2015.01,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,Page,*,单击此处编辑母版标题样式,2015.01,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,3.3,垂径定理,阳山县青莲中学数学组,九年级数学,(,下,),第三章 圆,3.3 垂径定理阳山县青莲中学数学组九年级数学(下)第三章,1.,圆是轴对称图形,.,圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴,.,2.,圆也是中心对称图形,.,它的对称中心就是圆心,.,知识回顾,4.,定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。,5.,定理：在同圆或等圆中，如果两个,圆心角,、两条,弧,、两条,弦,中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。,3.,顶点,在,圆心,的角叫做,圆心角,.,1.圆是轴对称图形.圆的对称轴是任意一条经过圆心的直,AM=BM,垂径定理,AB,是,O,的一条弦,.,作直径,CD,使,CDAB,垂足为,M.,你能发现图中有哪些等量关系,?,与同伴说说你的想法和理由,.,O,下图是轴对称图形吗,?,如果是,其对称轴是什么,?,小明发现图中有,:,A,B,C,D,M,由,CD,是直径,CDAB,可推得,AC=BC,AD=BD.,垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。,垂径定理,AM=BM,垂径定理AB是O的一条弦.作直径CD,使CD,证明：连接,OA,OB,则,OA=OB.,在,RtOAM,和,RtOBM,中,OA=OB,，,OM=OM,RtOAMRtOBM,AM=BM,AOC=BOC,AOD=180,AOC,BOD=180,BOC,AOD=BOD,垂径定理：,垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧,O,A,B,C,D,M,证明：连接OA,OB,则OA=OB.在RtOAM和RtO,AM=BM,由,CD,是直径,CDAB,可推得,AC=BC,AD=BD.,O,A,B,C,D,M,垂径定理,垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。,CD,是直径，,CDAB,AB,是弦,AM=BM,，,AD,BD,，,AC,BC,AM=BM 由 CD是直径 CDAB可推得,CDAB,垂径定理的逆定理,AB,是,O,的一条弦,且,AM=BM.,你能发现图中有哪些等量关系,?,与同伴说说,你的想法和理由,.,O,下图是轴对称图形吗,?,如果是,其对称轴是什么,?,C,D,由,CD,是直径,AM=BM,可推得,AC=BC,AD=BD.,M,A,B,平分弦,(,不是直径,),的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧,.,CD,是直径，,AB,是弦，并且,CD,平分,AB,CDAB,，,AD,BD,，,AC,BC,CDAB,垂径定理的逆定理AB是O的一条弦,且AM=B,垂径定理的应用,例,1:,如图，一条公路的转变处是一段圆弧,(,即图中弧,CD,点,O,是弧,CD,的圆心,),其中,CD=600m,E,为弧,CD,上的一点,且,OECD,垂足为,F,EF=90m.,求这段弯路的半径,.,解,:,连接,OC.,O,C,D,E,F,垂径定理的应用例1:如图，一条公路的转变处是一段圆弧(即图,讨论,（,1,）过圆心 （,2,）垂直于弦 （,3,）平分弦 （,4,）平分弦所对优弧 （,5,）平分弦所对的劣弧,（,3,）,（,1,）,（,2,）,（,4,）,（,5,）,（,2,）,（,3,）,（,1,）,（,4,）,（,5,）,（,1,）,（,4,）,（,3,）,（,2,）,（,5,）,（,1,）,（,5,）,（,3,）,（,4,）,（,2,）,（,1,）平分弦（,不是直径,）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧,（,2,）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧,（,3,）,平分一条弧的直径，垂直平分弧所对的弦，并且平分弦所对的另一条弧,O,A,B,C,D,M,讨论（1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦 （4）,命题（,1,）：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧,CD,是直径，,AB,是弦，并且,CD,平分,AB,CDAB,，,AD,BD,，,AC,BC,命题（,2,）：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧,AB,是弦，,CD,平分,AB,，,CD AB,，,CD,是直径，,AD,BD,，,AC,BC,命题（,3,）：平分一条弧的直径，垂直平分弧所对的弦，并且平分弦所对的另一条弧,CD,是直径，,AB,是弦，并且,AD,BD,（,AC,BC,）,CD,平分,AB,，,AC,BC,（,AD,BD,）,CD AB,.,O,A,E,B,D,C,命题（1）：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对,垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。,推论,（,1,）平分弦（,不是直径,）的直径垂直于弦，并且平分弦所对 的两条弧,（,2,）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧,（,3,）,平分一条弧的直径，垂直平分弧所对的弦，并且平分弦所对的另一条弧,垂径定理,记忆,.,O,A,E,B,D,C,垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。推论（1）,O,A,B,C,D,M,弧的中点到弦的距离,叫弓形高或,弓高,，如图线段,CM,是弓高,圆心到弦的距离,叫,弦心距,。如图线段,OM,是,O,到弦,AB,的弦心距。,OABCDM弧的中点到弦的距离,叫弓形高或弓高，如图线段,赵州石拱桥,1.1300,多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥,(,如图,),的桥拱是圆弧形,它的跨度,(,弧所对是弦的长,),为,37.4 m,拱高,(,弧的中点到弦的距离,也叫弓形高,),为,7.2m,求桥拱的半径,(,精确到,0.1m).,随堂练习,1,赵州石拱桥1.1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如,赵州石拱桥,解：如图，用 表示桥拱，所在圆的圆心为,O,，半径为,Rm,，,经过圆心,O,作弦,AB,的垂线,OD,，,D,为垂足，与 相交于点,C.,根,据垂径定理，,D,是,AB,的中点，,C,是 的中点，,CD,就是拱高,.,由题设,在,RtOAD,中，由勾股定理，得,解得,R27.9,（,m,）,.,答：赵州石拱桥的桥拱半径约为,27.9m.,37.4,7.2,随堂练习,1,R,D,A,B,O,C,赵州石拱桥解：如图，用 表示桥拱，所在圆,O,A,B,C,D,如果圆的两条弦平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？为什么,?,E,F,M,N,随堂练习,2,还有其他情况吗？,O,A,B,C,D,C,D,OABCD如果圆的两条弦平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？,如图，已知,O,的半径为,30mm,，弦,AB=36mm.,则点,O,到,AB,的距离及,OAB,的余弦值。,知识技能,2,C,如图，已知O的半径为30mm，弦AB=36mm.则点O到A,如图，两个圆都是以,O,为圆心，小圆的弦,CD,与大圆的弦,AB,在同一条直线上，你认为,AC,与,BD,的大小有什么关系？为什么？,A,B,C,D,理由：过,O,作,OEAB,于,E,，,解后指出,：在圆中，解有关,弦,的问题时，常常需要作出“,垂直于弦的直径,”作为辅助线，实际上，往往只需,从圆心作弦的垂线段。,则,AE=BE,CE=DE,AE,CE=BE,DE,即,AC=BD,数学理解,3,解：,AC=BD,O,E,如图，两个圆都是以O为圆心，小圆的弦CD与大圆的弦AB,如图,M,为,O,内的一点,利用尺规作一条弦,AB,使,AB,过点,M.,并且,AM=BM.,O,M,数学理解,4,A,B,如图,M为O内的一点,利用尺规作一条弦AB,使AB过点M.,判断,（,1,）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧,.(),（,2,）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且经过圆心,.(),（,3,）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分,.(),（,4,）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧,(),（,5,）圆内两条非直径的弦不能互相平分（）,挑战自我,判断（1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧,（,6,）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧,(,）,（,7,）平分弦的直线，必定过圆心 （）,（,8,）一条直线平分弦（这条弦不是直径），那么这条直线垂直这条弦 （）,A,B,C,D,O,(1),A,B,C,D,O,(2),A,B,C,D,O,(3),（6）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧 (）（7,（,9,）弦的垂直平分线一定是圆的直径 （）,（,10,）平分弧的直线，平分这条弧所对的 弦（）,（,11,）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分 （）,A,B,C,O,(4),A,B,C,D,O,(5),A,B,C,D,O,(6),E,（9）弦的垂直平分线一定是圆的直径 （,这节课有何收获？！,你,这节课有何收获？！你,