*,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,*,点、线对称问题,1,点、线对称问题1,对称问题,中心对称问题,点,关,于点的对称,线,关,于点的对称,轴对称问题,点,关,于线的对称,线,关,于线的对称,2,对称问题中心对称问题点关于点的对称线关于点的对称轴对称问题点,例,1.,已知点,A,(5,8),，,B,(4,，,1),，试求,A,点,关于,B,点的对称点,C,的坐标。,一、点关于点对称,解题要点：,中点公式的运用,A,(,x,0,y,0,),P,(,a,b,),(2,a,-,x,0,，,2,b,-,y,0,),A,一般地，点,A,(,x,0,y,0,),关于点,P,(,a,b,),的对称点是,(2,a,-,x,0,，,2,b,-,y,0,),3,例1.已知点A(5,8)，B(4，1)，试求A点一、,练,1,：点,A(6,-3),关于点,P(1,-2),的对称点,A,/,的坐标是,(),-4,-1,练,2,：过点,P(1,3),与两坐标轴交成的线段以,P,为中点的直线方程,_,分析：,用中点坐标公式可求直线在坐标轴的截距分别为,2,和,6,用截距式写出方程为 ，即,3x+y-6=0,4,练1：点A(6,-3)关于点P(1,-2)的对称点A/的坐标,例,2.,求直线,l,1,:3,x,-,y,-4=0,关于点,P,(2,-1),对称的,直线,l,2,的方程。,二、直线关于点对称,法一：,在,l,1,上找两个特殊点，求出各点关于,P,的对称点，再求出,l,2,方程,l,2,M,P(m,n),M,l,1,N,N,5,例2.求直线l 1:3x-y-4=0关于点P(2,-1),法二：,l,2,上的任意一点的对称点在,l,1,上,f,(x,y)=0,M(x,y),P(m,n),M,(2m-x,2n-y),f,(2m-x,2n-y)=0,法三：,l,1,/,l,2,且,P,到两直线等距。,P(m,n),l,2,l,1,d,2,d,1,6,法二：l 2上的任意一点的对称点在l 1上 f,7,7,例3.已知点,M,的坐标为(-4,4)，直线,l,的方程为3x+y-2=0,求点M关于直线,l,的对称点,M,的坐标。,三、点关于直线对称,解题要点：,k,k,MM,=-1,（垂直）,MM,中点,P,在,l,上,M(x,1,y,1,),M,(x,y),l,P,8,例3.已知点M的坐标为(-4,4)，直线l 的方程为3x+y,练习4：求点A（-1，3）关于直线,l,：,x+y-,1,=,0,的对称点B,9,练习4：求点A（-1，3）关于直线 l：x+y-1=0 的对,几种特殊的对称：,点,P,(,x,y,),关于下列点或线的对称点分别为：,关于直线,x,=,m,p(-,x,-,y,),p(,x,-,y,),p(-,x,y,),p(,y,x,),p(-,y,-,x,),p(2,m,-,x,y,),P,(,x,y,),关于原点,关于,x,轴,关于,y,轴,关于直线,y=x,关于直线,y=-x,关于直线,y,=,n,p(,x,2n-,y,),10,几种特殊的对称：点P(x,y)关于下列点或线的对称点分别为,练习5：已知点A（-4，6），则,(1)A关于x轴的对称点A,/,坐标是（）,(2)A关于y轴的对称点A,/,坐标是（）,(3)A关于直线y=x轴的对称点A,/,坐标是（）,6,，,-4,-4,，,-6,4,，,6,11,练习5：已知点A（-4，6），则6，-4-4，-64，611,例,4.,试求直线,l,1,:x-y-2=0,关于直线,l,2,:3x-y+3=0,对称的直线,l,的方程。,四、直线关于直线对称,解题要点：由,线关于线,对称转化为,点关于线,对称,思考：若,l,1,/,l,2,如何求,l,1,关于,l,2,的对称直线方程？,C,1,l,C,2,M(x,y),M,(x,1,y,1,),l,1,l,2,l,1,12,例4.试求直线l1:x-y-2=0关于直线 l2:3x-y,13,13,设直线,则,l,关于,原点,对称的直线是,l,关于,x,轴对称的直线是,l,关于,y,轴对称的直线是,l,关于,y=x,对称的直线是,l,关于,y=-x,对称的直线是,l,关于,x,=,a,对称的,直线是_,直线,f,(,x,y,)=0,关于下列点或直线对称的直线方程分别为：,几种特殊的对称：,14,设直线直线 f(x,y)=0关于下列点或直线对称的直线方,15,15,五、角分线问题,例：,已知,ABC,的顶点,A,（,4,1,）,B,（,4,5,）,角,B,的内角平分线,BE,所在直线的方程为 ，求,BC,边所在直线方程。,B(-4,-5),A(4,-1),M,（,0,3,）,x,y,O,E,16,五、角分线问题例：已知ABC的顶点A（4,1）,B（,变式：,ABC,的一个顶点是,A,（,3,，,-1,），,B,C,的内角平分线所在的直线方程分别为,x=0,和,y=x,求顶点,B,、,C,坐标,。,x,y,O,A,（,3,-1,）,A,1,(-3,-1),A,2,(-1,3),B(0,5),C(-5,-5),y=2x+5,17,变式：ABC的一个顶点是A（3，-1），B,C的内,例,2,：,一条光线经过点,P,（,2,，,3,），射到直线,x+y+1=0,上，反射后，穿过点,Q,（,1,，,1,），求光线的入射线和反射线的方程。,x,y,O,x+y+1=0,P(2,3),Q(1,1),R(-4,-3),六、光线的问题,18,例2：一条光线经过点P（2，3），射到直线x+y+1=0上，,例,3,：,光线从点,P,（,3,，,4,）射出，到达,x,轴上的点,Q,后，被,x,轴反射到,y,轴上的点,M,，又被,y,轴反射，这时反射光线恰好经过点,D,（,1,，,6,），求,QM,所在直线方程。,x,O,P(-3,4),D(-1,6),y,D(1,6),P(-3,-4),M,Q,19,例3：光线从点P（3，4）射出，到达x轴上的点Q后，被x轴,练习,6,：,20,练习6：20,例,4,：,已知,x,y,满足,x+y=0,，求,的最小值。,七、解决求最值的有关问题,M(1,-3),x,y,O,M(3,-1),N(-2,3),y=,x,P,21,例4：已知x,y满足x+y=0，求七、解决求最值的有关问题M,3、在x轴上找点P，使它到点A（1,3），,B（3,1）的距离最小，并求最小距离。,22,3、在x轴上找点P，使它到点A（1,3），22,一、点关于点对称,二、点关于直线对称,三、直线关于点对称,四、直线关于直线对称,五、角分线问题,六、反射问题,七、最值问题,两条直线的位置关系,-对称,四类对称,常见运用,23,一、点关于点对称二、点关于直线对称三、直线关于点对称四、直线,