单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第五节,Cantor集,第二章 点集,Cantor集,对0,1区间三等分，,去掉,中间一个开区间，,然后对留下的两个,闭区间三等分,，各自,去掉,中间一个开区间，,此过程一直进行下去，最后,留下的点,即为,Cantor集,Cantor集,第n次,去掉的开区间,留下的闭区间,1,2,n,定义：令,称P=0,1-G=0,1G,c,为Cantor集,Cantor集的性质,1.分割点一定在Cantor集中,Cantor集,P=0,1-G=0,1G,c,为闭集,注：第n次共去掉,2,n-1,个,长为,1/3,n,的开区间,2.P的“长度”为0，,去掉,的区间长度和,3.P没有内点,(),x-x x+,第 n+1次等分去掉的区间,第n次等分留下的区间,但由Cantor集的作法知，我们要对其,继续三等分,去掉,中间一个开区间，从而 内至少有一点不属于P，,所以x不可能是P的内点。,证明：对任意x P,x必含在“去掉手续,进行到第n次”时留下的,2,n,个,长为1/3,n,的互,不相交的某个闭区间中,4.P中的点全为,聚点,从而没有,孤立,点,从而x为P的,聚点,，当然不为孤立点。,证明：对任意x P，,只要证：,由Cantor集的作法知,而 的两个端点定在P中，,第n次等分留下的区间,(),x-x x+,CANTOR集6大性质：,是测度为零、基数为c 的疏朗完备集.,定义1.稠密集、疏朗集（,补充,）1.）,稠密集,2.）,疏朗集,结论5.CANTOR完备集是疏朗集结论6.P的基数为C,Sierpinski垫的,维数是log3/log2,Cantor集的维数,是log2/log3,参见：分形对象：形、机遇和维数 B.Mandelbrot;实迭代张景中；,数学的源与流张顺燕；集合与面积李惠玲;分形艺术:,;分形频道,Koch曲线的维数,是log4/log3,面积有限但边,界线无限长,(4/3),n,的极限,（20世纪上半世纪）有限维 到 无限维(泛函分析),（20世纪下半世纪）有限维 到 分数维(,分形几何,),Mandelbrot集合,Mandelbrot集合局部放大,Nova分形,Newton分形,3.点集间的距离,b.,若 ,则 d(A,B)=0;反之则不一定成立，,如A=n-1/n,B=n+1/n（都是闭集）,c.d(x,B)=0当且仅当,注：,a.若x B,则d(x,B)=0;反之则不一定成立，如x=0,B=(0,1),证明：利用d(x,E)d(x,z)d(x,y)+d(y,z),z E,定理1,设E为,R,n,中非空点集，则d(x,E)是,R,n,上关于x,的,一致连续函数.,所以d(x,E)是,R,n,上关于x,的一致连续函数。,可得d(x,E)d(x,y)+d(y,E)，,同理d(y,E)d(x,y)+d(x,E),故有|d(x,E)-d(y,E)|d(x,y),定理2：,设A为非空,闭,集，xR,n,，则必,有,yA,使得d(x,y)=d(x,A),闭集：,与E紧挨的点,不跑到E外，也即E外,的点与E不可能紧挨,又为闭集，故yA,对,两边关于i取极限即得d(x,y)=d(x,A),证明：由 可得,定理3.,：设A,B为非空,闭,集，且A有,界,，则必,有,xA,yB,使得d(x,y)=d(A,B),由于A,有界,，故,证明：由,A,B,A有界不可少，,如A=n-1/n,B=n+1/n,又B为闭集，故yB,另外对,两边关于j取极限得d(x,y)=d(A,B),又A为闭集，从而xA，并可得,y,ni,有界,因为当n,i,充分大时，,d(x,y,ni,)d(x,x,ni,)+d(x,ni,y,ni,)1+(d(A,B)+1/n,i,）,例,：设F为R,1,中的有界闭集，G为开集且 则存在0，使得当|x|0,取,=,d(F,G,c,)即可.,(,F ,)G,定理4.设F,1,，,F,2,为R,n,中两个互,不相交,的非空,闭,集，则存,在R,n,上的,连续,函数f(x)，使得,（1）0 f(x)1，x R,n,（2）f(x)=0，x F,1,;f(x)=1,x F,2,注：可推广到一般的拓扑空间（参见：拓扑学 教材p168.），,即,Urysohn引理,.,F,2,F,1,定理5：设F为R,n,中的非空,闭,集，f(x)为定义在F上的,连续,函数,且|f(x)|M（,x F,），则,存在,R,n,上,的,连续,函数g(x)满足|g(x)|M，且,g(x)=f(x),x F,证明：参见：,周民强，实变函数 p-50,注：可推广到一般的拓扑空间（参见：拓扑学 教材p173），,即Tietze,扩张定理,，需用Urysohn引理证明,F,