,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,同学们，我们学习了误差理论的基本概念。那么如何处理观测数据、在处理数据中遵循何种原则？,本次课程我们将简要地叙述这一问题。,第四章 平差数学模型与最小二乘原理,第四章 平差数学模型与最小二乘原理,4.1 测量平差概述,4.2 函数模型,4.3 函数模型线性化,4.4 测量平差的数学模型,4.5 参数估计与最小二乘原理,Chapter 4 Mathematical Model of Adjustment and Principle of Least Squares,4.1 测量平差概述Chapter 4 Mathemati,4.1 测量平差概述 General,一、测量控制网简介,1.高程控制网(水准网,或三角高程网),包括闭合水准网和符合水准网、三角高程网,网中元素：已知高程点，未知高程点和高差观测值,距离 测站数,2.平面控制网,1）三角网,：包括测角三角网、测边三角网和边角同测三角网。,（1）测角三角网：包括独立三角网和符合三角网。,网中元素：已知点、未知、角度观测值,4.1 测量平差概述 General一、测量控制网简介2.,（2）测,边三角网：,包括独立测边网和符合测边网,网中元素：已知点，未知点和观测边长,（3）,边角三角网：,包括独立边角网和符合边角网。,网中元素：已知点，未知点，观测角度和边长,（2）测边三角网：（3）边角三角网：,2,）导线网：,包括独立导线网和符合导线网。,网中元素：已知点，未知点，观测角度和边长。,3）三维,GPS,控制网,网中元素：已知点，未知点，基线向量。,2）导线网：包括独立导线网和符合导线网。,二、必要起算数据,确定几何（物理）图形的位置所必须具有的已知数据：起算数据,水准网（三角高程网）：,测角网：,测边网和边角网：,二、必要起算数据,确定几何（物理）图形的位置所必须具有的已知数据：起算数据,水准网（三角高程网）：,：一个已知点高程,确定几何（物理）图形的位置所必须具有的已知数据：起算数据：一,确定几何（物理）图形的位置所必须具有的已知数据：起算数据,测角网：,（,1,）两个相邻点坐标,（,2,）一个已知点坐标，一个相邻已知方位，,一个相邻已知边长。,确定几何（物理）图形的位置所必须具有的已知数据：起算数据（1,测边网和边角网：,一个已知点坐标，一个相邻已知方位，,一个相邻已知边长或两个相邻点坐标。,测边网和边角网：一个已知点坐标，一个相邻已知方位，,三、必要观测,必要观测/必要元素：唯一确定一个,确定几何、物理模型,的形状、大小所必须进行的观测称为必要观测，其符号,用符号,t,表示。,必要元素的特点：,（1）元素的个数仅与几何模型有关而与实际观测量无关,（2）必要元素之间函数独立,三、必要观测,必要观测量？,条件方程？,必要观测量？,条件方程？,必要观测量？,四、多余观测,必要观测之外的观测称为多余观测，其数目用符号,r,表示。多余观测数观测总数必要观测数（,r=n-t,）,与控制,网,有关几个基本概念：,必要观测、观测量、,起算数据、多余起算数据,待求量,四、多余观测,必要观测的特点：,元素的个数仅与几何模型有关而与实际观测量无关,必要元素之间函数独立,问题：,多余观测：r=n-t nt,条件方程：,观测误差存在使得测量平差有必要，多余观测使得测量平差得以实现,仅有必要观测能否完成测量工作？观测结果是否可靠？,必要观测的特点：仅有必要观测能否完成测量工作？观测结果是否可,几何量符号表示,1、必要观测次数 t（个数和类型）,2、实际观测次数n,3、多余观测次数 r,4、观测值,5、真值,6、真误差,7、估值,8、平差值,几何量符号表示1、必要观测次数 t（个数和类型）,五、几何模型,1、确定几何模型的必要元素（必要观测量）,（1）几何模型的形状2个,（2）形状、大小3个,（3）形状、大小、位置6个,2、必要元素的选取与性质,（1）能唯一确定该模型,（2）最少需要,（3）元素间不存在任何确定的函数关系,五、几何模型1、确定几何模型的必要元素（必要观测量）,测边网和边角网：,一个已知点坐标，一个相邻已知方位。,三角形,大地四边形,中心多边形,扇形,测边网和边角网：一个已知点坐标，一个相邻已知方位。三角形大地,由于观测不可避免地存在偶然误差，当nt时，几何,模型中应该满足r=n-t个条件方程，实际存在闭俣差而并不,满足，如何调整观测值，即对观测值合理地加上改正数，使,其达到消除闭合差的目的，这是测量平差的主要任务。一,个测量平差问题，首先要由观测值和待求量间组成数学模,型，然后采用一定的平差原则对待求量进行估计，这种估计,要求是最优的，最后计算和分析成果的精度。,观测误差存在使得测量平差有必要，多余观测使得测量平差得以实现,由于观测不可避免地存在偶然误差，当nt时，几何 观测,函数模型：,是描述观测量与未知量间的数学函数关系模型，是确定客观实际的本质或特征的模型。,几何模型：各种测量控制网,几何观测量：方向、角度、高差、边长,物理模型：与时间、速度、加速度等物理量相关的模型；,物理观测量：时间、速度、加速度,4.2 测量平差函数模型 Functional Model,函数模型：4.2 测量平差函数模型 Functional,一、条件平差的函数模型,以条件方程为函数模型的平差方法，称为条件平差法。,出发点：观测量之间的函数关系式条件方程,在具体测量问题中，实际观测次数 n，必要观测次数t，则多,余观测次数r，那么可建立(n-t)个条件方程，即：,测量平差函数模型,一、条件平差的函数模型测量平差函数模型,二、间接平差法,选择几何模型中t个独立量为平差的参数，将每一个观测量表达成,所选参数的函数，以此为平差的函数模型，称为间接平差法。,在具体测量问题中，实际观测次数n，必要观测次数t，则多余,观测次数r=(n-t)。选择t个函数独立的参数后可列出观测方程：,线性方程情况下,其中,二、间接平差法选择几何模型中t个独立量为平差的参数，将每一个,三、附有参数的条件平差法,线性方程情况下,三、附有参数的条件平差法线性方程情况下,四、附有限制条件的间接平差法,线性方程情况下,四、附有限制条件的间接平差法线性方程情况下,4.3 函数模型线性化,Linearization of Functional Model,四种平差方法的一般形式分别为,条件平差法：,间接平差法：,4.3 函数模型线性化 Linearization of,附有参数的条件平差法：,附有条件的间接平差法：,附有参数的条件平差法：,若平差的函数是非线性的，平差之前就要进行线性化。,线性化的方法是应用台劳级数展开，保留一次项,对于函数,按台劳级数展开则有,若平差的函数是非线性的，平差之前就要进行线性化。对于函数按台,令,则函数F,的线性形式是,令则函数F的线性形式是,4.4,测量平差的数学模型,Mathematical Model,数学模型,函数模型,随机模型：,4.4 测量平差的数学模型 Mathematical Mo,一、平差的随机模型,随机模型：,描述平差问题的中随机量及其相互间统计相关性质的模型,随机模型描绘的是观测值的统计性质，是通过观测值的数学期望和协方差阵（协因数阵）来表示，借以说明观测值是否受系统误差的影响、观测值的精度季它们是否相关等。,一、平差的随机模型随机模型：描述平差问题的中随机量及其相互,二、数学模型,1、条件平差,2、间接平差（Gauss-Markoff模型）,二、数学模型1、条件平差,3、附有参数的条件平差,4、附有限制条件的间接平差法,3、附有参数的条件平差,4.5,参数估计与最小二乘原理,Estimation of Parameters and Principles of Least Squares,一、参数估计及最优性质,平差问题是由于测量中进行了多余观测而产生，不论何种平差方法，平差最终目的都是对参数和观测量（或）作出某种估计，并评定其精度。所谓评定精度，就是对待估量的方差与协方差作出估计。所以，可统称为对平差模型的参数进行估计。,无偏性,一致性,有效性,4.5参数估计与最小二乘原理 Estimation of,一、参数估计及最优性质,数理统计理论证明，具有无偏性、最优性的估计量必然是一致性估计量，所以测量平差中参数的最佳估值要求是最优无偏估计量。由于平差模型是线性的，最佳估计也称为最优线性无偏估计。,一、参数估计及最优性质,二、最小二乘原理,测量平差就是测量数据调整，调整原则是使得观测值残差的平方和极小为原则：,观测量：,调整后的估值,改正数残差,观测值权阵,二、最小二乘原理观测量：,小结,重点：理解必要观测、必要起算数据、多余观测的概念,掌握：函数模型、随机模型的涵义、作用和实质,理解：四种平差方法的函数模型,函数模型线性化的方法,最小二乘原理,了解：最小二乘估计的性质,小结重点：理解必要观测、必要起算数据、多余观测的概念,