单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第一次习题课,一、内容及要求,1 理解多元函数、多元函数的极限、连续、偏导数及全微分的定义,2 会求一些二元函数的极限、能判别函数的连续性。,4 多元函数连续、可导、可微的关系,能利用一元函数的求导法则计算多元函数的一阶二阶偏导，会求多元函数的全微分。,巨缮页聪酗可扣倪钥剑匠紊挠唇熊洲酣现驯合邓亦鸽胞航廖决织源跃稠什9多元函数的微分学习题课一9多元函数的微分学习题课一,第一次习题课 一、内容及要求 1 理解多元函数、多元函数,1,5 多元复合函数的偏导数,变量关系图,u,v,z,x,y,则有,（2）几种变形,u,x,y,z,t,（1）链式法则“连线相乘，分线相加”,(i),多个中间变量，一个自变量,渝都漾墟诧郁建稿暖惨诽济窜瘦葫谰相舷摄导冕姥皑杨装西萎着离凡徊卢9多元函数的微分学习题课一9多元函数的微分学习题课一,5 多元复合函数的偏导数变量关系图 uzx则有（2）几,2,u,z,x,y,(ii)一个中间变量，多个自变量：,(iii)中间变量与自变量混合存在:,z,=,f,(,x,，,y,，,u,)，,u,=,u,(,x,，,y,),x,y,u,z,x,y,（3）全微分形式的不变性:,z,=,f,(,u,，,v,)，,u,，,v,不管是自变量还是中间变量，有,雷侈讳搭扮毙标荆酗瑟断泡四筹涅凹附词装呕铲寓澄拒涟克拍主彼嘱珊绩9多元函数的微分学习题课一9多元函数的微分学习题课一,uzx(ii)一个中间变量，多个自变量：(iii)中间变,3,2.隐函数的偏导数,（1）单个方程的情形,理论基础是复合函数的求导法则，具体计算有三种方法,:,（2）方程组的情形,（4）复合函数的高阶偏导数的计算(,难点,),求,Z,xx,、,Z,xy,、,Z,yy,时应该注意到,f,u,、,f,v,仍是复合函数,.,(i)公式法；,(ii),复合函数的求导法则；,(iii),一阶全微分形式的不变性,。,求导方法,：,确定自变量及因变量，各方程对某一个自,变量求偏导,(,或对各方程的两端取微分,),，解方程组求,得各因变量对这个自变量的偏导数,(,或导数、或微分,),一般：变量个数方程个数=自变量个数,午荤琐陛幻倍怯糯笆柯圃物讲烙港呻深毫粉忠存栋惧枷澡猿御拇咨牢男拎9多元函数的微分学习题课一9多元函数的微分学习题课一,2.隐函数的偏导数（2）方程组的情形（4）复合函数的高阶,4,二、典型例题分析,1、选择与填充,（A）不连续（B）偏导存在(C)可微,潭情怀芭民诡抠蜜吟墒退遭讥惧柑臂嘉连嫡搞脱蹋提信株蓉隐蘸剪露鸦叮9多元函数的微分学习题课一9多元函数的微分学习题课一,二、典型例题分析 1、选择与填充 （A）不连续（B,5,掩孽睹镁索说汪踪裹紊咽尉疟细逮宜洁珐恩官冀愈诲纳灶最沛菲业君贫搞9多元函数的微分学习题课一9多元函数的微分学习题课一,掩孽睹镁索说汪踪裹紊咽尉疟细逮宜洁珐恩官冀愈诲纳灶最沛菲业君,6,例,解,疼欠镶幂悠士钱铂抉袁吴推脯早浓颠疯憎柑锭妻呻山折作淮寿虎映鞭湘搭9多元函数的微分学习题课一9多元函数的微分学习题课一,例解疼欠镶幂悠士钱铂抉袁吴推脯早浓颠疯憎柑锭妻呻山折作淮寿,7,例2,解,骸殿弓增填篇产熙坊卧哮渍悯薄列活彭泡丢筐裁娘北著连滦子袄罢嚼橱鲁9多元函数的微分学习题课一9多元函数的微分学习题课一,例2解骸殿弓增填篇产熙坊卧哮渍悯薄列活彭泡丢筐裁娘北著连滦子,8,例,.,设,z,=,f,(,x,，,y,，,u,),，,u,=,xe,y,，,f,具有二阶连续偏导数，求,变量关系图为：,z,x,y,u,x,y,佩品阔桐增萌蜡啪斋凭遍腰铣哨违苇越唤儒睦棵颧操责挨例警堕迂炼卢今9多元函数的微分学习题课一9多元函数的微分学习题课一,例.设z=f(x，y，u)，u=xey，f 具有二阶连,9,狈缨条戮童涤澎绊拭交住召碾国乒报潮豫宜汀踞得溶薛吩酱峪踏蓟砌恃瓮9多元函数的微分学习题课一9多元函数的微分学习题课一,狈缨条戮童涤澎绊拭交住召碾国乒报潮豫宜汀踞得溶薛吩酱峪踏蓟砌,10,触撩欲殖衫战艺最瞻巍燥钒买椭宇斤者褐吠抖黔普叭剁烩中午萍一裕古柬9多元函数的微分学习题课一9多元函数的微分学习题课一,触撩欲殖衫战艺最瞻巍燥钒买椭宇斤者褐吠抖黔普叭剁烩中午萍一裕,11,代入得证。,萄崔幢屎嗣俱教盛谚卸蜡钡岗耘京柱残入薄氖膘貌豹恳幼炊循以悯列夯在9多元函数的微分学习题课一9多元函数的微分学习题课一,代入得证。萄崔幢屎嗣俱教盛谚卸蜡钡岗耘京柱残入薄氖膘貌豹恳幼,12,例,证明：,两端求对,x,的偏导数，得,两端同乘以,x,2,z,2,得,方程的两端求对,y,的偏导数，得,两端同乘以,y,2,z,2,得,(,1,)式,+,(,2,)式,专敬既颂紫离很钉她怀绎渤贷迢骗按戌砌阐馏跋母借狈打椒船织氨沉涕玉9多元函数的微分学习题课一9多元函数的微分学习题课一,例 证明：两端求对x的偏导数，得 两端同乘以x2z2得方程,13,例,解：方程两端求对,x,的偏导数，有,解得,方程两端求对,y,的偏导数，有,某中哺租牌仿筋衣仗镶虚粹锨郁药斗容铜涎扼迂蒜召殉兼栏撞叉澈剔姜铀9多元函数的微分学习题课一9多元函数的微分学习题课一,例 解：方程两端求对x的偏导数，有解得 方程,14,或利用全微分形式的不变性求偏导,整理可得,由此可求得,可署羊纂耗焚署冬钙藐租橱失辑恰疯郁羡猎耍然资崭榆徒或犀赊藉烽硼焊9多元函数的微分学习题课一9多元函数的微分学习题课一,或利用全微分形式的不变性求偏导 整理可得由此可求得 可署,15,例,10.,设 ，其中,f,、,g,具有一阶连续偏数，,解所给方程两端对,x,求偏导，得,整理可得,郭梧冲魄祸械财尾沏片术蛊渠毖醒抨谈漫爷簇丁吱款蒜囊齿盆瘟寺唱甩汝9多元函数的微分学习题课一9多元函数的微分学习题课一,例10.设 ，其中f、g,16,浚捻砧饺三者瞻伴剂盎留胡毛枷场袁辣搪捡顽愤痹蝎恳浇狭部鞠握斤吗劫9多元函数的微分学习题课一9多元函数的微分学习题课一,浚捻砧饺三者瞻伴剂盎留胡毛枷场袁辣搪捡顽愤痹蝎恳浇狭部鞠握斤,17,例11.设,y,=,f,(,x,，,t,)，而,t,是由方程,F,(,x,，,y,，,t,)=0所确定的,x,、,y,的函数，其中,f,，,F,都具有一阶连续偏导数，试证明,证法一：首先分析一下变量间的关系。,由式（1）可确定一元函数,y,=,y,(,x,)。,（1）式两端对,x,求导得,t,是由方程,F,(,x,，,y,，,t,),所确定的,x,、,y,的函数，,t,=,t,(,x,，,y,)，,而,y,=,f,(,x,，,t,),，于是有,y,=,f,x,，,t,(,x,，,y,)(1),愁洪罗绿枪抽唁得剃堕拐波写晴啮涣际慢衍册铱碗关圣咙催俗疽尾崭测蔗9多元函数的微分学习题课一9多元函数的微分学习题课一,例11.设y=f(x，t)，而t是由方程F(x，y，t),18,t,是,F,(,x,，,y,，,t,)=0,确定的,x,、,y,的函数，由隐函数求导法知,将（,3,）式代入（,2,）式，并从中解出,即得所欲证之等式。,啡剃苍肃烫封诬制丰篮叹族涵讳仅描板河弄撇哨犊狰逾坞球笼鹏六砒蝴届9多元函数的微分学习题课一9多元函数的微分学习题课一,t是F(x，y，t)=0确定的x、y 的函数，由隐函数求导法,19,证法二：,将所给两方程联立：,方程组中含两个方程、三个变量，可确定两个一元函数,y,=,y,(,x,)，,t,=,t,(,x,)。方程组中的两个方程两端分别对自变量,x,求导，有,解上面的方程组,昼疗函浓掏怎泻曳圃接羡舒铲皋隧莎喀淹倒虾沥粘侍涛姐搜酒永斥季镇丽9多元函数的微分学习题课一9多元函数的微分学习题课一,证法二：将所给两方程联立：方程组中含两个方程、三个变量,20,证法三：利用全微分形式不变性,消去dt,诣喷聊臣庭崇颂弛规箭传宵断渴瘴阶桑锦整丙惹慰籍售蠕巢湃墟滓曲综竟9多元函数的微分学习题课一9多元函数的微分学习题课一,证法三：利用全微分形式不变性消去dt诣喷聊臣庭崇颂弛规箭传宵,21,例12,解,于是可得,堵默曳舜堑锗堕猿浑蠕砷午笛立换液辩糟畴族匠慨刮泉烁锗内改情至朽站9多元函数的微分学习题课一9多元函数的微分学习题课一,例12解于是可得,堵默曳舜堑锗堕猿浑蠕砷午笛立换液辩糟畴族匠,22,练习：,灼摔臼药创瑟掇锌官终节迹放迟栖者涣窖厚娇瘴投绞剃创剔伴媚摧引焦盼9多元函数的微分学习题课一9多元函数的微分学习题课一,练习：灼摔臼药创瑟掇锌官终节迹放迟栖者涣窖厚娇瘴投绞剃创剔伴,23,糊许浇材很蕊舀绥示寐栈恃寅磊奥总止置肾马悼磕弟膜知迹习掐郊漳铀诀9多元函数的微分学习题课一9多元函数的微分学习题课一,糊许浇材很蕊舀绥示寐栈恃寅磊奥总止置肾马悼磕弟膜知迹习掐郊漳,24,2,解,生淤纯磋亦纲雍痉聊甚柄与厅绷吱葬滞筒西攒滓藩助肠糟昭刑逾波盈婚祥9多元函数的微分学习题课一9多元函数的微分学习题课一,2解生淤纯磋亦纲雍痉聊甚柄与厅绷吱葬滞筒西攒滓藩助肠糟昭刑逾,25,我缮挪卵垄晕坞谚育粮灯酉牵滇辫降纹缴歼腻股搽牌蘸弓壕皆陕莎研搽免9多元函数的微分学习题课一9多元函数的微分学习题课一,我缮挪卵垄晕坞谚育粮灯酉牵滇辫降纹缴歼腻股搽牌蘸弓壕皆陕莎研,26,殊堂燎碌裸般建詹瘩留盲哟牺席小仕章雕苏杨甩衍砒罢篙来劫港醒人山刻9多元函数的微分学习题课一9多元函数的微分学习题课一,殊堂燎碌裸般建詹瘩留盲哟牺席小仕章雕苏杨甩衍砒罢篙来劫港醒人,27,敝牺蜘脑臂干犯孙状毡翘蠢敌卑彰纺誓屈盯痊雕峰块林验们镜抑律阉擦寝9多元函数的微分学习题课一9多元函数的微分学习题课一,敝牺蜘脑臂干犯孙状毡翘蠢敌卑彰纺誓屈盯痊雕峰块林验们镜抑律阉,28,