单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,Digital Signal Processing,数字信号处理,数字信号处理课程组,2021年9月,第2章时域离散信号和系统的频域分析,2.1,引言,2.2时域离散信号的傅里叶变换的定义及性质,2.3周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式 2.4时域离散信号的傅里叶变换与模拟信号,傅里叶变换之间的关系,2.5序列的Z变换,2.6利用Z变换分析信号和系统的频响特性,习题与上机题,信号和系统的两种分析方法：,(1)模拟信号和系统,信号用连续变量时间t的函数表示；,系统那么用微分方程描述；,信号和系统的频域分析方法：拉普拉斯变换和傅里叶变换；,2.1 引言,时域分析方法和频率分析方法,(2)时域离散信号和系统,信号用序列表示；,系统用差分方程描述；,频域分析的方法是：Z变换或傅里叶变换；,2.2 序列的傅里叶变换的定义和性质,序列傅里叶变换的定义,称为序列,x(n)的傅里叶变换,，用FT(Fourier Transform)缩写字母表示。,FT成立的,充要条件,是序列x(n)满足,绝对可和的条件,，即满足下式：,2.2 序列的傅里叶变换的定义和性质,求FT的反变换,，用,e,jm,乘上式两边，并在-内对进行积分，得到,因此,傅里叶变换对,2.2 序列的傅里叶变换的定义和性质,例:设x(n)=R,N,(n)，求x(n)的FT,设N=4，幅度与相位随变化曲线如以下图所示,Commonly Used DTFT Pairs,Sequence DTFT,2.2 序列的傅里叶变换的定义和性质,2.2.2 序列傅里叶变换的性质,1.FT的周期性,在FT定义式中，n取整数，因此下式成立,M为整数,结论：,(1),序列的傅里叶变换,是频率的连续周期函数,，周期是,2,。,(2)X(e,j,)可展成,傅里叶级数,，x(n)是其系数。X(e,j,)表示了信号在频域中的,分布规律,。,(3)在,0,2,4,表示信号的,直流分量,，在,(2M1),时是,最高的频率分量,。一般只分析信号在,一个周期的,FT,2.2 序列的傅里叶变换的定义和性质,2.线性,3.时移与频移,设X(e,j,)=FTx(n)，那么,设：,那么：,式中,a,b,为常数,),改变相位,2.2 序列的傅里叶变换的定义和性质,4.FT的对称性,(1)共轭对称序列,共轭对称序列x,e,(n)满足：,将x,e,(n)用其实部与虚部表示：,上式两边n用-n代替，取,共轭：,得到：,x,e,(n)=x*,e,(-n),x,e,(n)=x,er,(n)+jx,ei,(n),x*,e,(-n)=x,er,(-n)-jx,ei,(-n),x,er,(n)=x,er,(-n)x,ei,(n)=-x,ei,(-n),实部是偶函数,虚部是奇函数,2.2 序列的傅里叶变换的定义和性质,比照上面两公式，左边相等，因此得到,x,o,(n)=x*,o,(-n),x,o,(n)=x,or,(n)+jx,oi,(n),x*,o,(-n)=x,or,(-n)jx,oi,(-n),实部是奇函数,虚部是偶函数,x,or,(n)=x,or,(-n),x,oi,(n)=x,oi,(-n),(2)共轭反对称序列,共轭反对称序列满足：,将x,0,(n)用其实部与虚部表示：,上式两边n用-n代替，取,共轭：,2.2 序列的傅里叶变换的定义和性质,例1 试分析x(n)=e jn的对称性,解：将x(n)的n用-n代替，再取共轭得到：,x*(-n)=e jn,因此 x(n)=x*(-n)，x(n)是共轭对称序列。,将序列展成实部与虚部的形式，得到,x(n)=cosn+j sinn,上式说明:共轭对称序列的实部是偶函数，虚部是奇函数。,2.2 序列的傅里叶变换的定义和性质,(3)任意序列可表示成共轭对称序列与共轭反对称序列之和,x(n)=x,e,(n)+x,o,(n),x,e,(n),x,o,(n)和原序列x(n)有何关系？,将上式中的n用-n代替，取共轭：,x*(-n)=x,e,(n)-x,o,(n),根据上面两式，得到,2.2 序列的傅里叶变换的定义和性质,(4)频域函数X(ej)的对称性,任意频域函数X(ej)可表示成共轭对称局部和共轭反对称局部之和：,X(e,j,)=X,e,(e,j,)+X,o,(e,j,),X,e,(e,j,)=X*,e,(e,j,),X,o,(e,j,)=X*,o,(e,j,),X,e,(e,j,),X,o,(e,j,)和原频域函数X(e,j,)的关系,2.2 序列的傅里叶变换的定义和性质,(5)研究FT的对称性,(a)将序列x(n)表示成实部xr(n)与虚部xi(n)的形式,x(n)=xr(n)+jxi(n),将上式进行FT，得到:X(e j)=Xe(e j)+Xo(e j),结论：序列分成实部与虚部两局部，实部对称的FT具有共轭对称性，虚部和j一起对应的FT具有共轭反对称性。,x,i,(n),2.2 序列的傅里叶变换的定义和性质,(b)序列表示成共轭对称局部xe(n)和共轭反对称局部xo(n)之和,其中：将上面两式分别进行FT，得到,FTxe(n)=1/2X(ej)+X*(ej)=ReX(ej)=XR(ej),FTxo(n)=1/2X(ej)-X*(ej)=jImX(ej)=jXI(ej),结论：序列的共轭对称局部xe(n)对应着FT的实部XR(ej)，而序列的共轭反对称局部xo(n)对应着FT的虚部jXI(ej)。,x(n)=x,e,(n)+x,o,(n),2.2 序列的傅里叶变换的定义和性质,总结：序列傅里叶变换的共轭对称性的根本内容如下：,FT,x(n)=x,r,(n)+jx,i,(n),X(e,j,w,)=X,e,(e,j,w,)+X,o,(e,j,w,),FT,x(n)=x,e,(n)+x,o,(n),X(e,j,w,)=X,R,(e,j,w,)+jX,I,(e,j,w,),2.2 序列的傅里叶变换的定义和性质,(6)研究实因果序列h(n)的对称性,因为h(n)是实序列，其FT只有共轭对称局部He(ej)，共轭反对称局部为零。所以其FT具有共轭对称性。,即：H(ej)=He(ej),H(ej)=H*(e-j),因此实序列的FT的实部是偶函数，虚部是奇函数,即：HR(ej)=HR(e-j),HI(ej)=-HI(e-j),2.2 序列的傅里叶变换的定义和性质,实因果序列h(n)与其共轭对称局部he(n)和共轭反对称局部ho(n)的关系,h(n)=he(n)+ho(n),he(n)=1/2h(n)+h(-n),ho(n)=1/2h(n)-h(-n),0，n=0,因为h(n)是实因果序列，h,e,(n)和h,o,(n)可以用h(n)表示为：,2.2 序列的傅里叶变换的定义和性质,实因果序列h(n)分别用h,e,(n)和h,o,(n)表示为,h(n)=h,e,(n)u,+,(n),h(n)=h,o,(n)u,+,(n)+h(o)(n),分段增益函数,说明：,实因果序列,可以完全仅由,其偶序列h,e,(n),恢复，因为,其奇序列,h,o,(n)中缺少n=0点h(n)的信息，因此由h,o,(n)恢复h(n)时，需要补充一点,h(o)(n),信息,2.2 序列的傅里叶变换的定义和性质,例2,x(n)=a,n,u(n),0a1,求其偶函数,x,e,(n),和奇函数,x,o,(n),。,解：,x(n)=x,e,(n)+x,o,(n),0，n=0,0，n=0,2.2 序列的傅里叶变换的定义和性质,5.时域卷积定理,设：y(n)=x(n)*h(n),那么：Y(e j)=X(e j)H(e j),证明：,m,m,定理说明：两序列卷积的FT服从相乘关系，对于线性时不变系统，输出的FT等于输入信号的FT乘以单位脉冲响应的FT,令：k=n m,那么,2.2 序列的傅里叶变换的定义和性质,6.频域卷积定理,设：y(n)=x(n)h(n),那么：,x,X(,),e,证明：,2.2 序列的傅里叶变换的定义和性质,7.帕斯维尔Parseval定理,）,定理说明,：,信号时域的总能量等于频域中的总能量。,证明：,3.2,DTFT Properties,Type of Property Sequence DTFT,Parsevals relation,Modulation gnhn,Convolution gn*hn,G(e,j,)H,(e,j,),Differentiation n,gn,jd,G(e,j,)/d,Frequency-shifting,e,-j,0,n,gn,G(e,j(,-,0,),),Time-shifting gn-n,0,e,-j,n,0,G(e,j,),Linearity agn+bhn a,G(e,j,)+bH,(e,j,),hn H(e,j,),gn G(e,j,),2.3 周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式,周期序列,不满足绝对可和条件,，其FT是不存在的，由于具有周期性，可展开成离散傅里叶级数，当引入,奇异函数,，其,FT可用公式表示,。,注意：模拟基频为 高次谐波为 有无穷多个！,数字基频为 高次谐波为 只有N个！,2.3.1周期序列的离散傅里叶级数,1.周期序列的离散傅立叶变换(DFS变换),设 是以N为周期的周期序列，可展成傅里叶级数的形式：,式中,a,k,是傅里叶级数的系数，为求系数,a,k,，将上式两边乘以 ，并对n在一个周期N中求和,2.3 周期序列的离散傅里叶级数及,傅里叶变换表示式,k和n均取整数，当k或者n变化时，是周期为N的周期函数，所以系数 也是周期序列，,a,k,=a,k+lN,，令：,式中:,因此:,n,-k,n,周期序列的离散傅里叶级数,2.3 周期序列的离散傅里叶级数及,傅里叶变换表示式,2、周期序列离散傅立叶反变换(,IDFS,变换),如上式两端乘以 ，并对k在一个周期中求和，得到,N，k=n,0，k n,由于：,2.3 周期序列的离散傅里叶级数及,傅里叶变换表示式,总结：,一个周期为N的周期序列,DFS变换对,为,意义,：,表明将周期序列分解成N次谐波，,第k个谐波,频率为,k,=(2/N)k,，k=0,1,2 N-1，幅度 ，,基波分量,的,频率是2/N,，幅度是,一个周期序列可以用其,DFS,表示它的,频谱分布规律。,2.3 周期序列的离散傅里叶级数及,傅里叶变换表示式,例1 设x(n)=R4(n)，将x(n)以N=8为周期，进行周期延拓，得到如下图的周期序列 ，周期为8，求 的DFS。,解：按照DFS变换公式,幅度特性说明周期序的DFS:,与N有关；,在频域中是个离散的周期序列,2.3 周期序列的离散傅里叶级数及,傅里叶变换表示式,2.3.2 周期序列的傅里叶变换表示式,在模拟系统中，的,傅里叶变换,是在=,o,处的单位冲激函数，强度是2，即,r取整数,则：,在,0,2r处的单位冲激函数,在,时域离散系统,中，对于,x(n)=e,j,o,n,，2/,o,为有理数，其FT也是在=,0,处的单位冲激函数，强度为2，由于n取整数，下式成立,2.3 周期序列的离散傅里叶级数及,傅里叶变换表示式,对于一般周期序列 ，其离散傅里叶级数为：,奇异函数,其中：,如果让,k在,之间变化，上式可简化成：,对其进行傅里叶变换：,2.3 周期序列的离散傅里叶级数及,傅里叶变换表示式,例2:,求例1中周期序列的FT。,解：,将例1中得到的 代入周期序列的FT公式中得到,对于同一个周期信号，其DFS和FT分别取模的形状是一样的，不同的是FT用单位冲激函数表示(用带箭头的竖线)，所以，周期序列的频谱分布用其DFS和FT表示都可以,2.3 周期序列的离散傅里叶级数及,傅里叶变换表示式,例3,令 ，2/,0,为有理数，求其FT。,2,解：,欧拉公式,展开,说明:cos0n的FT，是在=0处的单位冲激函数，强度为，且以2为周期进行延拓。,2.4 时域离散信号的FT与模拟信号FT之间的关系,模