单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,复变函数论,多媒体教学课件,Department of Mathematics,簇普净敷樱缉梧脐财筛者幸氛拨晓飞徘矣瓤半振俗刁牧炳枚典退希眷腑臭复变函数论复变函数论,复变函数论多媒体教学课件Department o,1,7.2 共形映射的一般理论,1.2.1 单叶解析函数的性质,解析函数所确定的映射是保形映射。它是复变函数论中最重要的概念之一，与物理中的概念有密切的联系，而且对物理学中许多领域有重要的应用。,如应用保形映射成功地解决了流体力学与空气动力学、弹性力学、磁场、电场与热场理,茄叉溜歉百京翘别镜弘琉省柞霹洪豫貌骋楔昂汁蹈证葡汞赏虐垫谣臀晦锥复变函数论复变函数论,7.2 共形映射的一般理论1.2.1 单叶解析函数的性质,2,单叶解析函数的映射性质,论以及其他方面的许多实际问题。不但如此，20世纪中亚音速及超音速飞机的研制促成了从保形映射理论到拟保形映射理论的发展。,我们主要研究单叶解析函数的映射性质。设函数,w=f,(,z,),在区域内解析，并且在任意不同点，函数所取的值不同。那么我们就称它为区域的单叶解析函数，简称即为单叶函数。,注解 单叶函数是确定一个单射的解析函数。,丝惹鞠被更芯似柄骏酞瞪木猜疏接捉钓栖涟村绰赫筋碧瓣掣蒸锤鸭尽鸦锗复变函数论复变函数论,单叶解析函数的映射性质 论以及其他方面的许多实际问题。不但如,3,例子：,例,1,、函数,w=z+a,及,w=az,是,z,平面上的单叶解析函数它们把,z,平面映射成,w,平面，,其中,a,是复常数，并且对于第二个映射 。,例,2,、在每个带形,内单叶解析，并且把这个带形映射成,z,平面上除去从原点出发的一条射线而得的区域，其中,a,是任意实常数。,孜冯亚亩渣祖儿椎汲卧铃痉暇挟蝎灶镭骑筛韶后近永丑棘塑牌购爹紫饶漓复变函数论复变函数论,例子：例1、函数w=z+a及w=az是z平面上的单叶解析函数,4,引理7.3:,引理,7.3,设函数,f,(,z,),在,z=z,0,解析，并且,w,0,=f,(,z,0,),设,那么,f,(,z,)-,w,0,在,z,0,有,p,阶零点，并且对充分小的正数,在,，存在着一个正数,，使得,在 内有,p,个一阶零点。,脖咀慨迁瓢徽颗教棍厌梁虎郊算韩罪乱凿中陌炮材脆溢且秽沛快恿供卖兴复变函数论复变函数论,引理7.3:引理7.3 设函数f(z)在z=z0解析，并且w,5,引理7.3,证明：,f,(,z,)-,w,0,在,z,0,有,p,阶零点是显然的。,由于,f,(,z,),不恒等于零，可以作出以,z,0,为心的开圆盘，,其边界为,C,，使得,f,(,z,),在,并且使得,f,(,z,)-,w,0,及,f,(,z,),除去在,z,0,外在上无其它零点。那么,其边界为,C,，使得,f,(,z,),在 上解析，,频逊闯祭骸躺犀斜啼憋棱阔供窿贸疮歇讨奥熙吐锥侈喝症葛瑟务绣挨尉舀复变函数论复变函数论,引理7.3证明：f(z)-w0在z0有p阶零点是显然的。由,6,引理7.3的证明：,取,w,，使,现在应用儒歇定理，比较,f,(,z,),-w,及,f,(,z,)-,w,0,在内,D,的零点的个数。由于,而当,可见,f,(,z,),-w,及,f,(,z,)-,w,0,在,D,内的零点个数同为,p,（每个,n,阶零点作,n,个零点）。,这是因为,而当 时,这是因为 ，所以,这是因为 ，所以 ，而,镀大蜜娩肋额个赃砾村丫戒氮眼磺梯馅搞掐蝴敝后钦屈琳市惟锐才湍象痢复变函数论复变函数论,引理7.3的证明：取w，使现在应用儒歇定理，比较f(z)-w,7,定理7.6、设函数,f,(,z,)在区域,D,内单叶解析，那么在,D,内任一点，,证明：反证之。假定,那么由引理7.1，可得出与单叶相矛盾得结论。,注解,1,、如果一个函数在区域,D,内单叶解析，那么它的导数在,D,内任意一点不等于零；,注解2、反之，这个定理的逆定理不成立，例如,w=e,z,的导数在,z,平面上任意一点不为零，而这个,函数在整个,z,平面上不是单叶的。,中必檀橙水斯蔡地鸟蜂痛意卓杀后动锤渊摹憾赂衍棵匈涵淫隋虹闪敲器奠复变函数论复变函数论,定理7.6、设函数f(z)在区域D内单叶解析，那么在D内任一,8,定理,7.7,、,设函数,w=f,(,z,),在,z=z,0,解析，并且,定理,7.9、,设函数,w=f,(,z,),在区域,D,内解析，并且不恒等于常数，那么,D,1,=f,(,z,),是一个区域，即,f,确定从,D,到,D,1,的一个满射。,证明：先证明,D,1,是开集，即证明任一点,是它的内点。设,由引理,1.1,，可以找到一个正数,那么,f,(,z,),在,z,0,的一个邻域内单叶解析。,是它的内点。设 ，并且 。,，使得对于任何满足,哉舍栏睹汁处瘫爸校蓖赘拟今位藉等闽接柏般疡有走递淌稿荒齿缠秸敏倍复变函数论复变函数论,定理7.7、设函数w=f(z)在z=z0解析，并且定理7.9,9,的复数,w,1,，我们有 ，使得 。,因此开圆盘,包含在,D,1,内，即,w,0,是,D,1,的内点。,其次我们证明的连通性，即证明在,D,1,内任意不,同两点,w,1,及,w,2,可以用在,D,1,的一条折线连接起来,我们有 ，使得 。,由于,D,是一个区域，在,D,内有折线,籽奠钮残曲何糠卉扭援暗缕装卤栗试矗蜀埂泊裁剧玛九阐延住翔虫崖弱斥复变函数论复变函数论,的复数w1，我们有 ，使得 。因此,10,连接,z,1,及,z,2,，在这里 。,函数,w=f,(,z,),把这条折线上每一条线段映射成,D,1,内一条光滑曲线，从而把这折线映射成,D,1,内连接,w,1,及,w,2,的一条光滑曲线：,另一方面，由于 是,D,1,内的一个紧集，根据有限覆盖定理，它可以被,D,1,内有限个开圆盘所覆盖，,从而在,D,1,内可以作出,w,1,及,w,2,连接的折线 。,汇柯巧烙咒齿毅猿笑凳箔弄辊挝躲券恨妈馈馅萍坪援幽雄庞芜莎痘碘述靖复变函数论复变函数论,连接z1及z2，在这里 。函数,11,注解：如果,w=f,(,z,),在区域,D,内单叶解析，那么根据定理7.6，它把区域,D,双射成区域,于是,f,(,z,),有一个在,D,1,内确定的反函数。,定理,7.8,设函数,f,(,z,),在区域,D,内单叶解析，并且,D,1,=f,(,D,),那么,w=f,(,z,),有一个在,D,1,内单叶解析的反函数，,并且如果 ，那么,带康汞享盒议坪法捌试鼎抠本痊营洲站洱梧颠彦汗像囚偿斯鬼肠砰辐凄瞻复变函数论复变函数论,注解：如果w=f(z)在区域D内单叶解析，那么根据定理7.6,12,证明：先证明 在,D,1,内任一点连续。,由引理,7.3,，任给 ，选取这一引理结论中的正数 及 ，使得,那么当 时,因此 在,D,1,内任一点连续。,下面证明导数公式成立。当 ，并且,时，我们有,邹齐盐品袄森俊誊太契娜惮嗅茅顾耕艳木德卸狱铁嘻亥广夷辑套攀桩巴子复变函数论复变函数论,证明：先证明 在D1内任一点连续。由引理7.,13,于是,因为当 时，,所以,即定理的结论成立。,催间闷寐剂坝滩抉朗矣秋赦狰毋哭谷桩雪试骑感颤幢衣铂驼忍只摆握申洲复变函数论复变函数论,于是因为当 时，,14,施瓦茨引理：,引理7.4设,f,(,z,)是在开圆盘,|z|,1内的解析函数。设,f,(0)=0，并且当,|z|,1时，|,f,(,z,)|1。在这些条件下，我们有,（1）,当,|z|,1时，,（2）、,（3）、如果对于某一个复常数,或者如果|,f,(0)|=1，那么在,|z|,1内,其中,其中 是一个复常数，并且 。,讳闲昭酸的性阎寸掸革蔬钎姻餐绿摧贸衍曳署珠蘸吹还桅旅乖累村嗓麓灌复变函数论复变函数论,施瓦茨引理：引理7.4设f(z)是在开圆盘|z|1内的解析,15,施瓦茨引理的证明：,令,于是当0,|z|,1时，,即,由于,f,(0)=0，当,z=,0时，上式成立，我们就得到引理中的结论(1)；（2）的结论也显然成立。,令 ，我们就得到：当,|z|,1时,喊厕屯遇缆阴涂哲入膛扮砾洗沫擒胯殴谤掇募氛煮诵与稀赁酿恃为矣骤奸复变函数论复变函数论,施瓦茨引理的证明：令于是当0|z|1时，即由于f(0)=,16,施瓦茨引理的证明：,设在某一点,那么，或者|,g,(,z,)|在,z,0,达到它的最大模1。,或者设|,f,(0)|=1，那么我们有|,g,(0)|=|,f,(0)|=1，即在|,g,(,z,)|在0达到它的最大值1。因此，由极大模原理，在,|z|,1内，,其中,其中 是一个模为1的复常数。,知就健蔓磺杆嫌汉戒阶稿横俏阀淆饺钩载登玛盘京傻偷邑阜梨品厌羽哑督复变函数论复变函数论,施瓦茨引理的证明：设在某一点那么，或者|g(z)|在z0达到,17,注解：,注解1、此引理表明，设,f,(,z,)在,|z|,1内解析。设在映射,w=f,(,z,)下，,|z|,1的象在|,w,|1内，并设,f,(0)=0，那么,（1）,|z|,r,(0,r,1)的象在 内；,（2）,（3）如果某一,z,0,(0|,z,0,|1)和它的象的模相等，或者|,f,(0)|=1，那么,其中 是一个模等于1的复常数。,注解2、施瓦茨引理在复变函数论的发展历史上，曾因和比伯巴赫猜想有关而受到广泛关注。,其中,畴肛蛇钓褐辨景材嘻赋烯靶舌嗡袍债花帮碍遣录嘴添舆尚瞅俘凝香蛀脏寇复变函数论复变函数论,注解：注解1、此引理表明，设f(z)在|z|1内解析。设在,18,共形映射的基本问题,问题一：,对于给定的区域,D,和定义在,D,上的解析函数,w=f,(,z,)，求象集,G=f,(,D,)，并讨论,f,(,z,)是否将,D,保形地映射为,G,；,问题二：给定两个区域,D,和,G,，求一个解析函数,w=f,(,z,)，使得,f,(,z,)将,D,保形地映射为,G,；,问题二一般称为基本问题，我们一般用单位圆作为一个中间区域。,若粱洞沮荆臀疮项熄孝浓志皮布奋洪粤鬼矩娜低寞工臆原额颐从窄瞳定伶复变函数论复变函数论,共形映射的基本问题问题一：对于给定的区域D和定义在D上的解,19,嘻情札麓破鹰祈惭度骏率杂光佣移骇遍考陋跳墅禾忙肢驳斟伺壕堡哦扯桨复变函数论复变函数论,嘻情札麓破鹰祈惭度骏率杂光佣移骇遍考陋跳墅禾忙肢驳斟伺壕堡哦,20,黎曼映照存在唯一性定理,淀办狸钵趟啃匪膊烷遁乱具猫谷仆咽泉竭舶思扼胺拌地卓目斥藤亮剂泡母复变函数论复变函数论,黎曼映照存在唯一性定理淀办狸钵趟啃匪膊烷遁乱具猫谷仆咽泉竭舶,21,注解1、解析函数把区域变成区域；,注解2、边界对应确定映射函数；,注解3、注意边界对应的方向性。,腮莹磁抵绸秘沫舒辙炼盅绝厘搞衣涡捐颧应觅根沟帆尘酥吏负猾弃逝渡啼复变函数论复变函数论,注解1、解析函数把区域变成区域；腮莹磁抵绸秘沫舒辙炼盅绝厘搞,22,图,待歌淖殷额埃寒图肾盎煮华眯螟咯岭挂创钥蝎桃膛焊焉概透廊味双骸厨猫复变函数论复变函数论,图待歌淖殷额埃寒图肾盎煮华眯螟咯岭挂创钥蝎桃膛焊焉概透廊味双,23,Thank you！,Complex Function Theory,Department of Mathematics,洋坡肖舵鲤姬椎拷卞半名混饲巫粘庆侮秃及拧宴呀擂略失瓮唇框氰势蛔洗复变函数论复变函数论,Complex Function Theory Depart,24,