单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,3.2.3,直线的一般式方程,3.2.3直线的一般式方程,一、直线与二元一次方程的对应,1.,平面上任意一条直线都可以用一个关于,x,y,的,_,表示,.,2.,关于,x,y,的二元一次方程,Ax+By+C=0(A,B,不同时为零,),它都表,示,_.,二元一次方程,一条直线,一、直线与二元一次方程的对应二元一次方程一条直线,思考,:,当,A,B,同时为零时,方程,Ax+By+C=0,表示什么,?,提示,:,当,C=0,时,方程对任意的,x,y,都成立,故方程表示整个坐标平面,;,当,C0,时,方程无解,方程不表示任何图象,.,故方程,Ax+By+C=0,不一定代表直线,只有当,A,B,不同时为零,即,A,2,+B,2,0,时,方程才代表直线,.,思考:当A,B同时为零时,方程Ax+By+C=0表示什么?,二、直线的一般式方程,1.,式子,:,关于,x,y,的二元一次方程,_.,2.,条件,:A,B_.,3.,简称,:_.,Ax+By+C=0,不同时为零,一般式,二、直线的一般式方程Ax+By+C=0不同时为零一般式,判断,:(,正确的打“,”,错误的打“,”),(1),任何直线方程都能表示为一般式,.,(,),(2),任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化,.,(,),(3),对于二元一次方程,Ax+By+C=0,当,A=0,B0,时,方程表示垂直于,x,轴的直线,.,(,),判断:(正确的打“”,错误的打“”),提示,:,(1),正确,.,因为平面上任意一条直线都可以用一个关于,x,y,的二元一次方程表示,.,(2),错误,.,当一般式方程中的,B=0,时,直线的斜率不存在,不能化成其他形式,;,当,C=0,时,直线过原点,不能化为截距式,.,但其他四种形式都可以化为一般式,.,(3),错误,.,当,A=0,B0,时,方程表示垂直于,y,轴的直线,.,答案,:,(1),(2),(3),提示:(1)正确.因为平面上任意一条直线都可以用一个关于x,【知识点拨】,1.,二元一次方程与直线的关系,(1),二元一次方程的每一组解都可以看成平面直角坐标系中一个点的坐标,这个方程的全体解组成的集合,就是坐标满足二元一次方程的全体点的集合,这些点的集合就组成了一条直线,.,(2),二元一次方程与平面直角坐标系中的直线是一一对应的,因此直线的一般式方程可以表示坐标平面内的任意一条直线,.,【知识点拨】,2.,解读直线方程的一般式,(1),方程是关于,x,y,的二元一次方程,.,(2),方程中等号的左侧自左向右一般按,x,y,常数的先后顺序排列,.,(3)x,的系数一般不为分数和负数,.,(4),虽然直线方程的一般式有三个参数,但只需两个独立的条件即可求得直线的方程,.,2.解读直线方程的一般式,3.,一般式方程表示的特殊直线,(1),当,A=0,B0,时,方程表示垂直于,y,轴的直线,当,A=0,且,C=0,时,直线与,x,轴重合,.,(2),当,A0,B=0,时,方程表示垂直于,x,轴的直线,当,A0,且,C=0,时,直线与,y,轴重合,.,(3),当,C=0,时,方程表示过原点的直线,.,(4),当,AB0,时,方程表示与两坐标轴都相交的直线,.,3.一般式方程表示的特殊直线,类型 一,直线的一般式方程,【典型例题】,1.,直线经过,(1,2),且斜率为,-1,则该直线的一般式方程为,.,2.,根据下列条件分别写出直线的方程,并化为一般式方程,.,(1),斜率是,且经过点,A(5,3).,(2),斜率为,4,在,y,轴上的截距为,-2.,(3),经过,A(-1,5),B(2,-1),两点,.,(4),在,x,轴,y,轴上的截距分别为,-3,-1.,类型 一 直线的一般式方程,【解题探究】,1.,已知过某点和斜率,如何写出直线的方程,?,2.,化为直线的一般式方程时有何具体要求,?,探究提示,:,1.,可利用点斜式写出直线的方程,.,2.(1),方程中等号的左侧自左向右一般按,x,y,常数的先后顺序排列,.,(2)x,的系数一般不为分数和负数,.,【解析】,1.,由直线的点斜式方程可得,y-2=-1(x-1),化为一般式方程为,x+y-3=0.,答案,:,x+y-3=0,【解题探究】1.已知过某点和斜率,如何写出直线的方程?,2.(1),由直线方程的点斜式得,y-3=(x-5),即,(2),由斜截式得直线方程为,y=4x-2,即,4x-y-2=0.,(3),由两点式得 即,2x+y-3=0.,(4),由截距式得直线方程为,即,x+3y+3=0.,2.(1)由直线方程的点斜式得y-3=(x-5),即,【互动探究】,若直线经过,(1,，,2),和,(-1,，,2),两点，则该直线的方程为,_.,【解析】,因为直线经过,(1,，,2),和,(-1,，,2),两点，此两点纵坐标都是,2,，相等，故该直线的方程为：,y=2.,答案：,y=2,【互动探究】若直线经过(1，2)和(-1，2)两点，则该直线,【拓展提升】,直线的一般式转化为其他形式的步骤,(1),一般式化为斜截式的步骤,移项得,By=-Ax-C;,当,B0,时，得斜截式：,(2),一般式化为截距式的步骤,把常数项移到方程右边，得,Ax+By=-C;,当,C0,时,方程两边同除以,-C,得,【拓展提升】直线的一般式转化为其他形式的步骤,化为截距式：,由于直线方程的斜截式和截距式是惟一的，而两点式和点斜式不惟一，因此，通常情况下，一般式不化为两点式和点斜式,.,化为截距式：,类型 二,平行与垂直的应用,【典型例题】,1.(1),过点,A(2,2),且与直线,3x+4y-20=0,平行的直线方程为,.,(2),过点,A(2,2),且与直线,3x+4y-20=0,垂直的直线方程为,.,2.,已知两直线,l,1,:x+my+6=0,l,2,:(m-2)x+3y+2m=0,当,m,为何值时,直线,l,1,l,2,?,l,1,l,2,?,类型 二 平行与垂直的应用,【解题探究】,1.,若两直线平行,则两直线的斜率有何关系,?,若垂直呢,?,2.,利用两直线平行或垂直求参数时应特别注意什么问题,?,探究提示,:,1.,两直线平行,若斜率存在,则相等或斜率均不存在,;,两直线垂直,若斜率存在,则它们的乘积为,-1.,或其中一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为,0.,同时注意与已知直线平行或垂直的直线的设法,.,2.,一定要考虑直线的斜率存在与不存在的两种情况来解决,.,【解题探究】1.若两直线平行,则两直线的斜率有何关系?若垂直,【解析】,1.(1),设与直线,3x+4y-20=0,平行的直线方程为,3x+4y+C=0,过点,A(2,2),所以,32+42+C=0,即,C=-14,直线方程为,3x+4y-14=0.,(2),设与直线,3x+4y-20=0,垂直的直线方程为,4x-3y+m=0,过点,A(2,2),所以,42-32+m=0,即,m=-2,直线方程为,4x-3y-2=0.,答案,:,(1)3x+4y-14=0,(2)4x-3y-2=0,【解析】1.(1)设与直线3x+4y-20=0平行的直线方程,2.,方法一：当,m=0,时,l,1,：,x+6=0,l,2,：,2x-3y=0,两直线既不平行,也不垂直；当,m0,时,l,1,：,y=,l,2,：,若,l,1,l,2,则 解得,m=-1,；,若,l,1,l,2,则 解得,方法二：,l,1,l,2,等价于,13-m(m-2)=0,且,12m-6(m-2)0,解,得,m=-1,；,l,1,l,2,等价于,1,(m-2)+3m=0,解得,2.方法一：当m=0时,l1：x+6=0,l2：2x-3y=,【拓展提升】,1.,利用一般式解决平行与垂直问题策略,已知直线,l,1,:A,1,x+B,1,y+C,1,=0,l,2,:A,2,x+B,2,y+C,2,=0.,(1),l,1,l,2,A,1,B,2,-A,2,B,1,=0,且,B,1,C,2,-B,2,C,1,0(,或,A,1,C,2,-A,2,C,1,0).,(2),l,1,l,2,A,1,A,2,+B,1,B,2,=0.,2.,过一点与已知直线平行,(,垂直,),的直线方程的求法,(1),由已知直线求出斜率,再利用平行,(,垂直,),的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率,由点斜式写方程,.,【拓展提升】,(2),可利用如下待定系数法,:,与直线,Ax+By+C=0,平行的直线方程可设为,Ax+By+C,1,=0,再由直线所过的点确定,C,1,;,与直线,Ax+By+C=0,垂直的直线方程可设为,Bx-Ay+C,2,=0,再由直线所过的点确定,C,2,.,(2)可利用如下待定系数法:与直线Ax+By+C=0平行的直,直线方程的综合应用,【典型例题】,1.,设直线,l,的方程为,(a-1)x+y-2-a=0(aR).,若直线,l,不过第三象限,则,a,的取值范围为,.,2.,如果直线,l,经过点,P(2,1),且与两坐标轴围成的三角形面积为,S.,若这样的直线,l,有且只有,2,条,求,S,的取值范围,.,直线方程的综合应用,【解析】,1.,把直线,l,化成斜截式,得,y=(1-a)x+a+2,因为直线,l,不,过第三象限,故该直线的斜率小于等于零,且直线在,y,轴上的截,距大于等于零,.,即,解得,a1.,所以,a,的取值范围为,1,+).,答案：,1,+),【解析】1.把直线l化成斜截式,得y=(1-a)x+a+2,2.,设直线,l,的方程为 则 即,则,a,=2S,得,a,2,-2Sa+4S=0,或,a,2,+2Sa-4S=0,后一个方程,0,恒成立,肯定有两个不相等的实数根,若这样,的直线,l,有且只有,2,条,则前一个方程一定无实数根,=(2S),2,-4,4S0,解得,0S4.,2.设直线l的方程为 则 即,【拓展提升】,直线方程一般式的综合应用,(1),直线方程的一般式同二元一次方程,Ax+By+C=0(A,B,不同时为零,),之间是一一对应关系,因此研究直线的几何性质完全可以借助于方程的观点来研究,这实际上也是解析几何的思想所在,用方程的思想来研究几何问题,.,(2),可以借助于直线方程的五种形式间的互化,求解一些定值问题、范围问题等,.,【拓展提升】直线方程一般式的综合应用,【规范解答】,由直线的一般式方程求参数的范围,【条件分析】,【典例】,【规范解答】由直线的一般式方程求参数的范围【条件分析】【典,【规范解答】,方法一：因为直线,ax+3y+1=0,与直线,(a-1)x+,(a+)y-1=0,垂直,所以,即,a,2,-a+3a+1=0,8,分,所以,a,2,+2a+1=0,解得,a=-1.,12,分,【规范解答】方法一：因为直线ax+3y+1=0与直线(a-1,方法二：,当 时,直线,ax+3y+1=0,为,直,线,(a-1)x+(a+)y-1=0,为,显然两直线不垂直,故,a=,应舍去,.,5,分,当,a,时,直线,ax+3y+1=0,的斜率为 直线,(a-1)x+,(a+)y-1=0,的斜率为 当两直线垂直时,有,=-1,解得,a=-1.,10,分,故当,a=-1,时,两直线垂直,.,12,分,方法二：当 时,直线ax+3y+1=0为,【失分警示】,【失分警示】,【防范措施】,1.,条件成立的表达形式,对于一些结论的应用,首先是记准表达形式,准确灵活运用,如本例中若两直线垂直,则有,A,1,A,2,+B,1,B,2,=0,灵活运用此结论,会给解题带来方便,.,2.,分类讨论的意识,对于含有参数的题目,尤其是关于直线的平行和垂直的问题,一定要有分类讨论的意识,如本例中两直线垂直时,涉及斜率是否存在,因此要对,y,的系数是否为零进行分情况讨论,.,【防范措施】,【类题试解】,当,a,为何值时,直线,2x+3ay+1=0,与直线,(a-2)x-ay,-1=0,平行？,