,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,欧拉公式的,发现与证明,欧拉公式的,1,一、教材分析,1教材的地位与作用,欧拉公式是在学习了多面体（棱柱、棱锥、棱台）之后，作为研究性学习的课题而安排的，通过学习不仅可进一步探讨多面体的一般性质，还可让学生获得亲身参与研究探索的体验，激发学生的学习热情，拓展学生的视野。,一、教材分析1教材的地位与作用 欧拉公式是在学习了多面,2,2,教学目标,知识目标：,能力目标,：,1）理解欧拉公式的表达式及欧拉公式的证明；,2,）会用欧拉公式解决某些数学问题。,1,）通过探究欧拉公式的发现过程，培养学生观察与实践、联想与类比、抽象与概括的能力。,2,）通过欧拉公式的证明与应用，培养学生的逻辑推理能力和探究创新能力。,2教学目标 知识目标：能力目标：1）理解欧拉公式的表达,3,通过研究欧拉公式的发现与证明，激发学生对科学的探究，培养学生良好的意志品格，激励学生大胆猜想，善于发现，勇于创新的精神。,情感目标：,通过研究欧拉公式的发现与证明，激发学生对科学的探究，培养学生,4,3.教学重点与难点,重点：探究欧拉公式的发现过程。,难点：欧拉公式的证明。,3.教学重点与难点 重点：探究欧拉公式的发现过程。难点：欧,5,二、教法分析,从“七桥问题”入手，引导学生观察图形，一步一步地进行归纳和猜想，得出平面网络的定义及平面网络中点、线、面之间的数量关系：V+F-E=1，再联想类比，引申到空间中的多面体，研究多面体中点、线、面之间的数量关系，发现欧拉公式V+F-E=2,二、教法分析 从“七桥问题”入手，引导学生观察图形，一步,6,三、过程分析,（一）引入课题,1.介绍欧拉,2.七桥问题,三、过程分析（一）引入课题1.介绍欧拉 2.七桥问题,7,(二)探讨研究,1网络的定义,2.观察平面网络图形，猜想V、E、F之间的规律,3.证明猜想:V+F-E=1,4.联想：多面体中的V、F和E之间关系,5.证明凸多面体中 V+F-E=2,(二)探讨研究1网络的定义2.观察平面网络图形，猜想V、E,8,欧拉（Leonhard Euler 公元1707-1783年）出生在瑞士的巴塞尔（Basel）城，13岁就进巴塞尔大学读书，从19岁开始发表论文，直到76岁，半个多世纪写下了浩如烟海的书籍和论文如今几乎每一个数学领域都可以看到欧拉的名字，从初等几何的欧拉线，多面体的欧拉定理，立体解析几何的欧拉变换公式，四次方程的欧拉解法到数论中的欧拉函数，微分方程的欧拉方程，级数论的欧拉常数，变分学,的欧拉方程，复变函数的欧拉公式等等，数也数不清,欧拉还创设了许多数学符号，例如，i，e，sin和cos，tg，f(x)等等。,欧拉（Leonhard Euler 公元17,9,由于过度工作，1735年，当欧拉还只有28岁时，就瞎了一只眼睛。766年，另外一只眼睛也瞎了，但是他仍然以高度的毅力坚韧不拔地从事数学研究，凭着记忆和心算解决了许多数学上的难题，为人类文明史谱写了许多光辉的篇章。,欧拉的一生是为数学发展而奋斗的一生，他那杰出的智慧，顽强的毅力，孜孜不倦的奋斗精神和高尚的科学道德，永远值得我们学习。,由于过度工作，1735年，当欧拉还只有28岁时,10,2.七桥问题,十八世纪，北欧的哥尼斯堡城建在普雷格尔河畔，河中有两个小岛，全城由七座桥把河两岸和两个小岛连接起来(如图)。,当时，那里的居民都热衷于一个有趣的数学游戏：一个游人怎么才能一次走遍七座桥，每座桥只经过一次，最后又回到出发点?,2.七桥问题,11,这个问题的实质是陆地之间的连接，而与陆地的形状大小无关，因此他用点A、D表示两个小岛，点B、C表示河的左右两岸。再用连接两点的线表示桥，从而得到一个由4个点和、7条线组成的图形(如图,),利用这个图形，问题就变成能否一笔画出这个图形，并且最后返回起点的“一笔画”问题。,这个问题的实质是陆地之间的连接，而与陆地的形状大小无关，因此,12,善于思索和研究问题的欧拉，简单而巧妙地解决了千百人为其绞尽脑汁而百思不得其解的难题，引起了人们的惊叹和赞赏。但欧拉并没有满足于七桥问题的解诀，而是以此为基础，研究了超出通常欧几里德几何范围的几何问题，从而奠定了称之为“网络论”的几何学科的基础。,善于思索和研究问题的欧拉，简单而巧妙地解决了千百人为,13,1网络的定义：网络是由有限条线段组成的图形，每一 条线段都有两个不同的端点。这些线段叫做网络的弧，它们的端点叫做网络的顶点。,在一个网络中，线段的长短曲直无关紧要，要紧的只是有几个点，两点间又有几条线段连接。,(二)探讨研究,1网络的定义：网络是由有限条线段组成的图形，每一 条线段,14,网络的弧必须有两个不同的端点，不能没有端点。,网络的弧必须有两个不同的端点，不能没有端点。,15,观察下列平面上的网络图形，填写下表，猜想V、E、F之间的规律。其中V表示网络的顶点数，E表示网络的弧（通常把它称为边数）F表示面数（也就是由边围成的区域的个数）。,顶点数V,边数E,面数F,图（1）,图（2）,图（3）,图（4）,观察下列平面上的网络图形，填写下表，猜想V、E、F之间,16,V顶点数,E边数,F面数,V-E+F,图（1）,2,2,1,1,图（2）,6,5,0,1,图（3）,4,7,4,1,图（4）,6,9,4,1,(1),(2),(3),(4),V顶点数E边数F面数V-E+F图（1）2211图（2）650,17,证明猜想,：V+F-E=1,网络中去掉一条外边（假如有这样一条外边），这时E减少了1，F也减少了1，而V保持不变，因此经过这样的步骤后，V-E+F保持不变。,如果网络中有一个“尾”顶点，就将这个点连同通向它的边同时去掉，则V减少1，E减少1，而F保持不变，因此经过这样的步骤后，V-E+F也保持不变。,现在假定你从一个已知网络出发，继续不断的去掉一切可能挪去的外边和“尾”点，最后你将得到一张只有一个顶点的网络，这时,V=1，E=0,F=0，V-E+F=1成立,证明猜想：V+F-E=1 网络中去掉一条外边（假如有这样一,18,联想：,多面体中的顶点数V、面数F和棱数E，之间是否也有上述关系,？,观察图形，填出下表,V顶点数,E棱数,F面数,图（1）,图（2）,图（3）,图（4）,（1）,（2）,（3）,（4）,联想：多面体中的顶点数V、面数F和棱数E，之间是否也有上述关,19,假想一凸多面体用橡胶薄膜做成，内部是空的，先破掉一个面，把其余的面展平，并保持原表面的多边形边数不变，成为一个平面网络，这时V、E不变，只是F少1（多媒体演示），而前已证在平面上的网络中V+F-E=1所以凸多面体中V+F-E=2,证明,凸多面体中,V+F-E=2,假想一凸多面体用橡胶薄膜做成，内部是空的，先破掉一个面，,20,如果把组成足球的每一个面看成平面，足球就 是一个多面体。,欧拉公式的应用,它有点象1996年诺贝尔化学奖获得者发现的C,60,C,60,是由60个C原子构成的分子。,如果把组成足球的每一个面看成平面，足球就 是一个多面体。欧,21,例1：C,60,是由60个C原子构成的分子，如图9104，这个多面体有60个顶点，以每一顶点为一端点都有三条棱，面的形状只有五边形和六边形，你能计算出C,60,中有多少个五边形和六边形吗？,解：设C,60,中五边形和六边形的个数分别 为x个和y个 C,60,分子这个多面体的顶点数V=60，面数F=xy，,由顶点出发得棱数E=(360)/2=90,由多边形的边数得棱数E=（5x+6y）/2,例1：C60是由60个C原子构成的分子，如图9104，这个,22,因此,解：设C,60,中五边形和六边形的个数分别为x个和y个,C,60,分子这个多面体的顶点数V=60，面数F=xy，,由顶点出发得棱数E=,(360)/2=90,由多边形的边数得棱数E=,（5x+6y）/2,解方程（1）和（2）组成的方程组，,得 x=12 ，y=20,于是我们可知，C60 分子中有12个五边形，20个六边形,因此解：设C60中五边形和六边形的个数分别为x个和y个解方,23,思考题：为什么正多面体只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体这五种。,正多面体定义：每个面都是有同数边的正多边形，在每个顶点都有同数棱的凸多面体，叫正多面体。,思考题：为什么正多面体只有正四面体、正六面体、正八面体、正十,24,证明：设各个面都是正n边形，每个顶点汇集m条棱,先计算棱的总条数：,（1）从边数出发计算，因为每个面有n条边，F个面就有nF条边，但由于每条边是两个面所公有，这里把每条棱按边数计算了两次，所以有：nF=2E,（2）从顶点数出发计算，因为每个顶点处有m条边，V个顶点就有mV条边，但由于每条边有两个对端点，这里把每条棱按端点数计算了两次，所以有：mV=2E,证明：设各个面都是正n边形，每个顶点汇集m条棱（1）从边数出,25,则,由（,1,）和（,2,）得 代入（,3,）得,因此,其中,n,m,都是正整数，且,n,3,m,3,由于,n3,且,m3,时不可能的（否则 与（,4,）矛盾），因此，,n,m,中至少有一个等于,3,。,1）,当,n=3,时，得：，所以,2,）当,m=3,时，得：，所以,综合,1,）,2,），有,则,26,综合,1,）,2,），有,将 代入（,3,）得：,将上面,5,组解分别代入，得：,F=4,、,8,、,20,、,6,、,12,即正多面体共有,5,种：正四,面体、正八面体、正二十面体、正六面体、正十二面体。,综合1）2），有将,27,（四）归纳总结,(1)欧拉公式描述了凸多面体的顶点数、面数、棱数之间的一个规律，它的重要性体现在公式的发现过程、公式的推导证明过程中所蕴含着的数学思想方法。欧拉公式是在观念和方法上创新而的取得的。,（四）归纳总结(1)欧拉公式描述了凸多面体的顶点数、面,28,（五）布置作业,（1）练习册：p39 1、2,（2）思考题：上网检索了解欧拉公式证明的其它方法；并判断是否所有的多面体都适用欧拉公式，为什么？,（五）布置作业,29,四、评价分析,（1）本节课介绍欧拉的生平，对激发学生学习数学的热情，培养学生对科学严谨的态度和敢于创新的精神有良好的启示作用。,（2）本节课对欧拉公式的发现与证明过程的探究，使学生养成将实际问题转化为数学问题的应用意识，激发学生的创造欲望。使学生感悟“问题、猜想、类比、证明”探究式思维方法，提高学生的创造能力。,四、评价分析（1）本节课介绍欧拉的生平，对激发学生学习数学,30,（3）课堂上学生的自主思考，集体讨论，可培养学生的协作意识和团队精神。,（4）总结和思考题，把探究延续到课外，进一步培养学生的自主学习能力，提高学生的探究能力和创新能力。,四、评价分析,（3）课堂上学生的自主思考，集体讨论，可培养学生的协作意识和,31,再见！,再见！,32,