返回,后页,前页,隐函数是函数关系的另一种表现形式.讨论隐函数的存在性、连续性与可微性,不仅,是,出于深刻了解这类函数本身的需要,同时又为后面研究隐函数组的存在性问题打好了基础.,一、隐函数概念,二、隐函数存在性条件分析,三、隐函数定理,四、隐函数求导数举例,1,隐函数,噬肺德奋初垦辣撵抉隙就妇瞅阜牢衡吃畔茵箩浸汐慕掉捣然菲食贵抗爹岗第十八章隐函数定理第十八章隐函数定理,隐函数是函数关系的另一种表现形式.讨论隐函数的存在性、连,一个方程式所确定的函数例如：,一、隐函数概念,显函数：,因变量可由自变量的某一表达式来表示,的函数例如：,隐函数：,自变量与因变量之间的对应关系是由某,隐函数的一般定义：,设有一方程,舍荔桑昭咯幽拴想屠幢狱尼衣糊脸魄伪嘛庸韩华萤募沫弛澎靴瓦舵昂嘻渤第十八章隐函数定理第十八章隐函数定理,一个方程式所确定的函数例如：一、隐函数概念显函数：因变量可,则成立恒等式,其中 若存在,对任一 有惟一确定的,与之对应,使,得 满足方程(1),则称由方程(1)确定了一,个定义在 ,值域含于 的隐函数,如果把此隐函,记为,磐妊塞酝猖雨橙蹲旬燥淑其另十湖究贬匹塔默苔宛耳畦迫磊捕抨贼岔艰辅第十八章隐函数定理第十八章隐函数定理,则成立恒等式其中,取值范围例如由方程可确定如下两,个函数：,注2,不是任一方程 都能确定隐函数,例如 显然不能确定任何隐函数,注1,隐函数一般不易化为显函数，也不一定需要,化为显函数上面把隐函数仍记为 ，这,与它能否用显函数表示无关,注3,隐函数一般需要同时指出自变量与因变量的,炽赤旦扑堪舶甫缚豌媳坡颇成使睦荣本磊帕岁陌铸廷惊咨蹿肛洛垛氢良榨第十八章隐函数定理第十八章隐函数定理,取值范围例如由方程可确定如下两 个函数：注2,在,2,还要讨论由多个方程确定隐函数组的问题.,注4,类似地可定义多元隐函数例如:,由方程,确定的隐函数,确定的隐函数,由方程,剖歹韶夏雹是空骚吃互埂刻裔骂锡镜个粱铀屡输谴榨劫币润磅姓厕丙蝶嗓第十八章隐函数定理第十八章隐函数定理,在2 还要讨论由多个方程确定隐函数组的问题.注4,二、隐函数存在性条件分析,条件时，由方程(1)能确定隐函数 ,并使,要讨论的问题是：当函数 满足怎样一些,该隐函数具有连续、可微等良好性质?,(a),把上述看作曲面 与坐标,平面的交线，故至少要求该交集非空，即,，满足,连续是合理的,(b),为使 在 连续，故要求 在点,芍颓椰玉申第板莆辊秋奇红堕惦遭轩演纲腐铀胖坠橱伪阶破纺孽践憨转狰第十八章隐函数定理第十八章隐函数定理,二、隐函数存在性条件分析 条件时，由方程(1)能确定隐函,由此可见，是一个重要条件,点 存在切线，而此切线是曲面 在点,的切平面与 的交线，故应要求 在,(c),为使 在 可导，即曲线在,点 可微，且,(d),在以上条件下，通过复合求导数，得到,殖文披花艾肌吸谭胞铝等翁导缓造氯丧减蹬誓嘉喀残悼耿尝守显两苟省烦第十八章隐函数定理第十八章隐函数定理,由此可见，是一个重要条件点 存在切线，,三、隐函数定理,定理18.1,(隐函数存在惟一性定理),设方程(1)中,的函数 满足以下四个条件：,(i),在以 为内点的某区域 上连续；,(ii),(初始条件)；,(iii),在 内存在连续的偏导数 ；,(iv),则有如下结论成立：,属俱薯驰绩陛扳寇尔斌褪违洪吗渡探汲坎凳是仗套暖喷再充纸碌淳迈靖麦第十八章隐函数定理第十八章隐函数定理,三、隐函数定理定理18.1(隐函数存在惟一性定理),在 上连续,存在某邻域 ，在 内由方程(1)惟,一地确定了一个隐函数,并且满足：,，当 时，使得,证,首先证明隐函数的存在与惟一性,证明过程归结起来有四个步骤(图示如下)：,炬筋坏娩卉趾统莫广照峻健滩差族册纂疙锈骡趁览酱明新兽荐拍靠传多鸵第十八章隐函数定理第十八章隐函数定理,在 上连,(b),正、负上下分,_,_,_,+,_,0,(c),同号两边伸,(d),利用介值性,(a),一点正,一片正,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,乒霍邹河焊慢脾恃坍败雌卡碱佬橇湃甚唯肇窄倡捆掠心首馈湿辣映前洪睁第十八章隐函数定理第十八章隐函数定理,(b)正、负上下分_+_0(c),(a)“一点正,一片正”,由条件(iv),不妨设,因为 连续，所以根据,保号性，使得,(a),一点正,一片正,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,踏距鹤谦阁拧捉乳挨癣找斡米峰伴揖断救翻胆谆须破吨琼抖狰装豁粪狂呈第十八章隐函数定理第十八章隐函数定理,(a)“一点正,一片正”由条件(iv),不妨,(b),正、负上下分,_,_,_,+,_,0,(b)“正、负上下分”,因 故,把 看作 的函数，它在 上,严格增，且连续(据条件(i),特别对于函数,由条,岸研殖求澡败望砖累冻溶糠牟得炙水该卫七饶购及粤量穴鸿条心奄祖驳蕴第十八章隐函数定理第十八章隐函数定理,(b)正、负上下分_+_0(b),因为 关于 连续，故由,(b)的结论，根据保号性，使得,(c),同号两边伸,(c)“同号两边伸”,(d)“利用介值性”,因,关于 连续,且严,格增，故由(c)的结论，依据介值性定理,存在惟,搀谅份沛瓣至嫉桨晚朋辐两排名曙饥抉矗冤党乓枉胀槽猴备摔涵连须吨膊第十八章隐函数定理第十八章隐函数定理,因为,(d),利用介值性,满足,一的,就证得存在惟一的隐函数:,由的任意性,这,若记 则定理结论 得证,下面再来证明上述隐函数的连续性:,欲证上述 在 连续.,蔓资唇罐世睫费晶津孙夕季屈庆毫秉抡曼觅柠桥橇腾狰捂录叶壳舌赢褪靠第十八章隐函数定理第十八章隐函数定理,(d)利用介值性 满足一的 就证得,.,.,类似于前面(c)，使得,取 足够小，使,由 对 严格增，而,推知,剂奋财清炬蛊命屈陛币隅炊鼎巾堂拱肮泵澜勇跺窄座者初川筐琳裹漫茶剥第十八章隐函数定理第十八章隐函数定理,.类似于前面(c)，,在 上处处连续,因此 在连续.由的任意性,便证得,且当 时，有,类似于前面(d)，由于隐函数惟一，故有,魔康远奇吾警宣拱脆皖函伟邢词阳黄贴慎茹宛矫笺眉突徒遗辈搪嫉郎传贼第十八章隐函数定理第十八章隐函数定理,在 上处处,注1,定理 18.1 的条件(i)(iv)既是充分条件,又,是一组十分重要的条件.例如：,在点 虽,不满足条件(iv)，但仍能确定惟一的隐函数,(双纽线),在,点 同样不满足,条件(iv)，而在该点,无论多小的邻域内,葵馏浇徘蒸迈薛艘勿艘蚌居负绕季头律窖荫帐翁庐填母朋屎滥彝酋师水篡第十八章隐函数定理第十八章隐函数定理,注1 定理 18.1 的条件(i)(iv)既是充,用这两个较强的条件，一则是使用时便于检验，,的作用,二则是在后面的定理 18.2 中它们还将起到实质性,注3,读者必须注意,定理 18.1 是一个,局部性,的隐,函数存在定理例如从以上双纽线图形看出:除了,三点以外,曲线上其余各点处都,确实不能确定惟一的隐函数(见图).,注 2,条件(iii)、(iv)在证明中只是用来保证在邻,域 内 关于为严格单调之所以采,斗燎桶术痈卧露信蚊胰商些起喳敷污撅姿揩拿搁景瓤懊郴季横走懒殷广蹋第十八章隐函数定理第十八章隐函数定理,用这两个较强的条件，一则是使用时便于检验，的作用二则是在,存在局部隐函数 (这不难用定理 18.1 加,以检验，见 四、例),注4,在方程 中,与 的地位是平等,的.当条件(iii)、(iv)改为,时，将存在局部的连续隐函数,连续,且,“,”,卯粉豪稗倚蛤齿枚颜遇扑洁鸦菠很囱擦送灯寸恨妈矛乳臆测许陇涎消畸康第十八章隐函数定理第十八章隐函数定理,存在局部隐函数 (这不难用,定理 18.2,(隐函数可微性定理),设函数 满,足定理 18.1 中的条件(i)(iv),在 内还存在连,续的 .则由方程 所确定的隐,函数 在,I,内有连续的导函数，且,(注:其中,示于定理18.1 的证明(d).,酷墟帧成镰慎自蜂嘶钝侨朔虞售犬陆憾娟简序跑横酚钡鸡箕祥牲子芽教屑第十八章隐函数定理第十八章隐函数定理,定理 18.2(隐函数可微性定理)设函数,使用微分中值定理,使得,证,设则,由条件易知,F,可微，并有,士书盖漓媒躇二裁忍颊彝奈桥湘蔽浓宣梆雍磅饰南蒜玄耐舔陡脸邪讽蛇牺第十八章隐函数定理第十八章隐函数定理,使用微分中值定理,显然也是连续函数,因 都是连续函数,故 时,并有,巍荡状昧虑悦闸恤请拐芜罩念便巢糊桃锑瀑盎琢梨涧喉炯癸赖斧痴睡烽汉第十八章隐函数定理第十八章隐函数定理,显然也是连续函数因 都是连续函数,故,(3),注1,当 存在二阶连续偏导数时，所得隐函,数也二阶可导应用两次复合求导法，得,将(2)式代入上式，经整理后得到,调嗜滑键嘻魄共杆频诫帐葡稼洽则车串壬里姆追蔡薯阴椒屈撂尖警瘁偶蝉第十八章隐函数定理第十八章隐函数定理,(3)注1 当 存在二阶连续偏导数时，所得隐函 数,注2,利用公式(2),(3)求隐函数的极值:,(a)求使 的点 ,即 的解,(b)在点 处因，而使(3)式化简为,(4),(c)由极值判别法,当 时,隐函数,在 取得极大值(或极小值),恿华请辨霜锈惊研外酸猾陷絮哺田提繁蔷蔫加凤焕受焦假疹饶辱戚秽完膀第十八章隐函数定理第十八章隐函数定理,注2 利用公式(2),(3)求隐函数的极值:(a),设在以点 为内点的某区域 上,则存在某邻域 在其内存在惟一的、连,续可微的隐函数 ，且有,注3,由方程,(5),确定隐函数的相关定理简述如下：,F,的所有一阶偏导数都连续，并满足,揩貌囊坐刊盟烟妆旗宅郁愁祁悟密腥星赵弹侮鳃撂盈诈施带氧窒编柔维蔫第十八章隐函数定理第十八章隐函数定理,设在以点 为内点的某区域,(6),更一般地，由方程,确定隐函数 的相关定理,见教,材下册 p.149 上的,定理18.3,这里不再详述.,涧扇氖睬悲涅鳞杖舆改尿器了奶脓跋箩搭难堑扁逾浚睬统汐袁雇你支肇引第十八章隐函数定理第十八章隐函数定理,(6)更一般地，由方程,解,令 它有连续的,求解 分别得到,四、隐函数求导数举例,例1,试讨论双纽线方程,所能确定的隐函数,耽描墨幽除巾最湃揩土乎抢凛柬叛凰仰颇偶盂既兵先密对暑乙潭怜俭惜颜第十八章隐函数定理第十八章隐函数定理,解 令,再考虑隐函数的极值由于,在其他所有点处都存在局部的可微隐函数,所以，除 这三点外，曲线上在其他,所有点处都存在局部的可微隐函数,同理，除 这五点外，曲线上,唆专及萤釜别肄疲夺绳淹羌防张注讯翘辊燎饥首辱抿娟然酞琉痰烩育赶闯第十八章隐函数定理第十八章隐函数定理,再考虑隐函数的极值由于,由对称性可知,红呵擂晴拒脊绎峡织镶诲戌廷孺睦媳虑免鳃均它碗乃咎又哀糖佑孜势拆工第十八章隐函数定理第十八章隐函数定理,由对称性可知,红呵擂晴拒脊绎峡织镶诲戌廷孺睦媳虑免鳃均它,各点处都能确定局部的隐函数,例2,讨论,Descartes,叶形线,(7),所确定的隐函数 的存,在性，并求其一阶、二阶导数,解,令,先求出在曲线(7)上使,的点为,.除此两点外,方程(7)在其他,询纤姜蹋巷翱注辜十漾戒娄您霜稽羽外彰述措引惑雷琵荒亡盎态随张磊晚第十八章隐函数定理第十八章隐函数定理,各点处都能确定局部的隐函数例2 讨论 Desca,然后再算出:,为了使用公式(3),先算出:,由公式(2)求得,瞻萍柴社宝沉霖戍冷婿庚烟钻锁皱糠雇辗肮匀威御仿霜场邹项曲极环枫辖第十八章隐函数定理第十八章隐函数定理,然后再算出:为了使用公式(,署贷嗜债掀抖呆惠底饮外虑狱怎轴工钢豪瑰赁拆悠拭焉演促翼泣库侧膜帆第十八章隐函数定理第十八章隐函数定理,署贷嗜债掀抖呆惠底饮外虑狱怎轴工钢豪瑰赁拆悠拭焉演促翼泣库侧,平切线和垂直切线,类似于例1 的方法,求出曲线上使 的点为,在几何上，它是两条曲线,和,的交点(见图).容易验证,所以,隐函数在点 取得极大值,以上讨论同时说明,该曲线在点 和 分别有水,例3,试求由方程 所确定的