两种波长的波速和周期。,2,）当波浪传播入水深为,10m,的水域时，讨论,波浪运动的变化。,解：,1,）对于深水：,则,波长为,15m,的波进入,10m,水域后仍为深水波，波速和周期仍为上述计算结果。,当,h=10m,时,2,）,对于深水：,当,h=10,米时，采用有限水深公式计算，,这里波长暂用,150m,，波速暂用,15.3,进行迭代：,上述计算作为一级近似，下面进一步计算：,二级近似计算与一级近似计算结果很接近，可近似作为最终结果。,上述结果表明：,水波由深水域进入浅水域时，波,长增加，波速减慢，周期增加。,