单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,3.1 相似矩阵 特征值与特征向量,特征向量.,特征值,定义3.2,一、基本概念,问题（1）,特征值的特征向量唯一吗？表达形式怎样？,对于,A,的每一个特征值,齐次线性方程组,有非零解,齐次线性方程组有非零解的充要条件,是它的系数行列式(,如果存在,)的值为零,分析：,问题（1）的回答：,同一特征值的特征向量不唯一，表达形式为,的通解。,设,A,为,n,阶方阵，矩阵 称为,A,的,特征矩阵,。,是,的一个首项系数为1的,n,次多项式，称它为,A,的,特征多项式,.,其行列式:,1.,写出特征多项式,解得所有特征值,计算特征值与特征向量的步骤,解出方程组的一个基础解系,得特征方程:,2.对于每个不同的,例1 设,求矩阵,A,的特征值与特征向量。,解:,例2.设,求矩阵,A,的特征值与特征向量。,解：,如果 的一个特征值，则,注意：情形2-6均有相同的特征向量,特征向量,未必相同,二、,特征值与特征向量的性质,定理3.3,(1),n,阶方阵,A,在复数域内有,n,个特征值;,0,0,0,-6,2,例3：设 是方阵A的特征值，,依次是对应于,的特征向量，,求证 线性无关。,推广情形：,更一般地有:,定理3.5,所以，,A,的所有线性无关的特征向量的个数为,的基础解系,对于,n,阶矩阵,A、B,，若存在可逆矩阵,P,，使得,B=P,-1,AP,，,就称矩阵,A,与,B,相似，记作,P,-1,AP,定义3.1,(3)传递性：,(2)对称性：,(1)反身性：,矩阵的相似关系满足,：,相似矩阵的性质,矩阵与对角阵相似的条件,定理3.1,n,阶矩阵,A,能与对角阵相似,A,有,n,个线性无关的特征向量。,定义,若,n,阶矩阵,A,能与一,n,阶对角阵相似,则称,A,能对角化.,A能否与对角阵相似?若能,求出可逆矩阵,P,与对角阵,使得,所以,A,能与一个对角阵相似。,A,的线性无关的特征向量的个数=,A,的阶数3,所以,A,不能与一个对角阵相似。,A的线性无关的特征向量个数小于A的阶数n=3,推论1：,若,n,阶矩阵,A,有,n,个不同的特征值，则,A,一定能与对角阵相似。,推论2：,例6：判断下列矩阵能否与对角化，若能，写出对角阵。,