,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第,13,讲,系统相对稳定性（稳定裕度）,1,5.4.1,相位（角）裕度和增益裕度,图,5-46,的极坐标图,对于,K,值比较大时,，,系统可能不稳定。,当增益增大到一定值时，,的轨迹通过,-1+j0,点。对于小的,K,值，系统是稳定的。,的,轨迹靠近,-1+j0,点的程度，可以用来度量稳定程度,(,对条件稳定系统不适用,),。在实际系统中常用,相位裕量,和,增益裕量,表示。,5.4,系统相对稳定性,2,b,a,-1,1,0,j,r,1/h,若系统的开环幅相曲线如图：,a,点：,但,b,点：,但,若,a,点沿着单位圆顺时针转过,r,角，则,同时成立。,若,b,点沿着负实轴向左移动到,(-1,j0),点，则,同时成立,定义相角裕度为,a,点剪切频率,定义幅值裕度为,b,点相角交越频率,稳定裕度的定义,3,相位裕度、相角裕度,(Phase Margin),设系统的剪切频率,(Gain cross-over frequency),为,相角裕度定义：,开环频率特性在剪切频率处所对应的相角与,180,0,之差，称为相角裕度。即：,相角裕度的含义：,则系统将变为临界稳定。,对于闭环稳定系统，如果开环相频特性再滞后 度。,当,时，相位裕度为正值；,为了使最小相位系统稳定，,相位裕度必须为正,。,在极坐标图上的临界点:幅值为,0,分贝，相角为,时，相位裕度为负值。,当,4,5,增益裕度、幅值裕度,(Gain Margin),设系统的相位穿越频率,(Phase cross-over frequency),定义幅值裕度为：,幅值裕度,对于闭环稳定系统，如果系统开环幅频特性再增大,倍,，,则系统将变为临界稳定状态。,的含义是,：,若以分贝值表示，则有,增益裕度为正值；,或,正增益裕度表示系统是稳定的；负增益裕度表示系统是不稳定的。,(,最小相位系统,),若,增益裕度为负值。,若 或,6,7,b,a,-1,1,0,j,r,1/h,若系统的开环幅相曲线如图：,a,点：,但,b,点：,但,若,a,点沿着单位圆顺时针转过,r,角，则,同时成立。,若,b,点沿着负实轴向左移动到,(-1,j0),点，则,同时成立,定义相角裕度为,a,点剪切频率,定义幅值裕度为,b,点相角交越频率,稳定裕度的定义,8,Stable System,Unstable System,Bode,图上相位裕度与幅值裕度表示,9,Stable System,Unstable System,10,判断系统稳定的又一方法,11,一阶或二阶系统的增益裕度为,无穷大,，因为这类系统的极坐标图与负实轴不相交。因此，从理论上讲，一阶或二阶系统不可能是,不稳定的,。,当然，一阶或二阶系统在一定意义上说只能是近似的，这是因为在推导系统方程时，忽略了一些小的时间滞后，因此它们不是真正的一阶或二阶系统。如果涉及这些小的滞后，则所谓的一阶或二阶系统可能是不稳定的。,对于稳定的最小相位系统，增益裕度指出了系统在不稳定之前，,增益能够增大多少,。对于不稳定系统，增益裕度指出了为使系统稳定，,增益应当减少多少,。,一阶或二阶系统的增益裕度为多少？,12,5.4.2,关于相位裕度和增益裕度的几点说明,控制系统的,相位裕度,和,增益裕度,是系统的极坐标图对,-1+j0,点靠近程度的度量。这两个裕度可以作为系统设计准则。,仅,用,增益裕度,和,相位裕度,，都不足以说明系统的相对稳定性。为了确定系统的,相对稳定性,，必须同时给出这两个量。,对于最小相位系统，只有当,相位裕度和增益裕度都是正值,时，,系统才是稳定的,。负的裕度表示系统不稳定。,适当的相位裕度和增益裕度可以防止系统中元件变化造成的不良影响，并且指明了频率值。,工程中为了得到满意的性能，相位裕度应当在 之间，增益裕度应当大于,6,分贝。,13,最小相位系统临界稳定时,G(jw,),曲线过,(-1,j0),点，,该点：,同时成立,-1,1,0,j,临界稳定的特点：,14,例,5-9,一单位反馈系统的开环传递函数为,K=1,时系统的相位裕度和增益裕度。,要求通过增益,K,的调整，使系统的增益裕度,20logh=20dB,，相位裕度,解：,即,相位穿越频率,增益裕度,15,在,处的开环对数幅值为,16,根据,K=1,时的开环传递函数,相位裕度,增益穿越频率,截止频率,17,由题意,20logh=20dB,知：,验证是否满足相位裕度的要求。,根据,的要求，则得,：,不难看出,，,就能同时满足相位裕度和增益裕度的要求。,18,19,例,5-11,设一单位反馈系统对数幅频特性如图,5-50,所示,(,最小相位系统,),。,写出系统的开环传递函数,判别系统的稳定性,如果系统是稳定的，则求,时的稳态误差。,解：,20,21,由于是最小相位系统，因而可通过计算相位裕度,是否大于零来判断系统的稳定性。由图可知,在,处,则得,单位斜坡输入时，系统的稳态误差为,0,系统稳定,22,5.6,标准二阶系统中阶跃时间响应与频率响应之间的关系,在图,3-8,所示的标准二阶系统中，单位阶跃响应中的最大超调量可以精确地与频率响应中的谐振峰值联系在一起。因此，从本质上看，在频率响应中包含的系统动态特性与在时间响应中包含的系统的动态特性信息是相同的。,设截剪切频率,则有,23,根据相位裕度的定义,上式说明相位裕度仅仅与阻尼比有关。,24,图,5-51,标准二阶系统的相位裕度与阻尼比之间的关系,25,相位裕度与阻尼比直接相关,。,对于标准二阶系统，相位裕度与阻尼比之间的关系近似地用直线表示如下：,因此，相位裕度相当于阻尼比。对于具有一对主导极点的高阶系统，根据频率响应估计瞬态响应中的相对稳定性（即阻尼比）时，根据经验，可以应用这个公式。,对于小的阻尼比，谐振频率与有阻尼自然频率的值几乎是相同的。因此，对于小的阻尼比，谐振频率的值表征了系统瞬态响应的速度。,26,5.6.2,截止频率与带宽,(,Cutoff,frequency and bandwidth),图,5-53,截止频率与系统带宽,当闭环频率响应的幅值下降到零频率值以下,3,分贝时，对应的频率称为,截止频率。,对于,系统,闭环系统滤掉频率大于截止频率的信号分量，但是可以使频率低于截止频率的信号分量通过。,闭环系统的幅值不低于,-3,分贝时，对应的频率范围称为系统的,带宽,。,27,二阶系统的闭环传递函数：,频率特性：,由带宽的定义得：,28,带宽指标取决于下列因素：,1,、,对输入信号的再现能力。,大的带宽对应于小的上升时间，即对应于快速特性。粗略地说，带宽与响应速度成反比。,2,、,对高频噪声必要的滤波特性。,为了使系统能够精确地跟踪任意输入信号，系统必须具有大的带宽。但是，从噪声的观点来看，带宽不应当太大。因此，对带宽的要求是矛盾的，好的设计通常需要折衷考虑。具有较大带宽的系统需要高性能的元件，因此，元件的成本通常随着带宽的增加而增大。,29,30,谢谢！,结束,31,