单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,29.1,几何问题的处理方法,29.1 几何问题的处理方法,1,哥白尼,地球是运动的,缺乏依据,无法证明,哥白尼地球是运动的缺乏依据,无法证明,2,想一想：,在,公理,的基础上，我们以证得了许多与平行,线、三角形有关的,图形的属性,，并将这些图形的,属性均作为,进一步推理,的,依据,，于是又进一步,证明,等腰三角形,、,平行四边形,的,性质,与,判定定理,。,例如，有了“,边角边,”公理，我们以证明了,等腰三角形的,性质定理,“,等腰三角形的底角相等,”,、“,等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、,底边上的高互相重合,（即等腰三角形,三线合一,）”,。,想一想：在公理的基础上，我们以证得了许多与平行例如，,3,等腰三角形性质定理 等腰三角形的两个底角相等。,（,简写成,“,等边对等角,”）,等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合,（,简写成,“,等腰三角形的三线合一,”）,我们还可以用逻辑推理的方法得到等腰三角形的性质：,等腰三角形性质定理 等腰三角形的两个底角相等。我们还可以,4,1.证明等腰三角形的性质定理,等腰三角形两底角什么关系？怎样证明？,2.等腰三角形的,顶角平分线、底边上的中线、底边上的高,互相重合（简写成“等腰三角形的三线合一”）,等腰三角形的性质定理：,1.等腰三角形的两个底角相等,（简写成“等边对等角”）,在ABC中,AB=AC,B=C,在ABC中,AB=AC,1=2,ADBC，BD=CD,ADBC,1=2,，BD=CD,BD=CD,1=2,，ADBC,1.证明等腰三角形的性质定理等腰三角形两底角什么关系？怎样证,5,以,等腰三角形,为条件时的常用,辅助线,:,如图：若,AB=AC,作ADBC于D,，必有结论:,1=2，BD=DC,若,BD=DC,，连结AD，必有结论：,1=2，ADBC,作AD平分BAC,必有结论：,ADBC，BD=DC,作辅助线时，一定要作满足其中一个性质的辅助线，然后证出其它两个性质，,不能这样作,：,作ADBC，使1=2.,以等腰三角形为条件时的常用辅助线:,6,对一般三角形能用（SSA）判定两个三角形全等吗？为什么？,探索与证明,我们曾经通过,画图、比较，发现,：,如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形是全等的,RT,HL定理,对一般三角形能用（SSA）判定两个三角形全等吗,7,已知：如图，在ABC和ABC中，ACBACB90,ABAB，ACAC,求证：ABCABC,探索与证明,已知：如图，在ABC和ABC中，,8,已知：如图，在,ABC,和,ABC,中,ACB=,ACB,=90,AB=AB,AC=AC.,求证：,ABCABC,把 ABC和ABC拼在一起，使相等的直角边AB和AB,重全在一起，并使点C和,C,在,AB.,的两旁，C、B（,B,）、,C,在一条直线上。,(A),C,(B,),A,C,B,c,B,A,C,B,A,已知：如图，在ABC和ABC中,ACB=A,9,(A),C,(B),A,C,B,c,B,A,C,B,A,证明,；如图,把,ABC,和,ABC,拼在一起,因为ABC=,ABC,=90(已知),所以 ,CBC,=180（等式的性质）,即点,C、B、C,在同一条直线上。,在,ACC,中，因为,AC=AC=AC,（已知）,所以,C=C,（等边对等角）,在,ABC,和,ABC,中。,因为ABC=,ABC,（已知）,C=C,（已证）,AC=AC,（已知）,所以,ABC,ABC,（A.A.S）,(A)C(B)ACBcBACBA证明；如图,把,10,1.证明等腰三角形的判定方法,证明：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等,已知：在ABC中，BC，,求证：ABAC,D,等腰三角形的判定定理,（简写成“等角对等边”）,在ABC中,B=C,AB=AC,1.证明等腰三角形的判定方法证明：如果一个三角形有两个角相等,11,我们知道等腰三角形的识别方法是:,如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等.,已知：如图,在ABC中,B=C.,求证:AB=AC,A,B,C,D,证明:,作ADBC于点D,在BAD和CAD中,B=C(,已知,),ADB=ADC=90(,作图,),AD=AD(,公共边,),BADCAD(,A.A.S,.),BA=CA(,全等三角形对应边相等,),我们知道等腰三角形的识别方法是:如果一个三角形有两个,12,如图。按照下面的步骤，在方格纸上画一个平行四边形。,探索,步骤1：画两条平行线；,步骤2：在两条线上分别取点A和点B，连结AB；,步骤3：沿着水平方向平移AB到DC，就得到ABCD。,A,B,A,B,D,C,如图。按照下面的步骤，在方格纸上画一个平行四边形。探索步骤1,13,如图。用剪刀把ABCD从方格纸上剪下，再在一张纸上沿ABCD的边沿，画出一个四边形，记为四边形EFGH。则四边形EFGH和四边形ABCD完全一样，也为平行四边形。它们的对应边、对应角都相等。,在ABCD中连结AC、BD，它们的交点记为O。,用一枚图钉在点O穿过，将ABCD绕点O旋转180,0,，观察旋转后的ABCD和纸上所画的EFGH是否重合。,如图。用剪刀把ABCD从方格纸上剪下，再在一张纸上沿AB,14,旋转180,0,之后两个平行四边形完全重合。即平行四边形是中心对称图形，对角线的交点O就是对称中心。由此得到：,你能从中得出ABCD的一些边角关系吗？,ADBC，ABDC,A,C,；,B,D,即平行四边形的对边相等、对角相等。,旋转1800之后两个平行四边形完全重合。即平行四边形是中,15,如图，四边形ABCD是平行四边形。,求证：ABCD，BCDA。,例2,证明：连结AC。,四边形ABCD是平行四边形（已知）,ABCD（平行四边形的定义）。,BACDCA（两直线平行，内错角相等）同理BCADAC在ABC和CDA中，,BACDCA（已证），ACCA（公共边），BCADAC（已证），,ABCCDA,（A.S.A）,ABCD，BCDA（全等,三角形的对应边相等）,由,ABCCDA,，,还可得：,B D，同理也可得出:BA D=DCB.,平行四边形的对边相等，对角相等。,如图，四边形ABCD是平行四边形。例2证明：连结AC。四边,16,平行四边形的,性质,定理:,平行四边形的对边相等.,B,D,C,A,四边形ABCD是平行四边形.,AB=CD,BC=DA.,定理:,平行四边形的对角相等.,四边形ABCD是平行四边形.,A=C,B=D,.,定理:,平行四边形的对角线互相平分.,四边形ABCD是平行四边形.,CO=AO,BO=DO.,B,D,C,A,O,推论:,夹在两条平行线间的平行,线段相等.,MNPQ,ABCD,AB=CD.,B,D,C,A,M,N,P,Q,回顾 思考,平行四边形的性质定理:平行四边形的对边相等.BDCA四边,17,平行四边形的,性质：,边,平行四边形的对边平行,平行四边形的对边相等,角,平行四边形的对角相等,平行四边形的邻角互补,对角线,平行四边形的对角线,互相平分,温故知新,平行四边形的性质：边平行四边形的对边平行平行四边形的对边相等,18,例3：,同样，我们可以证明：,平行四边形的对角线互相各平分,。,有了平行四边形的性质，还可以证明矩形、菱形、正方形、等腰梯形的有关性质。例如要证明菱形的对角线互相垂直，可以先证明菱形的四条边相等。这是因为菱形的对边相等，且有一组邻边相等，故四条边都相等。,如图，四边形ABCD是菱形。,求证：AC,BD，且AC平分BAD,。,证明：设AC,与BD相交于O,。,四边形ABCD是菱形，,BODO（平行四边形的对角线互相平分）ABAD（菱形的四条边相等）,AC,BD，且AC平分BAD（等腰三角形三线合一）,例3：同样，我们可以证明：平行四边形的对角线互相各平分。,19,矩形的性质,定理:,矩形的四个角都是直角.,已知:如图,四边形ABCD是矩形.,分析:由矩形的定义,利用对角相等,邻角互补可使问题得证.,证明:,四边形ABCD是矩形,A=90,0,四边形ABCD是平行四边形.,C=A=90,0,B=180,0,-A=90,0,D=180,0,-A=90,0,.,求证:A=B=C=D=90,0,.,四边形ABCD是矩形.,D,B,C,A,想一想:正方形的四个角都是直角吗?,我思,我进步,1,矩形的性质定理:矩形的四个角都是直角.已知:如图,四边形AB,20,矩形的性质,我思,我进步,2,定理:,矩形的两条对角线相等.,已知:如图,AC,BD是矩形ABCD的两条对角线.,求证:AC=BD.,证明:,四边形ABCD是矩形,AB=DC,ABC=DCB=90,0,.,分析:根据矩形的性质性质,可转化为全等三角形(SAS)来证明.,D,B,C,A,BC=CB,ABCDCB(SAS).,AC=DB.,矩形的性质 我思,我进步2定理:矩形的两条对角线相等.,21,菱形的性质,定理:,菱形的四条边都相等.,我思,我进步,3,已知:如图,四边形ABCD是菱形.,分析:由菱形的定义,利用平行四边形性质可使问题得证.,证明:,四边形ABCD是菱形,AB=AD,四边形ABCD是平行四边形.,AB=CD,AD=BC.,求证:AB=BC=CD=DA.,AB=BC=CD=AD.,C,B,D,A,菱形的性质定理:菱形的四条边都相等.我思,我进步3已,22,菱形的性质,我思,我进步,4,定理:,菱形的两条对角线互相垂直,并且每条对角线平分一组对角.,已知:如图,AC,BD是菱形ABCD的两条对角线,AC,BD相交于点O.,求证:(1).ACBD;,(2).AC平分BAD和BCD,BD平分ADC和ABC.,证明,:(1),四边形ABCD是菱形,AD=CD,AO=CO.,分析:根据平行四边形对角线互相平分和等腰三角形“三线合一”来证明.,DO=DO,AODCOD(SSS).,AOD=COD=90,0,.,D,B,C,A,O,ACBD.,(2)AD=AB,DA=DC,ACBD;,AC平分BAD和BCD,BD平分ADC和ABC.,菱形的性质 我思,我进步4定理:菱形的两条对角线互相垂,23,正方形的性质,我思,我进步,5,定理:,正方形的四个角都是直角,四条边都相等.,求证:,(1),A=B=C=D=90,0,.,(2)AB=BC=CD=DA.,分析:因为正方形具有矩形和菱形的所有性质,所以结论易证.,证明:,四边形ABCD是矩形,也是菱形.,A=B=C=D=90,0,AB=BC=CD=DA,.,四边形ABCD是正方形,A,B,C,D,已知:四边形ABCD是正方形.,正方形的性质 我思,我进步5定理:正方形的四个角都是直,24,正方形的性质,我思,我进步,6,定理:,正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角.,求证:,(1).AC=BD,ACBD,AO=CO,BO=DO;,(2).AC平分BAD和BCD,BD平分ADC和ABC.,分析:因为正方形具有矩形和菱形的所有性质,所以结论易证.,证明:,四边形ABCD是平行四边形,也是矩形,也是菱形.,AO=CO,BO=DO;,AC=BD;,四边形ABCD是正方形,ACBD;,AC平分BAD和BCD,BD平分ADC和ABC.,已知:四边形ABCD是正方形,AC,BD是它的两条对角线.,A,B,C,D,O,正方形的性质 我思,我进步6定理:正方形的两条对角线相,25,等腰梯形,的性质定理,1.等腰梯形在同一底上的两个角相等.,A,B,C,D,2.等腰梯形的两条对角线相等.,A,B,C,D,等腰梯形的性质定理1.等腰梯形在同一底上的两个角相等.ABC,26,对上述定理分别作出证明：,定理等腰梯形的同一条底边上的两个内角相等,1.已知：如图，在梯形,ABCD,中，,AD,BC,，,AB,DC,求证：,ABC,DCB,，,BAD,CDA,分析可以