单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第四章 Bessel函数的性质及其应用,李莉,信息与通信工程学院,4.1 Bessel方程的引出,例1 设有半径为b的薄圆盘，其侧面绝热，假设圆盘边界上的温度恒保持为零度，且初始温度，求圆盘内瞬时温度分布规律。,解：这个问题可以归结为求解以下定解问题,用别离变量法解这个问题。先将t的函数别离出来：,令,代入到方程，得：,用 除上式两边得：,得到：,1,2,1,2,方程1的通解是：,3,方程(2)称为二维Helmholtz方程。,为了求出这个方程满足条件 的解，采用平面极坐标系。,方程2和边界条件改写成：,别离变量，令,代入方程得：,用 遍乘各项：,移项：,整理得：,5,6,5,6,由5和周期条件 得：,相应的本征函数系为：,将 代入到6，得：,与标准Bessel方程相比：,除了变量名不同外，就是第三项中 的系数是 而不是1。,当时，作变换 方程6就变成了标准Bessel方程：,6,因此方程(6)也称为Bessel方程。其通解是：,7,由定解条件及温度是有限的，有：,8,代入7，得：,因此有：,9,这就是在第一类边界条件下，Bessel函数的本征值问题。,6,当 时，方程6变成：,这是Euler方程，其通解是：,由边界条件8可知有：,因此当 时，带有第一类边界条件的Bessel方程没有非零解。,当 时，令 ，方程6可以写成如下形式：,修正Bessel方程,4.2 Bessel函数的性质,4.2.1 Bessel函数的根本形态及本征值问题,第一类和第二类Bessel函数的图像如图：,图 a,图b,在x=0有有限值，在x=0无有限值。,1,所以在要求在坐标原点有有限值的问题中，第二类Bessel函数便不能使用。,2,Bessel函数 和 都有无穷多个单重实零点，且 的实零点在,x,轴上关于原点是对称分布的，因而 必有无穷多个单重正零点。,图 a,图b,图 a,图b,3,的零点与 的零点是彼此相间分布的，即在 的任意两个相邻零点之间必存在且仅存在一个 的零点。以 表示 的第n个正零点，有：,4,当 无限趋近于 ，即 几乎是以 为周期的周期函数，和 有如下渐进公式：,、的零点,5,在解定解问题时，要用到Bessel函数零点的数值，为了便于工程上的应用，Bessel函数零点的数值已经被详细地计算出来，并且列成了表格，在一般的?数学手册?上都可以查到。表给出了 和 的前十个正零点。,表,9,利用上述关于Bessel函数零点的讨论，解决本征值问题,有：,因为,必有,其中 是 的第,n,个正零点。,由此得到本征值：,相应的本征函数是：,或,对应第一类或第二类边界条件。,一般地，Bessel方程的本征值问题是,对于第一类边界条件，本征值由 的零点确定。对于第二类齐次边界条件，本征值由Bessel函数一阶导数的零点确定。,例1 证明空心圆柱上Bessel方程的第一类边值的本征值问题,的特征函数为,其中 是 的第m个正根。,证明：Bessel方程的通解是,由边界条件，有：,由于 、不全为零，因此上述方程组的系数行列式为零,所以本征值 满足方程,假设方程,本征函数为：,的第m个根是 ，那么,4.2.2 Bessel函数的递推公式,整数阶的Bessel函数是：,*,满足如下的递推公式：,1,2,3,4,5,6,证明：在以上六式中，我们只证明的开头两式，后面四式可以从这两个根本公式的变形或适当组合得到。实际上，只要将头两式左端的微商求出来，就可以得到式3和4；将式3和4相减和相加，即可得到式5和式6。,下面证明式1和式2。,将式*代入式1之左端，得,*,1,将求和指标 变换成 即 ，那么有：,递推公式1得证。,*,2,将式*代入式2之左端，有：,递推公式2得证。,关于递推公式的几点补充说明：,I将式5：,改写成：,7,高阶Bessel函数可用此式连续降阶。,II式2：,的特例m=0是：,8,由此可得不定积分公式：,9,III由式1 和式2,10,11,可得不定积分公式：,作为Bessel函数递推公式的应用，我们考虑高阶半整数阶Bessel函数。在第3章中我们已经知道：,利用递推公式7：,得到：,同理可得：,一般地有：,其中微分算子 是算子 连续作用n次的缩写。如：,由以上分析可见，半整数阶Bessel函数,都是初等函数。,例2：利用Bessel函数的递推公式证明,证明：1由,并应用分部积分法有：,2在上式中，取n=3,并再次利用,有,在上式中代入积分上下限并注意,其中c是积分常数。,得：,4.2.3 Bessel函数的正交性,由写成Sturm-Liouville型的Bessel方程,可知Bessel函数的权重是,故正交关系为：,4.2.3 Bessel函数的模方,*,证明：用 乘以下Bessel方程,得到：,可以改写成：,将上式对 从0到b进行积分，得：,进行分部积分，可得：,上式左端第二项，在下限 处的值为零。因为当 时，它显然为零；当 时，由于 ，故其值也为零。,所以有,公式得证。,注意，在公式的证明中，,并未涉及边界条件，它对三类齐次边界条件都适用。针对不同的边界条件，公式可以简化。,1对第一类齐次边界条件,因为这时有,式*,化为：,1,上式的最后一步中，已利用了递推公式3和此时的边界条件。,2对第二类齐次边界条件,因为这时有 ，式*化为,2,3对第三类齐次边界条件,因为这时有：,所以模方公式化为：,3,4.2.4 按Bessel函数的广义Fourier级数展开,如果函数 满足展开成以下绝对且一致收敛级数的条件，就可以展开成下面的FourierBessel级数：,按正交性及模方公式，级数的系数按下面公式计算：,求,就是求包含Bessel函数的积分的问题。,例3：在第一类齐次边界条件下，把定义在 上的函数,按零阶Bessel函数 展开成级数。,解：按展开式与系数计算公式，有,其中,其中 为模方。,因为属于第一类齐次边界条件,由零阶Bessel函数的零点 确定本征值为：,按模方计算公式(1)有：,为求积分,先计算以下不定积分：,1,2由递推公式和分部积分法，有,利用贝塞尔函数的降阶公式可以将结果简化：,于是有：,所求级数的系数为：,最后,4.3 Bessel函数在定解问题中的应用,现在回到第4.1节例1，如果初始条件只与 有关，而与 无关，即初始条件变为,这时可以认为，圆盘内的温度分布也与无关，即 。这类问题称为轴对称问题。,如果设 并设圆盘的半径为b=1,那么定解问题变为：,这里是第一类齐次边界条件，由别离变量法，可得问题的一般解为：,注意：因为 与 无关，故,m,=0,常数。为零阶Bessel函数第n个零点。,由初始条件得：,将左端的函数按Bessel函数展开，并比较等式两边级数的系数，有：,由于,即,所以有,而,从而,该定解问题的解为：,例1：求解以下定解问题,解：这里 与 无关，仍然为轴对称问题。,应用别离变量法，令,代入到方程中，并整理得：,及,1,2,3,4,5,4,5,方程4的通解是：,6,由边界条件,有：,将 代入到6，得,再由 得：,利用递推公式,有：,由此得：,其中 表示,的第n个零点。,由以上的讨论，得到本征值为：,7,相应的本征函数为：,8,将本征值代入到方程,解得：,9,将8和9组合并叠加，得到定解问题的一般解为：,10,由初始条件 得：,由此得,再由 得：,由对应于不同本征值的本征函数在 上的加权正交性，得：,11,11,由11的第一式得：,由于本问题给出的是第二类边界条件，故11第二式中的模方应用式计算得,代入到11的第二式，得,将和的值代入到10，得定解问题的解是：,例2：半径为,a,高为,h,的圆柱体，上底的电势分布为 ，下底和侧面的电势保持为零，求柱体内的电势分布。,解：问题属于静电场问题，电势满足Laplace方程，以柱体的下底面为,z,=0的平面，柱轴为,z,轴建立柱坐标系，由边界上的电势分布可以推知柱内电势分布与 无关，写出定解问题：,1,2,3,别离变量，即令,代入1得：,4,5,其中 是别离常数，当别离常数大于零时，得到修正Bessel方程。,4,5,方程(4)和(5)解依次是：,6,7,由边界条件 得：,及,8,可见对应,k,=0问题没有非零解。,由(8)得本征值为：,相应的本征函数为：,9,10,将本征值代入到6的第二个式子由于已经得出本问题在k=0无非零解的结论，故26的第一个式子没有意义，得到：,由边界条件 得：,于是,11,将10和11式组合，并叠加，得问题的一般解为：,12,由边界条件 代入，得：,左边的级数是右边函数的Fourier-Bessel级数，由展开式的系数公式，并考虑此时的边界条件，有：,令 应用分部积分法和递推公式，得：,因此,将上式代入到(12),的原定解问题的解为：,