7.,*,第,7,章 平面弯曲内力,7.1,平面弯曲的概念与实例,7.2,平面弯曲内力,剪力与弯矩,7.3,剪力图与弯矩图,7.4,弯矩、剪力和载荷集度间的关系,小结,7.1,平面弯曲的概念与实例,弯曲是工程实际中最常见的一种基本变形。,例如：火车轮轴受力后的变形；,工厂车间里的行车受力后的变形；,还有水泥梁、公路上的桥梁等受力后的变形。,7.1.1,平面弯曲的概念与实例,弯曲：构件在通过其轴线的面内，受到力偶或垂直于轴线的横向外力的作用（受力特点），杆的轴线由直线变为曲线（变形特点）。,平面弯曲：如果梁有一个或几个纵向对称面（梁的轴线应为该纵向对称面内的一条平面直线，且该纵向对称面与各横截面的交线也是各横截面的对称轴），当作用于梁上的所有外力（包括横向外力、力偶、支座反力等）都位于梁的某一纵向对称面内时，使得梁的轴线由直线变为在纵向对称面内的一条平面曲线，这种弯曲变形就称为平面弯曲。,梁：变形为弯曲变形或以弯曲变形为主的杆件，工程上习惯称之为,梁,。,7.1,平面弯曲的概念与实例,1.,简支梁 梁的一端为活动铰支座，另一端为固定铰支座。,2.,外伸梁 梁的一端或两端伸出支座之外的简支梁。,3.,悬臂梁 梁的一端为固定端支座、另一端自由。,根据支座对梁约束的不同特点（支座可简化为三种形式：活动铰支座、固定铰支座、固定端支座），简单的梁有三种类型：,一、梁的计算简图,简化为一直杆并用梁的轴线来表示。,二、梁的分类,7.1.2,梁的计算简图及分类,7.1,平面弯曲的概念与实例,又如：为了减少悬臂梁的变形和提高其强度，在梁的自由端增设一活动铰支座后，梁也就成了,一次超静定梁,。,例如：为了减少简支梁的变形和提高其强度，在梁的跨中增设一活动铰支座后，梁就成了,一次超静定梁,。,这三种梁承受载荷后的支座反力都可由静力平衡方程求得，故一般将它们统称为,静定梁,，如梁的支座反力的数目多于静力平衡方程的数目的梁，用静力平衡方程无法求得全部支座反力，这类梁称为,超静定梁,。,7.1,平面弯曲的概念与实例,7.2,平面弯曲内力,剪力与弯矩,7.2.1,截面法求内力,问题：梁在发生平面弯曲变形时，横截面上会产生何种内力素？在横截面上会有几种内力素同时存在？如何求出这些内力素？,例：欲求图示简支梁任意截面,1-1,上的内力。,1.,截开：,在,1-1,截面处将梁截分为左、右两部分，取左半部分为研究对象。,2.,代替：,在左半段的,1-1,截面处添画内力 、，,(,由平衡解释,),代替右半部分对其作用。,3.,平衡：整个梁是平衡的，截开后的每一部分也应平衡。,由,得,由,得,如取右半段为研究对象，同样可以求得截面,1-1,上的内力 和 ，但左、右半段求得的 及 数值相等，方向（或转向）相反。,7.2.2,剪力和弯矩,：是横截面上切向分布内力分量的合力，因与截面,1-1,相切，故称为截面,1-1,的剪力。,：是横截面上法向分布内力分量的合力偶矩，因在纵向对称面内且与截面垂直，故称为截面,1-1,的弯矩。,7.2,平面弯曲内力,剪力与弯矩,由于取左半段与取右半段所得剪力和弯矩的方向（或转向）相反，为使无论取左半段或取右半段所得剪力和弯矩的正负符号相同，必须对剪力和弯矩的正负符号做适当规定。,剪力的正负：,使微段梁产生左侧截面向上、右侧截面向下的剪力为正，反之为负。,弯矩的正负：,使微段梁产生上凹下凸弯曲变形的弯矩为正，反之为负。,归纳剪力和弯矩的计算公式：,7.2,平面弯曲内力,剪力与弯矩,（截面上的剪力等于截面一侧所有横向外力的代数和。）,（截面上的弯矩等于截面一侧所有外力对截面形心取力矩的代数和。）,公式中外力和外力矩的正负规定：,剪力公式中外力的正负规定：截面左段梁上向上作用的横向外力或右段梁上向下作用的横向外力在该截面上产生的剪力为正，反之为负。以上可归纳为一个简单的口诀,“,左上、右下为正,”,。,7.2,平面弯曲内力,剪力与弯矩,弯矩公式中外力矩的正负规定：截面左段梁上的横向外力（或外力偶）对截面形心的力矩为顺时针转向或右段梁上的横向外力（或外力偶）对截面形心的力矩为逆时针转向时，在该截面上产生的弯矩为正，反之为负。以上也可归纳为一个简单的口诀,“,左顺、右逆为正,”,。,例,7.1,简支梁如图所示。试求图中各指定截面的剪力和弯矩。,解（,1,）求支反力 设 、方向向上。,由,及,（,2,）求指定截面的剪力和弯矩,7.2,平面弯曲内力,剪力与弯矩,可求得,kN,F,kN,F,B,A,10,10,=,=,（由,1-1,截面左侧计算）,7.2,平面弯曲内力,剪力与弯矩,（由,1-1,截面左侧计算）,10,1,10,1,1,kN,m,F,M,A,=,=,=,（由,2-2,截面左侧计算）,2,12,10,2,kN,F,F,F,A,S,-,=,-,=,-,=,（由,2-2,截面左侧计算）,10,0,1,10,0,1,2,kN,m,F,F,M,A,=,-,=,-,=,（由,3-3,截面右侧计算）,2,10,2,4,2,3,kN,F,q,F,B,S,-,=,-,=,-,+,=,（由,3-3,截面右侧计算）,8,2,10,1,2,4,4,2,1,2,3,kN,m,F,q,M,M,B,e,=,+,-,-,=,+,-,-,=,（由,4-4,截面右侧计算）,2,10,2,4,2,4,kN,F,q,F,B,S,-,=,-,=,-,+,=,（由,4-4,截面右侧计算）,12,2,10,1,2,4,2,1,2,4,kN,m,F,q,M,B,=,+,-,=,+,-,=,从以上,1-1,、,2-2,截面的剪力值可以看出，在集中力 作用处的两侧截面的,剪力值将发生突变，,突变值就等于该集中力 的大小；而从,3-3,、,4-4,截面的弯矩值可以看出，在集中力偶 作用处的两侧截面的,弯矩值将发生突变,，突变值就等于该集中力偶矩 的大小。,7.2,平面弯曲内力,剪力与弯矩,7.3.1,剪力方程与弯矩方程,梁横截面上的剪力与弯矩是随着截面的位置而发生变化的，以横坐标 表示横截面的位置，则其剪力和弯矩都可以表示为 的函数。,即：,将其称为梁的剪力方程与弯矩方程。,7.3,剪力图与弯矩图,列内力方程时应根据梁上载荷的分布情况分段进行，集中力（包括支座反力）、集中力偶的作用点和分布载荷的起、止点均为分段点。,7.3.2,剪力图与弯矩图,为了一目了然地表示出梁的各横截面上剪力与弯矩沿梁轴线的分布,情况，通常可以 为横坐标，以各内力为纵坐标，绘出 和,的函数图象，将其称为剪力图与弯矩图。,从剪力图与弯矩图上可以很方便地确定梁的最大剪力和最大弯矩，从而迅速确定梁危险截面的位置。,绘制剪力图与弯矩图的最基本方法是列剪力方程与弯矩方程绘制内力图。,例,7.2,如图所示简支梁,AB,，受向下均布载荷 作用。试列出梁的剪力方程与弯矩方程。并画出剪力图与弯矩图。,7.3,剪力图与弯矩图,7.3,剪力图与弯矩图,解：,1,）求支反力,由对称关系，。,2,）列剪力方程和弯矩方程,（,a,）,（,b,）,3,）绘制剪力图与弯矩图,7.3,剪力图与弯矩图,由 式（,a,）可知剪力图为一条斜直线，斜率为 ，向下倾斜（即左高右低）。,由式（,b,）可知弯矩图为一条开口向下的抛物线。可采用三点绘图法绘制其弯矩图。,(1),起点,(2),终点,根据 时，；时，。,即可绘出剪力图。,（,a,）,（,b,）,（,3,）极值点（抛物线的最高点或最低点）,令,可得,（从而确定了极值截 面的位置）,将 代入弯矩计算公式得 （此即抛物线顶点的纵坐标，即可绘出抛物线，也就是梁的弯矩图。,由剪力图与弯矩图可以很方便地看出：,最大剪力发生在两端截面的内侧，其绝对值为 ；,最大弯矩发生在中截面，。,7.3,剪力图与弯矩图,例,7.3,图,7.14a,所示简支梁,AB,，在,C,点受集中力,F,作用，试列出梁的剪力方程和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。,解,1,）求支反力 由平衡方程得,内力，即可得,AC,的剪力方程和弯矩方程：,2,）分段列剪力方程和弯矩方程,对,AC,段，在段内取坐标为 的截面计算,7.3,剪力图与弯矩图,(a),(b),3,）绘制剪力图和弯矩图,7.3,剪力图与弯矩图,同理可得,CB,段的剪力方程和弯矩方程：,(d),(c),式（,b,）表示在,AC,段内的弯矩图是一条向右上方倾斜的斜直线，,由,决定。,而式（,d,）表示在,BC,段内的弯矩图是一条向右下方倾斜的斜直线，,由,决定整个梁的弯矩,图在集中力,F,作用处形成一折角。,由 图和 图可知，当 时，,CB,段内任意截面上的剪力值为最,大，；当 时，,AC,段内任意截面上的剪力值为最大，,7.3,剪力图与弯矩图,从 图上可以看出，在集中力,F,作用的,C,截面处，剪力值发生了突变，突变值就等于该集中力 的大小。,例,7.4,图示简支梁,AB,，在,C,截面处受集中力偶 作用。试列出梁的剪力方程和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。,解,1,）求支反力,7.3,剪力图与弯矩图,。梁上的最大弯矩值发生在集中力,F,作用的,C,截面上，其值,为：。,同理，可得,CB,段的剪力方程和弯矩方程：,7.3,剪力图与弯矩图,2,）分段列剪力方程和弯矩方程,对,AC,段，在段内取坐标为 的截面计算内力，即可得,AC,的剪力方程和弯矩方程：,由式（,a,）和（,c,），图为一条平行于 轴的水平线。由此可见，,集中力偶对 图无影响，梁上任一截面的剪力均为最大值 。,由式（,b,）和（,d,）可知，在,AC,和,CB,段内，弯矩图均为斜率为,的斜直线，相互平行，但在集中力偶 作用的,C,截面处，图发生突变，,突变的绝对值等于集中力偶的大小。若 ，则在,C,点的左侧截面上有,最大弯矩 ；若 ，则在,C,点的右侧截面上有最大弯,7.3,剪力图与弯矩图,矩 。,如何能比较简单、方便地绘制梁的剪力图与弯矩图呢？,下面我们来看一下前面学习过的例,7.2,，梁的剪力方程与弯矩方程分别为：,7.4,弯矩、剪力和载荷集度间的关系,如果将弯矩方程和剪力方程分别对 求导数，求导的结果恰好是剪力方程和载荷集度（设,q,以向上时为正）。即：,（,7.3,）,7.4,弯矩、剪力和载荷集度间的关系,设图示简支梁,AB,上作用有任意载荷，作用于 微段梁上的载荷集度可以认为是均布的。建立直角坐标系（一般以左端面的形心,A,为坐标原点，规定分布载荷向上时为正。,在这些力作用下，由于整个梁原本是平衡的，所以 微段梁也处于平衡状态。,取 微段梁为研究对象，设其左侧截面上的剪力与弯矩分别为 和 ；右侧截面上的剪力与弯矩分别为 和 。,由,（,a,）,由,（,b,）,由（,a,）可得：,（,7.3a,）,由（,b,）略去二阶微量,整理后可得：,（,7.3b,）,将（,7.3b,）代入（,7.3a,）可得：,（,7.3c,）,综合以上三式，可写为：,式（,7.3a,）表示：剪力图中曲线上某点的斜率等于梁上对应点处的载荷集度；式（,7.3b,）表示：弯矩图中曲线上某点的斜率等于梁上对应截面上的剪力。,7.4,弯矩、剪力和载荷集度间的关系,7.4,弯矩、剪力和载荷集度间的关系,式（,7.3b,）可改写为积分形式，即,（,7.4b,）,式（,7.4b,）表示：梁上 截面上的弯矩等于 截面上的弯矩与对应 截面之间剪力图曲线,与,x,轴所围几何图形面积的代数和。,但要注意的一点是：当梁上有集中力作用时，该力作用的截面处式（,7.3a,）不适用；而在梁上有集中力偶作用的截面处式（,7.3b,）和式,（,7.4b,）不适用。,掌握了弯矩、剪力和载荷集度之间的关系，有助于正确、简捷地绘制剪力图与弯矩图。同时，也可使用其检查已绘制好的剪力图与弯矩图是否有错误。,7.4,弯矩、剪力和载荷集度间的关系,根据式（,7.3,）和集中力、集中力偶作用的截面处内力图的变化规律，可以将剪力图、弯矩图和梁上载荷三者之间的规律小结见表,7.1,。,7.4,弯矩、剪力和载荷集度间的关系,利用表,7.1,所归纳的规律，只需要计算梁上某些特殊截面的内力值，就可