第二章,2.2,椭圆,2.2.1,椭圆及其标准方程,(,二,),加深理解椭圆定义及标准方程，能熟练求解与椭圆有关的轨迹问题,.,学习目标,知识点一椭圆标准方程的推导,答案,思考,观察椭圆的形状，你认为怎样选择坐标系才能使椭圆的方程较简单？并写出求解过程,.,答案,(1),如图所示，以经过椭圆两焦点,F,1,，,F,2,的直线为,x,轴，线段,F,1,F,2,的垂直平分线为,y,轴，建立直角坐标系,xOy,.,(2),设点：设点,M,(,x,，,y,),是椭圆上任意一点，且椭圆的焦点坐标为,F,1,(,c,0),，,F,2,(,c,0).,答案,(5),从上述过程可以看到，椭圆上任意一点的坐标都满足方程,，以方程,的解,(,x,，,y,),为坐标的点到椭圆的两个焦点,F,1,(,c,0),，,F,2,(,c,0),的距离之和为,2,a,，即以方程,的解为坐标的点都在椭圆上,.,由曲线与方程的关系可知，方程,是椭圆的方程，我们把它叫做椭圆的标准方程,.,(2),方程,Ax,2,By,2,1,表示椭圆的充要条件,是,.,答案,梳理,(1),椭圆的标准方程的形式,A,0,，,B,0,且,A,B,思考,1,已知椭圆的标准方程，怎样判定椭圆焦点在哪个坐标轴上？,答案,答案,看,x,2,，,y,2,的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上,.,较大的分母是,a,2,，较小的分母是,b,2,.,如果,x,2,项的分母大，焦点就在,x,轴上，如果,y,2,项的分母大，则焦点就在,y,轴上,.,知识点二椭圆的焦点位置确定,思考,2,椭圆方程中的,a,、,b,以及参数,c,有什么意义，它们满足什么关系？,答案,答案,椭圆方程中，,a,表示椭圆上的点到两焦点间距离的和的一半，可借助图形帮助记忆，,a,、,b,、,c,(,都是正数,),恰构成一个直角三角形的三条边，,a,是斜边，,c,是焦距的一半，叫半焦距,.,a,、,b,、,c,始终满足关系式,a,2,b,2,c,2,.,梳理,(1),椭圆的焦点位置确定是由,x,2,，,y,2,的系数大小决定的,.,(2),当求解椭圆标准方程，遇到其焦点位置不定时，需分类讨论,.,返回,解,椭圆的焦点在,x,轴上，,解析答案,类型一椭圆标准方程的确定,例,1,求适合下列条件的椭圆的标准方程,.,(1),两个焦点的坐标分别是,(,4,0),，,(4,0),，椭圆上任意一点,P,到两焦点的距离之和等于,10,；,由题意得,c,4,2,a,10,，,a,5,，,b,2,a,2,c,2,9.,解析答案,反思与感悟,解,设椭圆的方程为,mx,2,ny,2,1(,m,0,，,n,0,，且,m,n,),，,求解椭圆的标准方程，可以利用定义，也可以利用待定系数法，选择求解方法时，一定要结合题目条件，其次需注意椭圆的焦点位置,.,反思与感悟,解析答案,跟踪训练,1,求适合下列条件的椭圆的标准方程,.,解,椭圆的焦点在,y,轴上，,b,2,a,2,c,2,6.,解析答案,(2),焦点在,y,轴上，且经过两个点,(0,2),和,(1,0).,解,椭圆的焦点在,y,轴上，,又椭圆经过点,(0,2),和,(1,0),，,类型二相关点法在求解椭圆方程中的应用,解析答案,反思与感悟,例,2,如图，在圆,x,2,y,2,4,上任取一点,P,，过点,P,作,x,轴的垂线段,PD,，,D,为垂足,.,当点,P,在圆上运动时，求线段,PD,的中点,M,的轨迹,.,反思与感悟,解,设点,M,的坐标为,(,x,，,y,),，点,P,的坐标为,(,x,0,，,y,0,),，,把,x,0,x,，,y,0,2,y,代入方程,，,所以点,M,的轨迹是一个椭圆,.,当题目中所求动点和已知动点存在明显关系时，一般利用相关点的方法求解,.,用相关点法求轨迹方程的基本步骤为,(1),设点：设所求轨迹上动点坐标为,P,(,x,，,y,),，已知曲线上动点坐标为,Q,(,x,1,，,y,1,).,反思与感悟,(3),代换：将上述关系式代入已知曲线方程得到所求动点轨迹的方程，并把所得方程化简即可,.,解析答案,解,设,M,点的坐标为,(,x,，,y,),，,P,点的坐标为,(,x,P,，,y,P,),，,返回,解析答案,练习,1,2,3,4,5,解析,因焦点在,x,轴上，故,m,1,，故选,A.,A,1,2,3,4,5,解析答案,1,2,3,4,5,解析,由已知,|,AB,|,|,AC,|,|,BC,|,18,，,|,BC,|,8,，得,|,AB,|,|,AC,|,10,.,由,椭圆的定义可知，点,A,的轨迹是椭圆的一部分，且,2,a,10,2,c,8,，,即,a,5,，,c,4,，所以,b,2,a,2,c,2,25,16,9,，,当点,A,在直线,BC,上，即,y,0,时，,A,，,B,，,C,三点不能构成三角形,.,答案,A,1,2,3,4,5,解析答案,解析,由椭圆定义知,|,PF,1,|,|,PF,2,|,2,a,8.,又,|,PF,1,|,|,PF,2,|,2,，,|,PF,1,|,5,，,|,PF,2,|,3,.,|,PF,2,|,2,|,F,1,F,2,|,2,|,PF,1,|,2,，,PF,1,F,2,为直角三角形,.,B,1,2,3,4,5,解析答案,1,2,3,4,5,解析答案,5.,已知椭圆的焦点是,F,1,(,1,0),，,F,2,(1,0),，,P,为椭圆上一点，且,|,F,1,F,2,|,是,|,PF,1,|,和,|,PF,2,|,的等差中项，则椭圆的方程为,_.,解析,由题设知,|,PF,1,|,|,PF,2,|,2|,F,1,F,2,|,4,，,2,a,4,2,c,2,，,规律,与方法,(1),两种形式的椭圆的标准方程的比较如下表：,相,同,点,定义,平面内到两个定点,F,1,、,F,2,的距离的和等于常数,(,大于,|,F,1,F,2,|),的点的轨迹,a,、,b,、,c,的关系,a,2,b,2,c,2,返回,