,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,卡尔曼滤波算法及推导,卡尔曼滤波算法及推导,1、kalman滤波问题,考虑一离散时间的动态系统，它由描述状态向量的过程方程和描述观测向量的观测方程共同表示。,（,1,）、过程方程,式中，,M 1,向量,x(n),表示系统在离散时间,n,的状态向量，它是不可观测的；,M M,矩阵,F,（,n+1,n,）成为状态转移矩阵，描述动态系统在时间,n,的状态到,n+1,的状态之间的转移，应为已知。而,M 1,向量 为过程噪声向量，它描述状态转移中间的加性噪声或误差。,1、kalman滤波问题考虑一离散时间的动态系统，它由描述状,1、kalman滤波问题,（,1,）、观测方程,式中，,N 1,向量,y(n),表示动态系统在时间,n,的观测向量；,N M,矩阵,C,（,n,）称为观测矩阵（描述状态经过其作用，变成可预测的），要求也是已知的；,v,2,(n),表示观测噪声向量，其维数与观测向量的相同。过程方程也称为状态方程，为了分析的方便，通常假定过程噪声,v,1,(n),和观测噪声,v,2,(n),均为零均值的白噪声过程，它们的相关矩阵分别为：,1、kalman滤波问题（1）、观测方程,1、kalman滤波问题,1、kalman滤波问题,1、kalman滤波问题,还假设状态的初始值,x(0),与,v,1,(n),、,v,2,(n),，,n 0,均不相关，并且噪声向量,v,1,(n),与,v,2,(n),也不相关，既有：,1、kalman滤波问题还假设状态的初始值x(0)与v1(n,2、新息过程,考虑一步预测问题，给定观测值,y(1),.,，,y(n-1),，求观测向量,y(n),的最小二乘估计，记作,（,1,）、新息过程的性质,y(n),的新息过程定义为：,式中，,N 1,向量 表示观测数据,y(n),的新的信息，简称新息。,2、新息过程考虑一步预测问题，给定观测值y(1),.，,2、新息过程,新息 具有以下性质：,性质,1 n,时刻的新息 与所有过去的观测数据,y(1),.,，,y(n-1),正交，即：,性质,2,新息过程由彼此正交的随机向量序列,组成，即有,2、新息过程新息 具有以下性质：,2、新息过程,性质,3,表示观测数据的随机向量序列,y(1),y(n),与表示新息过程的随机向量序列,a(1),a(n),一一对应,，,即,以上性质表明：,n,时刻的新息,a(n),是一个与,n,上课之前的观测数据,y(1),.,，,y(n-1),不相关，并具有白噪声性质的随机过程，但它却能够提供有关,y(n),的新息，这就上信息的内在物理含义。,2、新息过程性质3 表示观测数据的随机向量序列y(1,2、新息过程,（,2,）、新息过程的计算,下面分析新息过程的相关矩阵,在,kalman,滤波中，并不直接估计观测数据向量的进一步预测 ，而是先计算状态向量的一步预测,然后再用到下式得到 ：,2、新息过程（2）、新息过程的计算,2、新息过程,将上式代入新息过程的定义式（,6,），可得到,：,这就是新息过程的实际计算公式，条件是：一步预测的状态向量估计 业已求出。,定义向量的一步预测误差：,2、新息过程将上式代入新息过程的定义式（6），可得到：,2、新息过程,将此式代入式（,13,），则有,在新息过程的相关矩阵定义式（,10,）中代入式（,14,），并注意到观测矩阵,C,（,n,）是一已知的确定矩阵，故有,式中,Q,2,(n),是观测噪声,v,2,(n),的相关矩阵，而,表示（一步）预测状态误差的相关矩阵,2、新息过程将此式代入式（13），则有,3、kalman滤波算法,由上一节的的新息过程的相关知识和信息后，即可转入,kalman,滤波算法的核心问题的讨论：如何利用新息过程估计状态向量的预测？最自然的方法是用新息过程序列,a(1),a(n),的线性组合直接构造状态向量的一布预测：,式中,W1(k),表示与一步预测项对应的权矩阵，且,k,为离散时间。现在的问题是如何确定这个权矩阵？,（,1,）、状态向量的一布预测,根据正交性原理，最优预测的估计误差,3、kalman滤波算法由上一节的的新息过程的相关知识和信息,3、kalman滤波算法,应该与已知值正交，故有,将式（,18,）代入（,19,），并利用新息过程的正交性，得到,由此可以求出权矩阵的表达式：,3、kalman滤波算法应该与已知值正交，故有,3、kalman滤波算法,将式（,20,）代入式（,18,），状态向量的一步预测的最小均方估计可表示为,注意到 并利用状态方程,(1),，易知下式对,k=0,，,1,，,，,n,成立：,3、kalman滤波算法 将式（20）代入式（18），状态,3、kalman滤波算法,将式（,22,）代入式（,21,）右边第一项（求和项），可将其化简为：,3、kalman滤波算法,3、kalman滤波算法,若定义,并将式（,23,）和式（,24,）代入式（,21,），则得到状态向量一步预测的更新公式：,式（,25,）在,kalman,滤波算法中起着关键的作用，因为它表明，,n+1,时刻的状态向量的一步预测分为非自适应（即确定）部分 和自适应（即校正）部分,G(n)a(n),。从这个意义上讲，,G(n),称为,kalman,增益（矩阵）是合适的。,3、kalman滤波算法若定义,3、kalman滤波算法,（,2,）、,kalman,增益的计算,为了完成,kalman,自适应滤波算法，需要进一步推导,kalman,增益的实际计算公式。由定义式（,24,）知，只需要推导期望项 的具体计算公式即可。,将新息过程的计算公式（,13,）代入式（,22,），不难得出：,这里使用了状态向量与观测噪声不相关的事实。进一步地，由正交原理引理知，在最小均方误差准则下求得的一步预测估 与预测误差,e(n,n-1),彼此正交，即,3、kalman滤波算法（2）、kalman增益的计算,3、kalman滤波算法,因此，由式,(26),及式,(27),易得：,将式,(27),代入式,(24),，便得到,kalman,增益的计算公式如下：,式中,R(n),是信息过程的相关矩阵，由式,(10),定义。,3、kalman滤波算法因此，由式(26)及式(27)易得：,3、kalman滤波算法,（,3,）、,Riccati,方程,由式,(28),表示的,kalman,增益与预测状态误差的相关矩阵,K(n,n-1),有关，为了最后完成,kalman,自适应滤波算法，还需要再推导,K(n,n-1),的递推公式。,考察状态向量的预测误差：,将状态方程,(1),和状态向量的一步预测更新公式,(25),代入式,(29),中，有：,将观测方程,(2),代入上式，并代入 ，则有：,3、kalman滤波算法（3）、Riccati方程,3、kalman滤波算法,求式,(3),所示状态向量的一步预测误差向量的相关矩阵，容易证明：,式中使用了,e(n+1,n),，,v,1,(n),，,v,2,(n),彼此不相关的事实，以及,和 等关系式。,对式,(31),的右边进行展开，然后代入式,(28),和,(29),，可以证明：状态向量预测误差的相关矩阵的递推公式为：,式中,式,(32),称为,Riccati,差分方程。,3、kalman滤波算法求式(3)所示状态向量的一步预测误差,3、kalman滤波算法,若定义 是利用已知的,y(1),y(n),求得的状态向量的滤波估计，则,定义滤波状态向量的误差向量，可以证明：,因此，,Riccati,差分方程中的矩阵,P(n),事实上是滤波误差状态向量的相关矩阵。,（,4,）、,kalman,滤波算法,将上面推导得到的式,(28),、,(16),、,(13),、,(25),、,(33),和,(32),依次加以归纳，得到基于一步预测的,kalman,自适应滤波算法如下。,初始条件：,3、kalman滤波算法若定义 是利用已知的y,3、kalman滤波算法,输入观测向量过程：,观测向量,=y(1),y(n),已知参数：,状态转移矩阵,F(n+1,n),观测矩阵,C(n),过程噪声向量的相关矩阵,Q1(n),观测噪声向量的相关矩阵,Q2(n),计算：,n=1,2,3,3、kalman滤波算法输入观测向量过程：,3、kalman滤波算法,Kalman,滤波器是一种线性的离散时间有限维系统。,Kalman,滤波器的估计性能是：它使滤波后的状态估计误差的相关矩阵,P(n),的迹最小化。这意味着，,kalman,滤波器是状态向量,x(n),的线性最小差估计。,由前面的公式可以得出,kalman,滤波算法的结构图，如下：,3、kalman滤波算法,3、kalman滤波算法,3、kalman滤波算法,