单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第三章 逻辑代数与 逻辑函数,重点：,逻辑函数的变换和化简,3.1 基本逻辑运算,3.,4,逻辑函数门电路的实现,3.2 逻辑函数的变换和化简,3.3 逻辑函数的卡诺图化简法,第三章 逻辑代数与 逻辑函数重点：3.1 基本逻辑运算,1,3.1 基本逻辑运算,数字电路研究的是数字电路的输入与输出之间的因果关系，即逻辑关系。逻辑关系一般由逻辑函数来描述。逻辑函数是由逻辑变量A，B，C和基本逻辑运算符号,(与)、+（或）、,（非）及括号、等号等构成的表达式来表示，如：F=,BC+A=F(A,B,C),式中A、B、C称为,原变量,，,称为对应的,反变量,，F称为逻辑函数（称为F的逻辑反函数）。,一,.,基本公式,1.变量与常数的计算公式：,A0=0 A1=A A+1=1 A+0=A A+1=,A+0=A,2.变量与变量的计算：,AA=A A+A=AAA=0A+A=1A=A A+A=0 A+A=1,3.1 基本逻辑运算数字电路研究的是数字电路的输入与输出之,2,二.,基本运算定律,以上这些定律可以用基本公式或真值表进行证明。,例1 利用基本公式证明AB+,C+BC=AB+,C。,证：左边=AB+,C+(A+,)BC=AB+,C+ABC+,BC,=AB(1+C)+,C(1+B)=AB+,C=右边,如果AB+,C+BC,EFG,=,?,1.交换律：A B=B A A+B=B+A A+B=B+A,2.结合律：A(B C)=(A B)C (A+B)+C=A+(B+C),(A+B)+C=A+(B+C),3.分配律：A(BC)=ABAC A(B+C)=AB+AC,A(B C)=（AB)(AC),5.反演律(摩根定律)：AB=A+B A+B=A B,4.吸收律：A(A+B)=A A+AB=A AB+AB=A,B+A=A+B AB+,C+BC=AB+,C,二.基本运算定律 以上这些定律可以用基本公式或真值表进行,3,三.,基本运算规则,1运算顺序,在逻辑代数中，运算优先顺序为:先算括号，再是非运算，然后是与运算，最后是或运算。,2代入规则,在逻辑等式中，如果将等式两边出现某一变量的位置都代之以一个逻辑函数，则等式仍然成立。这就是代入规则。,3.反演,规则,在逻辑,求F函数的反函数，只要将F式中,与,+,互换，,0,与,1,互换，,原变量,与,反变量,互换，,其余符号和运算顺序不变,。,例如，已知 。若用,Z=AC,代替等式中的,A,，根据代入规则，等式仍然成立，即,三.基本运算规则 1运算顺序 3.反演规则例如，,4,四.,对偶规则,*,将逻辑函数F中所有的,1换成0，0换成1，换成+，+换成,，,变量保持不变,，得到的新函数F，F称为F的对偶式。例如,F=,（B+C）F=,+BC,变换时仍需注意保持原式中先与后或的顺序。,如果某个逻辑恒等式成立时，则其对偶式也成立，这就是对偶规则。,四.对偶规则*将逻辑函数F中所有的1换成0，0换成1，,5,3.2 逻辑函数的变换和化简,一.逻辑函数的变换,利用基本逻辑运算可以将同一个逻辑函数变换为不同的表达式，一个逻辑函数通常有以下五种类型的表达式:,与或表达式易于从真值表直接写出，而且只需运用一次摩根 定律就可以从最简与或表达式变换为与非-与非表达式，从而可以用与非门电路来实现。,与或表达式：F=AB+AC(先与再或),或与表达式：F=(A+B)(A+C)(先或再与),与非与非表达式：F=AB AC(又称为,与非表达式,),或非或非表达式：F=A+B+A+C(,又称为或非表达式,),与或非表达式：L=AB+AC(先与再或最后非),3.2 逻辑函数的变换和化简 一.逻辑函数的变换与或表,6,二.,逻辑函数代数法化简,1.消去多余项：,2.消去合并项：,3.消去因子:,4.添加项配项：,对较简单逻辑函数用代数化简很方便。对较复杂的逻辑函数化简不但要求熟练掌握逻辑代数的基本公式，而且需要一些技巧，特别是较难掌握获得代数化简后的最简逻辑表达式的方法。,例 F=AB+ABC(E+F),例 F=ABC+ABC,例 F=AB+AC+BC,例 F=AB+BC+BC+AB,=AB,=AB+BC+BC+AB+AC,=AB+BC+AC,最简与或表达式有两个特点:,1与项(即乘积项)的个数最少;2每个与项中变量的个数最少。,二.逻辑函数代数法化简 1.消去多余项：,7,例：根据真值表写出函数T,1,和T,2,的与或表达式和与非表达式。,解：,输入,A B C,输出,T,1,输出,T,2,0 0 0,0 0 1,0 1 0,0 1 1,1 0 0,1 0 1,1 1 0,1 1 1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,例：根据真值表写出函数T1和T2的与或表达式和与非表达式。,8,3.2,逻辑函数的卡诺图化简法,一.最小项,特点,：,1.每个乘积项都有三个变量，原、反变量均可；,2.,每个乘积项,中,，同一,原、反变量只能出现1次；,3.n个原变量的最小项最多有2,n,个。,性质,：,对变量的任一取值，只有一个最小项为1；,两个最小项之积为0；全部最小项之和为1。,在含有三个输入变量A、B、C的逻辑函数中，A、B、C的所有取值可以构成8种不同状态，用变量表示为8个乘积项：,ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC,，它们统称为逻辑函数的,最小项,。,3.2 逻辑函数的卡诺图化简法一.最小项特点：性质：在含,9,二.最小项(标准)表达式,对于某种逻辑关系，用真值表来表示是唯一的，用前面讨论的逻辑表达式来表示可以有多个表达式。如果用最小项之和组成的表达式来表示，也是唯一的。,用最小项表示的逻辑函数称为最小项(标准)表达式，其表达式是唯一的。,例：F=ABC+ABC+ABC,最小项表达式还可简写为,F=m,i,，式中,m,i,表示最小项，下标,i,是最小项值为1时对应变量的,十进制数值,。,上例可写为F（A,B,C）=m,1,+m,6,+m,7,=,m(1,6,7)=(1,6,7),二.最小项(标准)表达式对于某种逻辑关系，用真值表来表示是,10,(1)每方格代表一个最小项，方格内的数字表示相应最小项的下标，最小项的,逻辑取值,填入相应方格；,(2)卡诺图方格外的字母和数字为输入变量及其相应变量取值，变量取值的排序不能改变；,(3)相邻的,2,个方格称为逻辑相邻项（简称,相邻项,），相邻项中只有,1,对变量,互为反变量,，而其余变量完全相同。,(4)卡诺图一列中最上和最下,2,个方格是,相邻项,；一行中最左和最右,2,个方格是,相邻项,。,三.卡诺图,2,3,B,A,0,1,0,1,0,1,BC,A,00,01,11,10,0,2,1,1,3,0,6,5,7,4,CD,AB 00,01,11,10,00,01,11,10,2,1,3,0,6,5,7,4,14,13,15,12,10,9,11,8,二变量,三变量,四变量,(1)每方格代表一个最小项，方格内的数字表示相应最小项的下标,11,由逻辑函数真值表直接画出的卡诺图,四.逻辑函数的卡诺图表示,真值表输入变量每一行对应一个最小项，即对应卡诺图中的一个方格，将最小项取值（即输出变量取值）填入卡诺图对应方格中，即构成相应的卡诺图。,2,1,3,0,6,5,7,4,0,0,1,0,1,1,1,0,BC,A,00,01,11,10,0,1,由逻辑函数真值表直接画出的卡诺图 四.逻辑函数的卡诺图表示,12,由逻辑函数表达式画出的卡诺图,四.逻辑函数的卡诺图表示,1,0,0,1,1,0,1,1,例：画出F=AB+C+ABC 的卡诺图。,解：先写标准表达式，再画卡诺图,F=AB(C+C)+C(A+A)(B+B)+ABC,=ABC+ABC+ABC+ABC+ABC,=m(7,6,4,2,0),直接画出卡诺图,BC,A,00,01,11,10,0,1,BC,A,00,01,11,10,0,1,A=1,B=1,C=0,C=0,A=0,B=1,1,0,0,1,1,0,1,1,BC,A,00,01,11,10,0,1,如果逻辑函数中含有与非项或或非项，应先利用,反演律去掉，再按上述方法,画出卡诺图。例,由逻辑函数表达式画出的卡诺图 四.逻辑函数的卡诺图表示,13,五.卡诺图化简,化简依据：,图中任何,2=2,1,个为1的相邻项可以合并为1个与项，并消去,一,个变量；,任何,4=2,2,个为1的相邻项可以合并为1个与项，消去,2,个变量；,任何,2,K,个为1的相邻项可以合并为1个与项，消去,K,个变量。,化简步骤:,将为1的相邻项（方格）尽可能多的圈出，每个圈内1的个数满足2,k,；,方格1可以重复使用,每个圈要有新1；,必须圈完所有的1，独立1对应一个最小项；,将所有包围圈内的最小项合并成对应与项，然后相加得到最简与或表达式。,五.卡诺图化简化简依据：,14,例：,用卡诺图化简下列函数：,F,1,=ABC+ABC+ABC+ABC,F,2,=ABC+ACD+ABCD+ABC,BC,A,00,01,11,10,0,1,1,1,1,1,F,1,=,B,F,2,=,BD,+,BC,+,ACD,1,1,1,1,1,1,1,CD,AB 00,01,11,10,00,01,11,10,例：用卡诺图化简下列函数：F1=ABC+ABC+ABC+AB,15,练习,化简下列逻辑函数为最简与或函数式：,F,1,=XYZ+XY+XYZ F,2,=BCD+AC+AB+BCD,F,3,=ABC+ABC+ABC+ABC,解：,1,YZ,X,00,01,11,10,0,1,1,1,1,1,F,1,=,(7,5,4,6),=X,F,3,=,(4,5,6,7),1,1,1,1,BC,A,00,01,11,10,0,1,F,2,=,AC+BC,=A,CD,AB 00,01,11,10,00,01,11,10,1,1,1,1,1,1,1,1,练习化简下列逻辑函数为最简与或函数式：1 YZ X0001,16,六.含有无关项的化简,约束项(不允许或不会出现的最小项)和任意项(最小项可任意取值)统称为无关项。常用d表示。,无关项在卡诺图中用,表示，既可看作1，也可看作0，视具体情况而定。例如：,F(A,B,C,D)=m(4,6,8,9,10,12,13,14)+d(0,2,5),CD,AB 00,01,11,10,00,01,11,10,2,0,5,1,3,7,15,11,6,4,14,13,12,10,9,8,1,1,1,1,1,1,1,1,F=,D,+,AC,0,0,0,0,0,六.含有无关项的化简 约束项(不允许或不会出现的最小,17,例：用,8421BCD码表示的1位十进制数，当十进制数为奇数时，电路输出为1，当十进制数为偶数时，电路输出为0。试写出上述逻辑关系的最简与或表达式,解：,CD,AB 00,01,11,10,00,01,11,10,1,1,1,1,1,0 0,0 0,0 0,F=,D,十进制数,输入变量,A B C D,输出,F,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,0 0 0 0,0 0 0 1,0 0 1 0,0 0 1 1,0 1 0 0,0 1 0 1,0 1 1 0,0 1 1 1,1 0 0 0,1 0 0 1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,无,关,项,1 0 1 0,1 0 1 1,1 1 0 0,1 1 0 1,1 1 1 0,1 1 1 1,F(A,B,C,D),=m(1,3,5,7,9),+d(11,12,13,14,15),0,0,0,0,0,F,=,AD+BCD,例：用8421BCD码表示的1位十进制数，当十进制数为奇数时,18,3.3,逻辑函数门电路的实现,逻辑函数经过化简之后，得到了最简逻辑表达式。根据逻辑表达式，就可采用适当的逻辑门来实现逻辑函数。,逻辑函数的实现是通过逻辑电路图表现出来的。逻辑电路图是由逻辑符号以及其它电路符号构成的电路连接图。逻辑