单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,全等三角形和相似三角形的再认识,2020,年海淀区空中课堂初三年级数学学科第,8,课,全等三角形和相似三角形的再认识2020年海淀区空中课堂初三年,观察这两组三角形，从图中看到了什么？想到了什么？,全等三角形,相似三角形,观察这两组三角形，从图中看到了什么？想到了什么？全等三角形相,全等三角形,相似三角形,图形,定义,性质,判定方法,形成过程,C,A,B,C,A,B,C,A,B,C,A,B,能够完全重合的两个三角形全等,.,对应边相等；,对应角相等；,所有的对应线段、对应的量都相等,SSS,（边边边）；,SAS,（边角边）；,ASA,（角边角）；,AAS,（角角边）；,HL,（斜边直角边）,两个图形全等，其中一个图形可以看作由另一个图形平移、旋转、轴对称得到,对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似,.,对应边成比例，对应角相等；,对应线段（对应高、对应中线、对应角平分线）,的比都等于相似比；,面积比等于相似比的平方,平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似,;,三,边,对应,成比例的两个三角形相似,；,两角分别相等的两个三角形相似,；,两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似,.,两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到,全等三角形相似三角形图形定义性质判定方法形成过程CABC,从全等到相似放大,/,缩小的数量关系与位置关系,特殊,一般,从全等到相似放大/缩小的数量关系与位置关系特殊一般,例：如图，在,锐角,ABC,中，,D,是边,AB,的中点,（,1,）过点,D,作直线，是否能得到全等三角形？请你写出作图方法，,并说出判定两三角形全等的依据,.,例：如图，在锐角ABC中，D是边AB的中点,（1）过点D,例：如图，在,锐角,ABC,中，,D,是边,AB,的中点,（,1,）过点,D,作直线，是否能得到全等三角形？请你写出作图方法，,并说出判定两三角形全等的依据,.,解：,过点,D,作,BC,的平行线,DE,，再过点,D,作,AC,的平行线,DF,.,例：如图，在锐角ABC中，D是边AB的中点,解：,例：如图，在,锐角,ABC,中，,D,是边,AB,的中点,（,1,）过点,D,作直线，是否能得到全等三角形？请你写出作图方法，,并说出判定两三角形全等的依据,.,解：,过点,D,作,BC,的平行线,DE,，再过点,D,作,AC,的平行线,DF,.,ADE,DBF,.,（,ASA,）,例：如图，在锐角ABC中，D是边AB的中点,解：ADE,例：如图，在,锐角,ABC,中，,D,是边,AB,的中点,（,1,）过点,D,作直线，是否能得到全等三角形？请你写出作图方法，,并说出判定两三角形全等的依据,.,解：,过点,D,作,BC,的平行线,DE,，再过点,D,作,AC,的平行线,DF,.,ADE,DBF,.,（,ASA,）,连接,DC,.,例：如图，在锐角ABC中，D是边AB的中点,解：ADE,例：如图，在,锐角,ABC,中，,D,是边,AB,的中点,（,1,）过点,D,作直线，是否能得到全等三角形？请你写出作图方法，,并说出判定两三角形全等的依据,.,解：,过点,D,作,BC,的平行线,DE,，再过点,D,作,AC,的平行线,DF,.,ADE,DBF,.,（,ASA,）,连接,DC,.,DEC,CFD,.,（,ASA,）,例：如图，在锐角ABC中，D是边AB的中点,解：ADE,例：如图，在,锐角,ABC,中，,D,是边,AB,的中点,（,2,）过点,D,作,一条,直线，是否能得到相似三角形？请你写出作图方法，并说出判定两三角形相似的依据,.,解：,过点,D,作,BC,的平行线,DE,；,ADE,ABC,.,过点,D,作,AC,的平行线,DF,；,BDF,BAC,.,例：如图，在锐角ABC中，D是边AB的中点,（2）过点D作,例：如图，在,锐角,ABC,中，,D,是边,AB,的中点,（,2,）过点,D,作,一条,直线，是否能得到相似三角形？请你写出作图方法，并说出判定两三角形相似的依据,.,解：,作,AED,=,B,；,AED,ABC,.,BDF,BAC,.,作,BDF,=,C,；,例：如图，在锐角ABC中，D是边AB的中点,（2）过点D作,归纳,：,1,、以上共有四对三角形相似，可以归为两类：一类为,“,正,A,”,型；另一类为,“,斜,A,”,型,.,“,正,A,”,型,“,斜,A,”,型,归纳：“正A”型“斜A”型,归纳,：,2,、,判定两个三角形全等和相似的常规思路,:,判定两个三角形全等的常规思路,判定两个三角形相似的常规思路,1,、若有,两组角对应相等,时,，,则需设法再找,：,夹边,对应,相等,(ASA),其中任一,组,角的对边对应相等,(AAS),2,、若有两,组,边对应相等时,，,则需设法再找,：,夹角对应相等,(SAS),第三边也对应相等,(SSS),3,、若有一边、一角对应相等时,，,则需设法再找,：,4,、在,Rt,中,若有一,组,直角边对应相等时,，,则 需设法再找,：,夹等角的另一边也对应相等,(SAS),另一角也对应相等,(AAS,或,ASA),斜边对应相等,(HL),另一,组,直角边也对应相等,(SAS),1,、若有平行截线时,：,则用预备定理,2,、若有一,组,角对应相等时，则需设法再找,：,另一,组,角也对应相等,夹等角两边对应成比例,3,、若有两,组,边对应成比例时，则需设法再找,：,夹角对应相等,第三边也对应成比例,4,、若有等腰关系时,则需设法再找,：,顶角对应相等,其中一,组,底角对应相等,底和腰对应成比例,归纳：判定两个三角形全等的常规思路判定两个三角形相似的常规思,例：如图，在,锐角,ABC,中，,D,是边,AB,的中点,思考：,若,ABC,为,等腰三角形（非等边）,，连接,DC,，是否有三角形相似？若没有，添加一个什么条件就存在三角形相似？,例：如图，在锐角ABC中，D是边AB的中点,思考：若AB,例：如图，在,锐角,ABC,中，,D,是边,AB,的中点,（,3,）若,ABC,为等腰三角形（非等边），连接,DC,，是否有三角形相似？若没有，添加一个什么条件就存在三角形相似？,分析：,若,ABC,为等腰三角形（非等边）,时，,（,1,）,AB,=,AC,（,2,）,AB,=,BC,（,3,）,AC,=,BC,例：如图，在锐角ABC中，D是边AB的中点,（3）若AB,例：如图，在,锐角,ABC,中，,D,是边,AB,的中点,（,3,）若,ABC,为等腰三角形（非等边），连接,DC,，是否有三角形相似？若没有，添加一个什么条件就存在三角形相似？,分析：,（,1,）,当,AB,=,AC,时，,ADC,与,ABC,：,图中有,ADC,、,BCD,、,ABC,共,3,个三角形,A,是公共角,只需再寻找一组等角,例：如图，在锐角ABC中，D是边AB的中点,（3）若AB,例：如图，在,锐角,ABC,中，,D,是边,AB,的中点,（,3,）若,ABC,为等腰三角形（非等边），连接,DC,，是否有三角形相似？若没有，添加一个什么条件就存在三角形相似？,分析：,（,1,）,当,AB,=,AC,时，,ADC,与,ABC,：,图中有,ADC,、,BCD,、,ABC,共,3,个三角形,A,是公共角,若,ADC,=,B,只需再寻找一组等角,例：如图，在锐角ABC中，D是边AB的中点,（3）若AB,例：如图，在,锐角,ABC,中，,D,是边,AB,的中点,（,3,）若,ABC,为等腰三角形（非等边），连接,DC,，是否有三角形相似？若没有，添加一个什么条件就存在三角形相似？,分析：,（,1,）,当,AB,=,AC,时，,ADC,与,ABC,：,图中有,ADC,、,BCD,、,ABC,共,3,个三角形,A,是公共角,若,ADC,=,B,若,ADC,=,ACB,与外角性质矛盾！,只需再寻找一组等角,例：如图，在锐角ABC中，D是边AB的中点,（3）若AB,例：如图，在,锐角,ABC,中，,D,是边,AB,的中点,（,3,）若,ABC,为等腰三角形（非等边），连接,DC,，是否有三角形相似？若没有，添加一个什么条件就存在三角形相似？,分析：,（,1,）,当,AB,=,AC,时，,ADC,与,ABC,：,图中有,ADC,、,BCD,、,ABC,共,3,个三角形,A,是公共角,若,ADC,=,B,若,ADC,=,ACB,与外角性质矛盾！,且,ACB,=,B,只需再寻找一组等角,ADC,=,B,与外角性质矛盾！,不相似！,例：如图，在锐角ABC中，D是边AB的中点,（3）若AB,例：如图，在,锐角,ABC,中，,D,是边,AB,的中点,（,3,）若,ABC,为等腰三角形（非等边），连接,DC,，是否有三角形相似？若没有，添加一个什么条件就存在三角形相似？,分析：,（,1,）,当,AB,=,AC,时，,ADC,与,BCD,：,不相似！,如果,ADC,与,BCD,相似：,例：如图，在锐角ABC中，D是边AB的中点,（3）若AB,例：如图，在,锐角,ABC,中，,D,是边,AB,的中点,（,3,）若,ABC,为等腰三角形（非等边），连接,DC,，是否有三角形相似？若没有，添加一个什么条件就存在三角形相似？,分析：,（,1,）,当,AB,=,AC,时，,ADC,与,BCD,若,ADC,=,BDC,如果,ADC,与,BCD,相似：,若,ADC,=,B,若,ADC,=,DCB,与已知非等边矛盾！,与外角性质矛盾！,与外角性质矛盾！,不相似！,例：如图，在锐角ABC中，D是边AB的中点,（3）若AB,例：如图，在,锐角,ABC,中，,D,是边,AB,的中点,（,3,）若,ABC,为等腰三角形（非等边），连接,DC,，是否有三角形相似？若没有，添加一个什么条件就存在三角形相似？,分析：,（,1,）,当,AB,=,AC,时，,BCD,与,BAC,B,是公共角,从角的角度添加：,从边的角度添加：,BCD,=,A.,BDC,=,ACB,；,BDC,=,B,；,“斜,A,”,BC=CD,；,；,；,.,相似！,例：如图，在锐角ABC中，D是边AB的中点,（3）若AB,例：如图，在,锐角,ABC,中，,D,是边,AB,的中点,（,3,）若,ABC,为等腰三角形（非等边），连接,DC,，是否有三角形相似？若没有，添加一个什么条件就存在三角形相似？,（,1,）,当,AB,=,AC,时，,ADC,不可能与,ABC,相似,；,ADC,不可能与,BCD,相似；,BCD,BAC,可以相似：,（添加,BDC,=,ACB,或,BCD,=,A,或,BC=CD,或,或 等,.,）,解：,例：如图，在锐角ABC中，D是边AB的中点,（3）若AB,例：如图，在,锐角,ABC,中，,D,是边,AB,的中点,（,3,）若,ABC,为等腰三角形（非等边），连接,DC,，是否有三角形相似？若没有，添加一个什么条件就存在三角形相似？,（,2,）,当,AB,=,B,C,时，,分析：,（,1,）,分析：与（,1,）类似，,因为这两种情况,AB,都是腰，点,D,都是腰,AB,的中点！,例：如图，在锐角ABC中，D是边AB的中点,（3）若AB,例：如图，在,锐角,ABC,中，,D,是边,AB,的中点,（,3,）若,ABC,为等腰三角形（非等边），连接,DC,，是否有三角形相似？若没有，添加一个什么条件就存在三角形相似？,（,2,）,当,AB,=,B,C,时，,BCD,不可能与,ABC,相似,；,ADC,不可能与,BCD,相似,；,ACD,ABC,：,（添加,ACD,=,B,或,ADC=,ACB,或,DC=AC,或 等,.,）,解：,与（,1,）类似,例：如图，在锐角ABC中，D是边AB的中点,（3）若AB,例：如图，在,锐角,ABC,中，,D,是边,AB,的中点,（,3,）若,ABC,为等腰三角形（非等边），连接,DC,，是否有三角形相似？若没有，添加一个