单击此处编辑母版文本样式,第一章,4,4.1,、,2,成才之路,高中新课程,学习指导,北师大版,数学,必修,4,4.2单位圆与周期性,4.2单位圆与周期性,第一章第五讲单位圆与周期性ppt课件,2.,任意角的正弦函数、余弦函数的定义,(1),单位圆：在直角坐标系中，以,_,为圆心，以,_,为半径的圆，称为单位圆,(2),任意角的正弦、余弦函数的定义,定义,2,：如图所示，在直角坐标系中，,给定单位圆对于任意角,，使角,的顶点与原点重合，始边与,x,轴正半轴重合，终边与单位圆交于点,P,(,u,，,v,),，那么点,P,的,_,v,叫作角,的正弦函数，记作,_,；点,P,的,_,u,叫作角,的余弦函数，记作,_,原点,单位长,纵坐标,v,sin,横坐标,u,cos,2.任意角的正弦函数、余弦函数的定义(1)单位圆：在直角坐标,通常，我们用,x,表示自变量，即,x,表示角的大小，用,y,表示函数值，这样我们就定义了任意角的三角形,y,sin,x,和,y,cos,x,，它们的定义域为,_,，值域为,_,全体实数,1,1,通常，我们用x表示自变量，即x表示角的大小，用y表示函数值，,(3),正弦函数、余弦函数在各象限的符号,象限,三角函数,第一象限,第二象限,第三象限,第四象限,sin,_,_,_,_,cos,_,_,_,_,(3)正弦函数、余弦函数在各象限的符号象限第一象限第二,观察右图，在单位圆中，由任意角,的正弦函数、余弦函数定义不难得到下,列事实：终边相同的角的正弦函数值相,等，即 ；,终边相同的角的余弦函数值相等，,即,.,新课探究 周期函数,把这种随自变量的变化呈周期性变化的函数叫作周期函数,.,正弦函数、余弦函数是周期函数，,2k(kZ,k0),称为正弦函数、余弦函数的,周期,.,观察右图，在单位圆中，由任意角新课探究 周期函数把这,例如,-4,、,-2,、,2,、,4,等都是它们的周期,.,其中,2,是正弦函数、余弦函数正周期中最小的一个，称为,最小正周期,.,一般地，对于函数,f,(,x,),，如果存在非零实数,T,，对定义域内的任意一个,x,值，都有,f,(,x+T,),=f,(,x,),我们就把,f,(,x,),称为,周期函数,，,T,称为这个函数的周期,.,说明：,若不加特别说明，本书所指周期均为函数的最小正周期,.,例如-4、-2 、2、4 等都是,特别提醒：,1.,T,是非零常数,.,2.,任意,x,D,都有,x+T,D,T,0,，可见函数的定义域无界是成为周期函数的必要条件,.,3.,任取,x,D,，就是取遍,D,中的每一个,x,，可见周期性是函数在定义域上的整体性质,.,理解定义时，要抓住每一个,x,都满足,f,(,x,+,T,),=f,(,x,),成立才行,.,4.,周期也可推进，若,T,是,f,(,x,),的周期，那么,2,T,也是,y,=,f,(,x,),的周期,.,特别提醒：,1.,函数,f,(,x,),=c,(,c,为常数,),x,R,，问函数,f,(,x,),是不是周期函数，若是，有无最小正周期,.,答,:,是，无最小正周期,.,2.,等式,sin(30,+120,)=sin30,是否成立？如果成立，能否说明,120,是正弦函数,y,=sin,x,x,R,的一个周期？为什么？,答,:,成立，不能说明，因为不符合定义中的每一个,x,.,思考,1.函数f(x)=c(c为常数),xR，问函数f(x),【,即时练,】,关于周期函数，下列说法正确的是,_(,填序号,).,周期函数的定义域可以是有限集；,周期函数的周期只有唯一一个；,周期函数的周期可以有无数多个；,周期函数的周期可正可负,.,【,解析,】,由周期函数的定义可得是错误的，,是正确的,.,【即时练】关于周期函数，下列说法正确的是_(填序号,题型一、利用终边相同的角的公式化简、求值,题型一、利用终边相同的角的公式化简、求值,第一章第五讲单位圆与周期性ppt课件,第一章第五讲单位圆与周期性ppt课件,第一章第五讲单位圆与周期性ppt课件,证明：,f,(,x,2,a,),f,(,x,a,),a,f,(,x,a,),f,(,x,),f,(,x,),，,f,(,x,),是周期函数，且,2,a,是它的一个周期,题型二、周期函数的理解与应用,证明：f(x2a)f(xa)af(xa),常见周期函数的形式,周期函数除常见的定义式,f(x+T)=f(x),外，还有如下四种形式：,(1)f(x+a)=-f(x).,(2)f(x+a)=,(3)f(x-a)=,(4)f(x-a)=f(x+a).,以上四种形式的函数都是以,2a,为周期的周期函数,.,常见周期函数的形式,变式训练,2,（,1,）,已知函数,f(x),的周期为,3,，且,f(1)=10,，则,f(10)=_.,（,2,）已知函数,f,(,x,),是以,2,为周期的奇函数，,f,(1),3,，求,f,(,7,）的值,(3),若,f(x)=f(x+2)+f(x,2),，且,f(2 015)=2 015,，,则,f(2 027)=_.,（,4,）设定义在,R,上的函数,f(x),满足,f(x)f(x+2)=13.,若,f(1)=2,，则,f(2015)=_.,变式训练2（1）已知函数f(x)的周期为3，且f(1)=10,解：,(1),因为函数,f(x),的周期为,3,，,所以,f(10)=f(1+33)=f(1)=10.,（,2,）解：,由题意知,f,(,7),f,(7),，,f,(7),f,(32,1),f,(1),3,，,f,(,7),3.,解：(1)因为函数f(x)的周期为3，（2）解：由题意知f(,(3),因,f(x)=f(x+2)+f(x,2),所以,f(x+2)=f(x),f(x,2),f(x+4)=f(x+2),f(x),f(x+6)=f(x+4),f(x+2),所以,f(x+6)=,f(x),，即函数的周期是,12.,f(2 027)=f(2 015+12)=f(2 015)=2 015.,（,4,）,因,f(x)f(x+2)=13,所以,f(3)=,所以,f(x),是以,4,为周期的函数,.,所以,f(2015)=f(5034+3)=f(3)=,(3)因f(x)=f(x+2)+f(x2),所以f(x+2,第一章第五讲单位圆与周期性ppt课件,第一章第五讲单位圆与周期性ppt课件,