单击以编辑,母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,1,二重积分的计算,一、利用直角坐标计算二重积分,二、利用极坐标计算二重积分,三、无界区域上的反常二重积分,1 二重积分的计算一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐,2,在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域,D,，,故二重积分可写为,D,则,一、利用直角坐标计算二重积分,2 在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分,3,（,1,）如果积分区域为：,X,型,X,型区域的特点,：,穿过区域且平行于,y,轴的直线与区域边界相交不多于两个交点,.,3（1）如果积分区域为：X型 X型区域的特点：穿过,4,（,2,）如果积分区域为：,Y,型,Y,型区域的特点,：,穿过区域且平行于,x,轴的直线与区域边界相交不多于两个交点,.,4（2）如果积分区域为：Y型 Y型区域的特点：穿过区,5,1.,当,D,既不是,X-,型区域也不是,Y-,型区域时,将,D,分成几部分，使每部分是,X-,型区域或是,Y-,型区域,.,注意：,2.,当,D,既是,X-,型区域也是,Y-,型区域时,可以用两个公式进行计算,.,y,x,0,y,x,0,c,d,a,b,D,51.当D既不是X-型区域也不是Y-型区域时,将D分成几部分,6,例,计算,其中,D,是由直线,y=,1,x=,2,及,y=x,所围成的闭区域,.,解法,1,：,先,y,后,x,x,y,x,0,1,2,y=x,y=1,x=2,6例 计算其中D是由直线y=1,x=2及y=x所围成的闭,7,解法,2,：,先,x,后,y,y,x,0,1,2,y,=,x,x,=2,y,7解法2：先x后yyx012y=xx=2y,8,选取积分次序,不仅要看区域的特点,而且要看,被积函数,的特点,，,凡遇如下形式积分,:,一定要放在后面积分,.,等等,8选取积分次序,不仅要看区域的特点,而且要看被积函数的特点，,9,解,例,计算,(1,1),9解例 计算(1,1),10,解,积分区域如图,例,改变积分,的次序,.,10解积分区域如图例 改变积分 的次序.,11,例,交换积分次序：,解,原式,=,11例交换积分次序：解原式=,12,例,交换积分次序：,解,积分区域,:,原式,=,12例交换积分次序：解积分区域:原式=,13,例,求两个底圆半径为,R,且这两个圆柱面的方程分别为 及,解,求所围成的,立体的体积,.,13例 求两个底圆半径为R,且这两个圆柱面的方程分别为,14,解,曲面围成的立体如图,.,例,求由下列曲面所围成的立体体积，,14解曲面围成的立体如图.例 求由下列曲面所围成的立,15,15,16,例,解,16例解,17,二重积分在直角坐标下的计算公式,（在积分中要正确选择,积分次序,）,小结,Y,型,X,型,（,1,）化二重积分为二次积分；,（,2,）交换积分次序；,题型,17二重积分在直角坐标下的计算公式（在积分中要正确选择积分次,18,练习题,（,3,）交换积分次序,18练习题（3）交换积分次序,19,直角坐标系与极坐标系的变换关系,两坐标系下积分区域 形状不变，因此有,二、利用极坐标计算二重积分,19直角坐标系与极坐标系的变换关系两坐标系下积分区域 形状,20,化为极坐标二次积分的几种情形,（,1,）区域特征如图,20化为极坐标二次积分的几种情形（1）区域特征如图,21,（,2,）区域特征如图,21（2）区域特征如图,22,（,3,）区域特征如图,22（3）区域特征如图,23,极坐标系下区域的面积,（,4,）区域特征如图,23极坐标系下区域的面积（4）区域特征如图,24,解,24解,25,解,25解,26,解,26解,27,27,28,28,29,解,29解,30,解,30解,31,基本解法,：,先在有界区域内积分，然后令有界区域趋于原无界区域时取极限求解,.,解,先考虑圆域,三、无界区域上的反常二重积分,31基本解法：先在有界区域内积分，然后令有界区域趋于原无界区,32,32,33,练 习 题,33练 习 题,34,34,