单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二节函数的单调性,第二节函数的单调性,基础梳理,定义,单调增函数,单调减函数,一般地，设函数,y,=,f,(,x,),的定义域为,A,，区间,I,A,，如果对于区间,I,内的任意两个值,x,1,，,x,2,当,x,1,x,2,时，都有,_,，那么就说,y,=,f,(,x,),在区间,I,上是单调增函数，,I,称为,y,=,f,(,x,),的,_,当,x,1,f,(,x,2,),f,(,x,1,)0,，,b,0),的单调性：在,_,和,_,上单调递增；在,_,和,_,上单调递减,(0,1,(-,，,-1,1,，,+),-1,0),4.一些重要函数的单调性(1)y=x+的单调性：,基础达标,(,必修,1P,43,练习,2,改编,),函数,f,(,x,)=1-3,x,在,(-,，,+),上是,_,函数；,f,(,x,)=+2,在,(-,，,0),上是,_,函数,减,减,基础达标(必修1P43练习2改编)函数f(x)=1-3x减减,2.(,必修,1P,34,例题改编,),函数,f,(,x,)=,x,2,-2,x,+4,的增区间为,_,；,减区间为,_,(-,，,1,1,，,+),2.(必修1P34例题改编)函数f(x)=x2-2x+4的,3.,f,(,x,)=,x,2,-2,ax,+3,在,(-,，,4,上是减函数，,则,a,的取值范围为,_,解析：画出图形可知,a,4.,4,，,+),3.f(x)=x2-2ax+3在(-，4上是减函数，,4.,下列函数中，在区间,(0,，,+),上不是增函数的,是,_,(,填序号,),y,=2,x,+1,；,y,=3,x,2,+1,；,y,=,；,y,=|,x,|.,解析：在,R,上递增；在,(0,，,+),上递增；,在,(0,，,+),上递增；只有在,(0,，,+),上递减,4.下列函数中，在区间(0，+)上不是增函数的解析：,5.,若函数,y,=,ax,与,y,=,在,(0,，,+),上都是减函数，则,y,=,ax,2,+,bx,在,(0,，,+),上是,_,(,填,“,增函数,”,或,“,减函数,”,),解析：由题意知,a,0,且,b,0,，则,y,=,ax,2,+,bx,图象开口,向下且对称轴,x,=-0,，故此函数在,(0,，,+),上递减,减函数,5.若函数y=ax与y=在(0，+)上都是减函数,【,例,1】,判断下列函数的单调性，并给予证明,(1),f,(,x,)=,，,x,(-1,，,+),；,(2),f,(,x,)=,，,x,-1,，,+),经典例题,题型一函数单调性的判断与证明,分析：,先判断单调性，再用单调性的定义证明,(1),采用通分进行变形，,(2),采用分子有理化的,方式进行变形,经典例题题型一函数单调性的判断与证明分析：,解：,(1),函数,f,(,x,)=,在,(-1,，,+),上为减函数,利用定义证明如下：,任取,x,1,、,x,2,(-1,，,+),，且,-1,x,1,x,2,，,则,f,(,x,1,)-,f,(,x,2,)=,-1,x,1,0,，,x,2,+10,，,x,2,-,x,1,0,，,0,，,即,f,(,x,1,)-,f,(,x,2,)0,，,f,(,x,1,),f,(,x,2,),故,f,(,x,)=,在,(-1,，,+),上为减函数,解：(1)函数f(x)=在(-1，+)上,(2),函数,f,(,x,)=,在,-1,，,+),上为增函数,证明如下：,任取,x,1,、,x,2,-1,，,+),且,-1,x,1,x,2,，,则有,x,1,-,x,2,0,，,f,(,x,1,)-,f,(,x,2,)=,-1,x,1,x,2,，,x,1,-,x,2,0,，,即,f,(,x,1,)-,f,(,x,2,)0,，,f,(,x,1,),f,(,x,2,),故函数,f,(,x,)=,在,-1,，,+),上为增函数,(2)函数f(x)=在-1，+)上,变式,1-1,试讨论函数,f,(,x,)=,，,x,(-1,1),的单调性,(,其中,a,0),解析：设,-1,x,1,x,2,1,，,则,f,(,x,1,)-,f,(,x,2,)=.,-1,x,1,x,2,1,，,|,x,1,|1,，,|,x,2,|0,，,|,x,1,x,2,|1,，,即,-1,x,1,x,2,0.,.,因此，当,a,0,时，,f,(,x,1,)-,f,(,x,2,)0,，,即,f,(,x,1,),f,(,x,2,),，此时函数为减函数；,当,a,0,时，,f,(,x,1,)-,f,(,x,2,)0,，,即,f,(,x,1,),f,(,x,2,),，此时函数为增函数,变式1-1解析：设-1x1x20,，且,a,1),；,(2),y,=log,1/2,(4,x,-,x,2,),；,(3),y,=,；,(4),y,=|,x,-3|-|,x,+1|.,题型二求函数单调区间,分析：研究函数单调性，必须先确定区间,(,即定义域,),，,注意复合函数的“同增异减”的运用考查运用函数,图象求单调区间,【例2】求下列函数的单调区间题型二求函数单调区间分析：,解：,(1),定义域为,R,，,g,(,x,)=1-,x,，在,R,上是减函数，,当,a,1,时，,y,=,a,1-,x,在,R,上是减函数；,当,0,a,1,时，函数的减区间是,R,；,当,0,a,0,，,在,(0,2,上递增，在,2,4),上递减，,故函数,y,=log,1/2,(4,x,-,x,2,),增区间是,2,4),，减区间是,(0,2,解：(1)定义域为R，(2)设g(x)=4x-x2=-(x-,(3),由,y,=,，得,-,x,2,-2,x,+30,，,得,-3,x,1,，且对称轴为,x,=-1,，开口向下，,故函数的增区间是,-3,，,-1,，减区间是,-1,1,(4),y,=|,x,-3|-|,x,+1|=,故此函数的减区间为,(-1,3),(3)由y=，得-x,变式,2-1,求下列函数的单调区间,(1),y,=-,x,2,+2|,x,|+3,；,(2),y,=log,0.7,(,x,2,-3,x,+2),解析：,(1),y,=-,x,2,+2|,x,|+3=,即,y,=,如图：,单调递增区间是,(-,，,-1,和,0,1,，,递减区间是,(-1,0),和,(1,，,+),变式2-1解析：(1)y=-x2+2|x|+3=,(2),由,x,2,-3,x,+2,0,，得函数的定义域是,(-,，,1)(2,，,+),，令,t,=,x,2,-3,x,+2,，则,y,=log,0.7,t,.,t,=,x,2,-3,x,+2=,，,t,=,x,2,-3,x,+2,的单调减区间,是,(-,，,1),，增区间是,(2,，,+),，又,y,=log,0.7,t,在,(0,，,+),上是减函数，函数,y,=log,0.7,(,x,2,-3,x,+2),的单调减区间是,(2,，,+),，单调增区间是,(-,，,1),(2)由x2-3x+20，得函数的定义域是,【,例,3】,函数,f,(,x,),对任意的,a,、,b,R,，,都有,f,(,a,+,b,)=,f,(,a,)+,f,(,b,)-1,，并且当,x,0,时，,f,(,x,)1.,(1),求证：,f,(,x,),是,R,上的增函数；,(2),若,f,(4)=5,，解不等式,f,(3,m,2,-,m,-2)3.,题型三抽象函数的单调性,分析：根据题目中所给的关系式通过赋值、变形、,构造，寻找,f,(,x,2,),与,f,(,x,1,),的关系,【例3】函数f(x)对任意的a、bR，题型三抽象函数的,解：,(1),证明：设,x,1,，,x,2,R,，且,x,1,0,，,f,(,x,2,-,x,1,)1.,f,(,x,2,)-,f,(,x,1,)=,f,(,x,2,-,x,1,)+,x,1,-,f,(,x,1,)=,f,(,x,2,-,x,1,)+,f,(,x,1,)-1-,f,(,x,1,)=,f,(,x,2,-,x,1,)-10,，,f,(,x,2,),f,(,x,1,),，即,f,(,x,),是,R,上的增函数,(2),f,(4)=,f,(2+2)=,f,(2)+,f,(2)-1=5,，,f,(2)=3,，,原不等式可化为,f,(3,m,2,-,m,-2),f,(2),f,(,x,),是,R,上的增函数，,3,m,2,-,m,-22,，,解得,-1,m,不等式的解集为,.,解：(1)证明：设x1，x2R，且x10,时，,f,(,x,),x,2,，则,x,1,-,x,2,0,，,f,(,x,1,)-,f,(,x,2,)=,f,(,x,1,)+,f,(-,x,2,)=,f,(,x,1,-,x,2,),又,x,0,时，,f,(,x,)0,，,f,(,x,1,-,x,2,)0,，即,f,(,x,1,),x,2,，则,f,(,x,1,)-,f,(,x,2,)=,f,(,x,1,-,x,2,+,x,2,)-,f,(,x,2,),=,f,(,x,1,-,x,2,)+,f,(,x,2,)-,f,(,x,2,)=,f,(,x,1,-,x,2,),又,x,0,时，,f,(,x,)0,，,f,(,x,1,-,x,2,)0,，,即,f,(,x,1,)0,时，恒有,f,(,x,)1,，且对任意的,a,、,b,R,，,有,f,(,a,+,b,)=,f,(,a,),f,(,b,),(1),求,f,(0),的值；,(2),求证：对任意的,x,R,，恒有,f,(,x,)0,；,(3),求证：,f,(,x,),是,R,上的增函数；,(4),若,f,(,x,),f,(2,x,-,x,2,)1,，求,x,的取值范围,题型四函数单调性的应用,【例4】定义在R上的函数y=f(x)，f(0)0，题型四,(1),令,a,=,b,=0,，得,f,(0)=1.,(2),证明：令,a,=,x,，,b,=-,x,，,则,f,(0)=,f,(,x,),f,(-,x,),f,(-,x,)=.,由已知,x,0,时，,f,(,x,)10,；,当,x,0,，,f,(-,x,)0,，,f,(,x,)=0.,又,x,=0,时，,f,(0)=10,，,对任意,x,R,，,f,(,x,)0.,(1)令a=b=0，得f(0)=1.,(3),证明：任取,x,2,x,1,，则,f,(,x,2,)0,，,f,(,x,1,)0,，,x,2,-,x,1,0,，,=,f,(,x,2,),f,(-,x,1,)=,f,(,x,2,-,x,1,)1,，,f,(,x,2,),f,(,x,1,),，,f,(,x,),在,R,上是增函数,(4),f,(,x,),f,(2,x,-,x,2,)=,f,x,+(2,x,-,x,2,)=,f,(-,x,2,+3,x,),又,f,(0)=1,，,f,(,x,),在,R,上递增,由,f,(3,x,-,x,2,),f,(0),，得,3,x,-,x,2,0,，,0,x,x1，则f(x2)0，,变式,4-1,是否存在实数,a,，使函数,f,(,x,)=log,a,(,ax,2,-,x,),在区间,2,4,上是增函数？如果存在，说明,a,可取哪些值；,如果不存在，请说明理由,解析：设,g,(,x,)=,ax,2,-,x,，假设符合条件的,a,值存在,当,a,1,时，为使函数,y,=,f,(,x,)=log,a,(,ax,2,-,x,),在,闭区间,2,4,上是增函数，只需,g,(,x,)=,ax,2,-,x,在,2,4,上是增函数，故就满足,解得,a,，又,a,1,，,a,1.,当,0,a,f,(2,x,),的,x,的取值范围是,_,知识准备：,1.,掌握分段函数的图象、单调性；,2.,掌握用函数的性质转化为求解二次不等式,链接高考,解析：由题意得 或,解得,-1,x,0,或,.,即,.