单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,9.2.4,总体离散程度的估计,9.2.4总体离散程度的估计,复习回顾,众数,：,在一组数据中，出现,次数最多,的数据,.,中位数,：,将一组数据按大小依次排列，把处在,最中间位置,的一个数据（或,最中间两个数据的,平均数,）,复习回顾众数：在一组数据中，出现次数最多的数据.中位数：将一,1,、,众数在样本数据的频率分布直方图中，就是最高矩形的中点的横坐标。,复习回顾,二、利用,频率分布直方图（频率分布表）,，求样本的平均数、中位数和众数的近似估计，进而估计总体的平均数、中位数和众数,.,2,、,在样本中，有,50,的个体小于或等于中位数，也有,50,的个体大于或等于中位数,，因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可以估计中位数的值。,3,、,平均数是频率分布直方图的“重心”,.,是直方图的平衡点,.频率直方图中每个小长方形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和。,1、众数在样本数据的频率分布直方图中，就是最高矩,三、三种数字特征的优缺点,1,、众数体现了样本数据的最大集中点，但它对其它数据信息的忽视使得,无法客观地反映总体特征,.,复习回顾,2,、中位数是样本数据所占频率的等分线，,它不受少数几个极端值的影响，,这在某些情况下是优点，但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点。,3,、由于平均数与每一个样本的数据有关，所以任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变，这是众数、中位数都不具有的性质。也正因如此，与众数、中位数比较起来，,平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息，但平均数受数据中的极端值的影响较大，使平均数在估计时可靠性降低。,三、三种数字特征的优缺点 1、众数体现了样本数,样本的众数、中位数和平均数常用来表示样本数据的“中心值”，其中众数和中位数容易计算，不受少数几个极端值的影响，但只能表达样本数据中的少量信息,.,平均数代表了数据更多的信息，但受样本中每个数据的影响，越极端的数据对平均数的影响也越大,.,当样本数据质量比较差时，,使用众数、中位数或平均数描述数据的中心位置,，可能与实际情况产生较大的误差，难以反映样本数据的实际状况，,很多时候还不能使我们做出有效决策,.,因此，我们需要一个统计数字刻画样本数据的,离散程度,.,新课引入,高中数学人教,A,版（,2019,）必修（第二册）,9.2.4,总体离散程度的估计课件（共,34,张,PPT,）,高中数学人教,A,版（,2019,）必修（第二册）,9.2.4,总体离散程度的估计课件（共,34,张,PPT,）,样本的众数、中位数和平均数常用来表示样本数据的,引例：,在一次射击选拔赛中，甲、乙两名运动员各射击,10,次，每次命中的环数如下：,甲：,7 8 7 9 5 4 9 10 7 4,乙：,9 5 7 8 7 6 8 6 7 7,新课引入,甲、乙两人本次射击的平均成绩分别为多少环？,甲、乙两名运动员射击成绩中位数、众数分别为多少环？,通过简单的排序可以发现甲、乙两名运动员射击成绩的中位数、众数也都是,7,如果你是教练，你如何对两位运动员的射击情况作出评价？在这一次选拔性考核中，你应当如何作出选择？,高中数学人教,A,版（,2019,）必修（第二册）,9.2.4,总体离散程度的估计课件（共,34,张,PPT,）,高中数学人教,A,版（,2019,）必修（第二册）,9.2.4,总体离散程度的估计课件（共,34,张,PPT,）,引例：在一次射击选拔赛中，甲、乙两名运动员各射击10次，每次,思考：,甲、乙两人射击的平均成绩相等,观察两人成绩的频率分布,条形图,，你能说明其水平差异在那里吗？,环数,频率,0.4,0.3,0.2,0.1,4 5 6 7 8 9 10,O,（甲）,环数,频率,0.4,0.3,0.2,0.1,4 5 6 7 8 9 10,O,（乙）,甲的成绩比较分散，波动幅度较大，,乙的成绩相对集中，比较稳定,.,新课引入,一种简单的度量数据,离散程度,的方法就是,用极差,，根据甲、乙运动员的,10,次射击成绩，可以得到,甲命中环数的极差,=10-4=6,乙命中环数的极差,=9-5=4,.,有差异,高中数学人教,A,版（,2019,）必修（第二册）,9.2.4,总体离散程度的估计课件（共,34,张,PPT,）,高中数学人教,A,版（,2019,）必修（第二册）,9.2.4,总体离散程度的估计课件（共,34,张,PPT,）,思考：甲、乙两人射击的平均成绩相等,观察两人成绩的频率分布条,4,5,6,7,8,9,10,环数,频率,0.1,0.2,0.3,(,甲,),4,5,6,7,8,9,10,0.1,0.2,0.3,0.4,环数,频率,(,乙,),频率,一组数据的最大值与最小值的差,极差：,极差越大，数据越分散，越不稳定,极差越小，数据越集中，越稳定,极差体现了数据的离散程度,高中数学人教,A,版（,2019,）必修（第二册）,9.2.4,总体离散程度的估计课件（共,34,张,PPT,）,高中数学人教,A,版（,2019,）必修（第二册）,9.2.4,总体离散程度的估计课件（共,34,张,PPT,）,45678910环数频率0.10.20.3(甲)456789,极差在一定程度上刻画了数据的离散程度，但因为,极差只使用了数据中最大、最小两个值的信息,，对其他数据的取值情况没有涉及，所以,极差所含的信息量很少,.,我们知道，如果射击的成绩很稳定，那么大多数的射击成绩离平均成绩不会太远；相反，如果射击的成绩波动幅度很大，那么大多数的射击成绩离平均成绩会比较远，,因此，我们可以通过这两组射击成绩与它们的,平均成绩的“平均距离”,来度量成绩的,波动幅度,.,新课引入,高中数学人教,A,版（,2019,）必修（第二册）,9.2.4,总体离散程度的估计课件（共,34,张,PPT,）,高中数学人教,A,版（,2019,）必修（第二册）,9.2.4,总体离散程度的估计课件（共,34,张,PPT,）,极差在一定程度上刻画了数据的离散程度，但因为极差,学习新知,思考：对于样本数据,x,1,，,x,2,，,，,x,n,，用 表示这组数据的平均数,.,设想通过各数据到其平均数的平均距离来反映样本数据的分散程度，那么这个平均距离如何计算？,所谓“平均距离”，其含义可作如下理解：,高中数学人教,A,版（,2019,）必修（第二册）,9.2.4,总体离散程度的估计课件（共,34,张,PPT,）,高中数学人教,A,版（,2019,）必修（第二册）,9.2.4,总体离散程度的估计课件（共,34,张,PPT,）,学习新知思考：对于样本数据x1，x2，xn，用,学习新知,为了避免式中含有绝对值，通常改用平方来代替，即,我们称上式为这组数据的,方差,（,variance).,有时为了计算方差的方便，我们还把方差写成右式形式,由于方差的单位是原始数据的单位的平方，与原始数据不一致,.,为了使二者单位一致，我们对方差开平方，取它的算术平方根，即,我们称上式为这组数据的,标准差,（,standard deviation).,高中数学人教,A,版（,2019,）必修（第二册）,9.2.4,总体离散程度的估计课件（共,34,张,PPT,）,高中数学人教,A,版（,2019,）必修（第二册）,9.2.4,总体离散程度的估计课件（共,34,张,PPT,）,学习新知为了避免式中含有绝对值，通常改用平方来代替，即我们称,标准差为,0,的数据有何特点？,都相等,.,学习新知,我们称下式为这组数据的,标准差,（,standard deviation).,思考：标准差的取值范围是什么？,如果总体中所有个体的变量值分别为,Y,1,Y,2,，,Y,N,总体平均数为,则称,S,2,=,为总体方差,.,高中数学人教,A,版（,2019,）必修（第二册）,9.2.4,总体离散程度的估计课件（共,34,张,PPT,）,高中数学人教,A,版（,2019,）必修（第二册）,9.2.4,总体离散程度的估计课件（共,34,张,PPT,）,标准差为0的数据有何特点？都相等.学习新知我们称下式为,学习新知,与总体均值类似，总体方差也可以写成加权的形式，如果总体的,N,个变量值中，不同的值共有,k,(,k,N,),个，不妨记为,Y,1,Y,2,.,Y,k,其中,Y,出现的频数为,f,(,i,=1,2,.,k,),则,总体方差,为,S,2,=,高中数学人教,A,版（,2019,）必修（第二册）,9.2.4,总体离散程度的估计课件（共,34,张,PPT,）,高中数学人教,A,版（,2019,）必修（第二册）,9.2.4,总体离散程度的估计课件（共,34,张,PPT,）,学习新知与总体均值类似，总体方差也可以写成加权的形式，如果总,思考：,对于一个容量为,2,的样本：,x,1,、,x,2,(,x,1,x,2,),，,则,在数轴上，这两个统计数据有什么几何意义？由此说明标准差的大小对数据的离散程度有何影响？,标准差越大,数据的,离散程度越大,数据较分散,；,标准差越小,数据的,离散程度越小,数据较集中在平均数周围,.,学习新知,S,标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度,.,显然，在刻画数据的分散程度上,方差和标准差,是一样的,但在解决实际问题中,一般多采用标准差。,高中数学人教,A,版（,2019,）必修（第二册）,9.2.4,总体离散程度的估计课件（共,34,张,PPT,）,高中数学人教,A,版（,2019,）必修（第二册）,9.2.4,总体离散程度的估计课件（共,34,张,PPT,）,思考：对于一个容量为2的样本：x1、x2(x1s,乙,可知，甲的成绩离散程度大，乙的成绩离散程度小，由此可以估计，乙比甲的射击成绩稳定,.,如果要从这两名选手中选择一名参加比赛，要看一下他们的平均成绩在所有参赛选手中的位置，如果两人都排在前面，就选成绩稳定的乙选手，否则可以选甲,.,计算甲、乙两名运动员的射击成绩的标准差，比较其射击,【典例】,1.(2017,全国卷,),为评估一种农作物的种植,效果,选了,n,块地作试验田,.,这,n,块地的亩产量,(,单位,:kg),分别为,x,1,x,2,x,n,下面给出的指标中可以用来评估这,种农作物亩产量稳定程度的是,(,),A.x,1,x,2,x,n,的平均数,B.x,1,x,2,x,n,的标准差,C.x,1,x,2,x,n,的最大值,D.x,1,x,2,x,n,的中位数,B,2,（导学,P122,例,1,）,.,已知某,7,个数的平均数为,4,方差为,2,现加入一个新数据,4,此时这,8,个数的平均数为,方差,为,s,2,则,(,),A.=4,s,2,2,C.4,s,2,4,s,2,2,2.,=4.,又因为这,7,个数的方差为,2,且加入一个新数据,4,所以这,8,个数的方差,s,2,=,所以乙机床加工零件的质量更稳定,.,例2 甲、乙两机床同时加工直径为100 cm的零件,为检验,导学,P124,导学P124,如果数据,的平均数为 ，,方差为,（,1,）新数据,的平均数为,，方差仍为 ,（,2,）新数据,的平均数为,，方差为 ,（,3,）新数据,的平均数为 ，,方差为,，则,方差的运算性质：,如果数据的平均数为 ，方差为（1）新数据的平均数,典型例题,课本例,6,在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生,23,人，其平均数和方差分别为,170.6,和,12.59,抽取了女生,27,人，其平均数和方差分别为,160.6,和,38.62.,你能由这些数据计算出总样本的方差，并对高一年级全体学生的身高方差作出估计吗？,解：把男生样本记为,x,1,x,2,，,x,23,其平均数记为 ，方差记为,;,把女生样本记为,y,1,y,2,.,y,27,其平均