,基础知识,一、等比数列的基本概念与公式,1如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的,等于,，这个数列叫等比数列，这个常数叫等比数列的,即 ,q,(,n,N,*,，且,n,2)或,q,(,n,N,*,)或,a,n,比,同一个常数,公比,2,若,a,n,是等比数列，则通项,a,n,或,a,n,，当,n,m,为大于,1,的奇数时，,q,用,a,n,、,a,m,表示为,q,；当,n,m,为正偶数时，,q,a,n,a,1,q,n,1,可变形为,a,n,Aq,n,，其中,A,；点(,n,，,a,n,)是曲线,y,上一群彼此,的点,单调性：,a,n,是,；,a,1,q,n,1,a,m,q,n,m,孤立,递增数列,a,n,是,；,q,1,a,n,是,；,q,0,a,n,为,若,a,，,b,，,c,成等比数列，则称,b,为,a,，,c,的,，且,b,2,或,b,.,因此，,a,，,b,，,c,是等比数列,递减数列,常数数列,摆动数列,等比中项,ac,b,2,ac,或,b,，其中,ac,0,3等比数列,a,n,中，,S,n,求和公式的推导方法是,求和公式变形为,S,n,Bq,n,B,(,q,1)，其中,B,且,q,0，,q,1.,已知三数成等比，设三数为,或设为,四个数成等比，可设为 ，其中公比为,.,乘公比，错位相减法,a,，,aq,，,aq,2,q,2,4等比数列的判定方法,(1),a,n,1,a,n,q,(,q,是不为0的常数，,n,N,*,),a,n,是等比数列,(2),a,n,cq,n,(,c,，,q,均是不为0的常数，,n,N,*,),a,n,是等比数列,(3),A,a,n,a,n,2,(,a,n,a,n,1,a,n,2,0，,n,N,*,),a,n,是等比数列,(4),S,n,A,q,n,A,(,A,、,q,为常数且,A,0，,q,0,1),a,n,是公比不为1的等比数列,二、等比数列的性质,1,a,m,a,n,q,m,n,，,q,(,m,，,n,N,*,),2在等比数列中，若,p,q,m,n,，则,a,p,a,q,a,m,a,n,；若2,m,p,q,，则,a,a,p,a,q,(,p,，,q,，,m,，,n,N,*,),3若,a,n,、,b,n,均为等比数列，且公比为,q,1,、,q,2,，则数列,p,a,n,、,a,n,b,n,、仍为等比数列且公比为 ，,，,，,q,1,q,1,q,2,4在等比数列中，等距离取出若干项，也构成一个等比数列，即,a,n,，,a,n,m,，,a,n,2,m,仍为等比数列，公比为,.,5等比数列前,n,项和(均不为零)构成等比数列，即,S,n,，,S,2,n,S,n,，,S,3,n,S,2,n,，构成等比数列且公比为,.,6,等比数列中依次,k,项积成等比数列，记,T,n,为前,n,项积，即,T,k,、,成等比数列，其公比为,.,q,m,q,m,q,k,2,7等比数列,a,n,的前,n,项积为,T,n,，则,当,n,为奇数时，,T,n,为中间项),8,对于一个确定的等比数列，在通项公式,a,n,a,1,q,n,1,中，,a,n,是,n,的函数，这个函数由正比例函数,a,n,和指数函数,u,q,n,(,n,N,*,)复合而成,当,a,1,0，,或,a,1,0,时，等比数列是递增数列；,当,a,1,0,或,a,1,0，,时，等比数列,a,n,是递减数列,当,时，是一个常数列,当,时，无法判断数列的单调性，它是一个摆动数列,q,1,0,q,1,0,q,1,q,1,q,1,q,0,易错知识,一、不理解等比数列的定义,1设数列,a,n,为等比数列，则下列四个数列：,a,；,pa,n,(,p,为非零常数)；,a,n,a,n,1,；,a,n,a,n,1,其中是等比数列的有_(填正确的序号),答案：,二、等比数列的性质应用失误,2等比数列,a,n,中，,S,2,7，,S,6,91，则,S,4,_.,答案：,28,三、忽视隐含条件失误,3,x,是,a,、,x,、,b,成等比数列的_条件,答案：,既不充分也不必要,四、设元不当失误,4若四个数符号相同成等比数列，还知这四个数的积，则可设这四个数为_,答案：,5若这四个数符号不相同成等比数列，还知这四个数的积，则可设这四个数为_,答案：,五、等比数列中的符号问题,6已知等比数列,a,n,中的,a,3,，,a,9,是方程,x,2,6,x,20的两根，则,a,6,_，若改为,a,2,，,a,10,是方程的两根，则,a,6,_.,答案：,回归教材,1(2009北京西城)若数列,a,n,是公差为2的等差数列，则数列2,a,n,是(),A公比为4的等比数列,B公比为2的等比数列,C公比为 的等比数列,D公比为 的等比数列,解析：,n,1，,2,a,n,a,n,1,2,2,4，所以数列2,a,n,是公比为4的等比数列,答案：,A,2等比数列,a,n,中，,a,1,1，,a,10,3，则,a,2,a,3,a,4,a,5,a,6,a,7,a,8,a,9,(),答案：,A,3在等比数列,a,n,中，若,a,2,1，,a,5,2，则,a,11,_.,答案：,8,4(2009北京丰台)设,S,1393,n,2,(,n,N,*,)，则,S,_.,解析：,由等比数列求和公式可得：,S,答案：,5(课本,P,133,7题原题)已知,a,n,是等比数列，,S,n,是其前,n,项和，,a,1,，,a,7,，,a,4,成等差数列，求证：2,S,3,，,S,6,，,S,12,S,6,成等比数列.,证明：,由已知得2,a,1,q,6,a,1,a,1,q,3,即2,q,6,q,3,10得,q,3,1或,q,3,当,q,3,1时即,q,1,a,n,为常数列，2,S,3,S,6,S,12,S,6,命题成立,当,q,3,命题成立,【例1】,a,n,为等比数列，求下列各值,(1),已知,a,3,a,6,36,，,a,4,a,7,18,，,a,n,，求,n,；,(2)已知,a,2,a,8,36，,a,3,a,7,15，求公比,q,；,(3),已知,q,，,S,8,15(1,)，求,a,1,.,命题意图,本题考查等比数列的基本公式,解答,(1)解法一：,又,a,3,a,6,a,3,(1,q,3,)36，,a,3,32.,a,n,a,3,q,n,3,32,n,3,2,8,n,2,1,，,8,n,1，即,n,9.,解法二：,a,4,a,7,a,1,q,3,(1,q,3,)18且,a,3,a,6,a,1,q,2,(1,q,3,)36，,q,，,a,1,128,又,a,n,a,1,q,n,1,2,7,n,1,2,8,n,2,1,8,n,1，即,n,9.,(2),a,2,a,8,a,3,a,7,36且,a,3,a,7,15，,a,3,3，,a,7,12或,a,3,12，,a,7,3，,(2008福建)设,a,n,是公比为正数的等比数列，若,a,1,1，,a,5,16，则数列,a,n,前7项的和为(),A63B64C127D128,答案：,C,解析：,a,5,a,1,q,4,，,16,q,4,.又,q,0，故,q,2，,S,7,(,课本,P,129,习题,3.5,1,题,),在等比数列,a,n,中，,a,3,1,【例2】,(1)已知等比数列,a,n,，,a,1,a,2,a,3,7，,a,1,a,2,a,3,8，则,a,n,_.,(2)已知数列,a,n,是等比数列，且,S,m,10，,S,2,m,30，则,S,3,m,_(,m,N,*,),(3)在等比数列,a,n,中，公比,q,2，前99项的和,S,99,56，则,a,3,a,6,a,9,a,99,_.,分析,利用等比数列的性质解题,解答,(1),a,1,a,2,a,3,a,8，,当,a,1,1、,a,2,2、,a,3,4时，,q,2，,a,n,2,n,1,，,当,a,1,4、,a,2,2、,a,3,1时，,(2),a,n,是等比数列，(,S,2,m,S,m,),2,S,m,(,S,3,m,S,2,m,)，即20,2,10(,S,3,m,30)得,S,3,m,70.,(3),a,3,a,6,a,9,a,99,是数列,a,n,的前99项中的一组，还有另外两组，它们之间存在着必然的联系,设,b,1,a,1,a,4,a,7,a,97,，,b,2,a,2,a,5,a,8,a,98,，,b,3,a,3,a,6,a,9,a,99,，,则,b,1,q,b,2,，,b,2,q,b,3,且,b,1,b,2,b,3,56，,b,3,b,1,q,2,32.,答案,(1)4,总结评述,整体思想就是从整体着眼考查所研究的问题中的数列特征，结构特征，以探求解题思想，从而优化简化解题过程的思想方法在数列中，倘若抓住等差、等比数列的项的性质、整体代换可简化解答过程,(2009,山东济南,),在等比数列,a,n,中，若,a,3,a,5,a,7,a,9,a,11,32,，则 的值为(),A4B2C2D4,答案：,B,解析：,由等比数列的性质可得：,等比数列,a,n,中，,a,1,a,n,66，,a,2,a,n,1,128，前,n,项的和,S,n,126，求,n,和公比,q,.,分析：,利用等比数列的性质、建立,a,1,、,a,n,的方程组求出,n,与,q,.,解答：,a,1,a,n,a,2,a,n,1,128，又,a,1,a,n,66，,列的前,n,项和公式时，注意公比是否等于1.如不确定要讨论.,【例3】(2008陕西)(文)已知数列,a,n,的首项,a,1,在数列,a,n,中，,a,1,2，,a,n,1,4,a,n,3,n,1，,n,N,*,.,(1)证明数列,a,n,n,是等比数列；,(2)求数列,a,n,的前,n,项和,S,n,；,(3)求证对任意,n,N,*,都有,S,n,1,4,S,n,命题意图：,本小题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的概念、等比数列的通项公式及前,n,项和公式、不等式的证明等基础知识，考查运算能力和推理论证能力,解答：,(1)由题设,a,n,1,4,a,n,3,n,1，得,a,n,1,(,n,1)4(,a,n,n,)，,n,N,*,.,又,a,1,11，所以数列,a,n,n,是首项为1，且公比为4的等比数列,(2)由(1)可知,a,n,n,4,n,1,，于是数列,a,n,的通项公式为,a,n,4,n,1,n,.所以，数列,a,n,的前,n,项和,S,n,设,a,n,，,b,n,是公比不相等的两个等比数列，且,c,n,a,n,b,n,，证明数列,c,n,不是等比数列,分析：,考查等比数列的定义，证明一个数列是等比数列应从定义入手，证明一个数列不是等比数列，只需举出三项不成等比即可,证明：,采用分析法证明，,设,a,n,、,b,n,的公比分别为,p,、,q,，,p,q,，,c,n,a,n,b,n,，,c,(,a,1,p,b,1,q,),2,ap,2,bq,2,2,a,1,b,1,pq,，,c,1,c,3,(,a,1,b,1,)(,a,1,p,2,b,1,q,2,),ap,2,bq,2,a,1,b,1,(,p,2,q,2,),由于,p,q,，,p,2,q,2,2,pq,，又,a,1,，,b,1,不为零，因此,c,c,1,c,3,，故,c,n,不是等比数列,总结评述：,本题属于否定型命题，这类问题通常采用分析法或反证法证明，对这些证明方法与解题思想要灵活掌握,1,特别注意,q,1时，,S,n,na,1,这一特殊情况,2,由,a,n,1,qa,n,，,q,0，并不能立即断言,a,n,为等比数列，还要验证,a,1,0.,3,S,n,m,S,n,q,n,S,m,.,请同学们认真完成课后强化作业,1,、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。,15 十一月 2024,2024/11/15,2024/11/15,2024/11/15,2,、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种偶然的机遇只能给那些学有素养的人，给那些善于独立思考的人