4,古典概型,检验：古典概型,若随机试验,E,满足,：,样本空间,S,只含有有限个元素,:,S,=,e,1,e,n,试验中，每个基本事件发生是等可能的,.,基本计数原理,1.,加法原理,设完成一件事有,m,种方式，,第一种方式有,n,1,种方法，,第二种方式有,n,2,种方法,；,第,m,种方式有,n,m,种方法,无论通过哪种方法都,可以完成这件事，,则完成这件事总共,有,n,1,+,n,2,+,n,m,种方法,.,例如：从北京到上海可以坐火车也可以坐飞机，如果每日,火车有,3,个班,北京 上海,飞机有,2,个班次,则此人有,3+2=5,种方法从北京到上海。,则完成这件事共有,种不同的方法,.,2.,乘法原理,设完成一件事有,m,个步骤，,第一个步骤有,n,1,种方法，,第二个步骤有,n,2,种方法,；,第,m,个步骤有,n,m,种方法,必须通过每一步骤,才算完成这件事，,例如,:,有一位女士有二件上衣和三条裙子,则该女士可以有几种打扮方式。,红,白,兰,绿,黑,23=6,种打扮,3,有重复排列,从含有,n,个元素的集合中随机抽取,k,次，每次取一个，记录其结果后放回，将记录结果排成一列，,共有,n,k,种排列方式,.,n,n,n,n,1,2,k,4,无重复排列,从含有,n,个元素的集合中随机抽取,k,次，每次取一个，取后不放回，将所取元素排成一列，,共有排列方式,:,n,n,-1,n,-2,n,-,k,+1,1,2,k,k=n,时称全排列,n,个不同元素中任取,k,个元素的排列数,5,组合：,从,n,个不同元素中任取,k,个元素并成一组,（不考虑其间顺序）称为一个组合，此种组合总数为：,排列与组合关系式,：,6,分组,：,n,个不同元素分为,k,组，各组元素数目分别为,r,1,r,2,r,k,的分法总数为,r,1,个,元素,r,2,个,元素,r,k,个,元素,n,个,元素,因为,例,1,一口袋装有,6,只球，其中,4,只白球、,2,只红,球。从袋中取球两次，每次随机的取一只。考虑两,种取球方式：,(a),放回抽样,第一次取一只球，观察其颜色后放,回袋中，搅匀后再取一球。,(b),不放回抽样,第一次取一球不放回袋中，第二,次从剩余的球 中再取一球。,分别就上面两种方式求：,1,）取到的两只都是白球的概率；,2,）取到的两只球颜色相同的概率；,3,）取到的两只球中至少有一只是白球的概率。,取球问题,说明：取球问题中，球，产品，人等一般都认为是可辨的。,解：,从袋中取两球，每一种取法就是一个基本事件。,设,A=“,取到的两只都是白球”，,B=“,取到的两只球颜色相同”，,C=“,取到的两只球中至少有一只是白球”。,(a),有放回抽样:,样本空间中样本点个数,n,=66=36,（是可重复排列）,(b),无放回抽样:,法一,(,排列）,：样本空间,S,中样本点的个数是,无重复排列,(b),无放回抽取:,（所求事件中没有顺序的要求）,法二,(,组合）,：样本空间,S,中样本点的个数是,例,2,一口袋装有,6,只球，其中,4,只白球、,2,只红,球。从袋中取球两次，每次随机的取一只。考虑两,种取球方式：,(a),放回抽样 第一次取一只球，观察其颜色后放,回袋中，搅匀后再取一球。,(b),不放回抽样 第一次取一球不放回袋中，第二,次从剩余的球 中再取一球。,分别就上面两种方式求：,第一次取红球，第二次取白球的概率,D=,第,一次取红球，第二次取白球,解,:,样本空间中样本点个数,n,=66=36,（是可重复排列）,(a),有放回抽样:,D,=,第,一次取红球，第二次取白球,(b),无,放回抽样:,(,排列）：,样本空间,S,中样本点的个数是,无重复排列,注：试验不同样本空间不同，,A,中所含样本,点数不同。,例,3,设有,N,件产品，其中有,D,件次品，今从中任,取,n,件，问其中恰有,k,(,k,D,),件次品的概率是多少,?,（不放回抽样和放回抽样两种方式,),又,在,D,件次品中取,k,件，所有可能的取法有,在,N-D,件正品中取,n-k,件,所有可能的取法有,解：,在,N,件产品中抽取,n,件，取法共有,不放回抽样,1,）,由乘法原理知：在,N,件产品中取,n,件，其中恰有,k,件次品的取法共有,于是所求的概率为：,此式即为,超几何分布,的概率公式,。,2,）有放回抽样,从,N,件产品中有放回地抽取,n,件产品进行排列，可能的排列数为 个，,(,样本总数）。,而在,N,件产品 中取,n,件，其中恰有,k,件次品的排列数共有,于是所求的概率为：,此式即为,二项分布,的,概率公式。,例,4,袋中有,a,只白球和,b,只红球。现在把球一只只随机的取出来不放回，求第,k,次取出的一只球是白球的概率,解法,1,：,E,：把,a,只白球和,b,只红球都编上不同的号码，,把取出的球依次放在,a+b,个位置上。（如图）,1,k,a+b,S,中基本事件总数,:,（,a+b,）！,A,包含的基本事件个数，,此结果与,k,无关，,这与日常生活的经验是一致的。,解法,2,：,把,a,只白球和,b,只红球编上不同的号码，我们只考虑前,k,只球。即把取出的前,k,只球依次放在,k,个位置上，如图,k,S,中基本事件 总数,:,A,包含的基本事件个数,:,3,、试验,E,是从,n,件产品中任取,m,件，可视为一次,从中取,m,件，可用组合计数。也可看作每次取一件，,取后不放回连取,m,次。可用排列记数，,要由所求问题而定。,小结,1,、试验,E,是无放回抽取，,当事件,A,无次序要求可用组合，也可用排列计数，例,1(b),当,A,有次序要求时，必须要用排列计数。（例,2,）,2,、试验,E,是有放回抽取,，可重复排列问题，例,1,，,2,，,3,4,、古典概率，其分子与分母的计数方法要一致。,例,1,将,m,只球（可分辨）随机的放入,N,(,N,m,),个盒子中去，求每个盒子至多有一只球的概率,(,设盒子的容量不限）。,解：将,m,只球放入,N,个盒子中去,共有,而每个盒子中至多放一只球,共有,分球入盒问题,例,2,、,将,n,只球随机地放入,N,（,N,n,）个盒子中去（设盒子的容量不限），试求下列事件的概率。,A,=,某指定的一个盒子中没有球,B=,某指定的,n,个盒子中各有一个球,C=,恰有,n,个盒子中各有一个球,D=,某指定的一个盒子中恰有,m,个球,(,m,n,),解,把,n,个球随机地分配到,N,个盒子中去,(,n,N,),基本事件总数为,:,事件,A,：指定的盒子中不能放球，因此，,n,个球中的,每一个球可以并且只可以放入其余的,N,-1,个盒子中。,总共有 种放法。因此,事件,B,：指定的,n,个盒子中，每个盒子中各放一球，,共有,n,!,种放法，因此,事件,C,：恰有,n,个盒子，其中各有一球，即,N,个盒子,中任选出,n,个，选取的种数为,在这,n,个盒子中各分配一个球，,n,个盒中各有,1,球,(,同上,),，,n,!,种放法；事件,C,的样本点总数为,事件,D,：指定的一个盒子中，恰好有,m,个球，这,m,个球可从,n,个球中任意选取，共有,C,n,m,种选法，而其余,n,-,m,个球可以任意分配到其余的,N,-1,个盒子中去，共有,(,N,-1),n-m,种，所以事件,D,所包含的样本点总数为,C,n,m,(,N,-1),n-m,分球入盒问题，或称球在盒中的分布问题。有些实际问题可以归结为分球入盒问题，只是须分清问题中的,“,球,”,与,“,盒,”,，不可弄错。,(1),生日问题：,n,个人的生日的可能情况（,每个人生日是,365,天之一）,，相当于,n,个球放入,N=365,个盒子中的可能情况,(,设一年,365,天,),；,(2),旅客下车问题,(,电梯问题,),：一列火车中有,n,名旅客，它在,N,个站上都停车，旅客下车的各种可能场合，相当于,n,个球分到,N,个盒子：旅客：,“,球,”,，站：,“,盒子,”,；,(3),住房分配问题：,n,个人被分配到,N,个房间中；,(4),印刷错误问题：,n,个印刷错误可能出现在一本具有,N,页书的任何一页，错误,球，页,盒子。,（,5,）有,n,封信随机的投放在,N,个信筒中（筒内信数不限）；,设每个人在一年,(,按,365,天计,),内每天出生的可能性都相同,相当于,n,个球放入,N=365,个盒子中,则他们生日各不相同的概率（,恰有,n,个盒子中各有一个球,）为,于是,n,个人中至少有两人生日相同的概率为,例,3(,生日问题,):,某人群有,n,个人，他们中至少有两人生日相同的概率有多大？,人数 至少有两人同生日的概率,20 0.411,21 0.444,22 0.476,23 0.507,24 0.538,30 0.706,40 0.891,50 0.970,60 0.994,例,4,、,将,n,只球（可分辨）随机地放入,N,（,N,n,）个盒子中去（设盒子至多容纳一个球），试求下列事件的概率。,B=,某指定的,n,个盒子中各有一个球,C=,恰有,n,个盒子中各有一个球,解,把,n,个球随机地分配到,N,个盒子中去,(,n,N,),基本事件总数为,:,事件,B,：指定的,n,个盒子中，每个盒子中各放一球，,共有,n,!,种放法，因此,事件,C,：恰有,n,个盒子，其中各有一球，即,N,个盒子,中任选出,n,个，选取的种数为,在这,n,个盒子中各分配一个球，,n,个盒中各有,1,球,(,同上,),，,n,!,种放法；事件,C,的样本点总数为,例,1,将,15,名新生随机地平均分配到,3,个班中去，这,15,名新生中有,3,名是优秀生。问：,(1),每个班各分配到一 名优秀生的概率是多少？,(2)3,名优秀生分配到同一个班级的概率是多少？,解：,15,名新生平均分配到,3,个班级中去的分法总数为：,分组问题,(1),每个班各分配到一 名优秀生,=A,：将,3,名优秀生分配到,3,个班级，使每个班级都有一名优秀生的分法共有,3!,种。其余,12,名新生平均分配到,3,个班级中的分法共有,每个班各分配到一 名优秀生的分法总数为：,于是所求的概率为：,三名优秀生分配在同一班级内,其余,12,名新生，一个班级分,2,名，另外两班各分,5,名,(2)3,名优秀生分配到同一个班级的概率为：,例,:,某公司生产的,15,件产品中,有,12,件是正品,3,件是次品。现将它们随机地分装在,3,个箱中,每箱装,5,件，设,:A=,每箱中恰有一件次品,B=,三件次品都在同一箱中,。,求,:P(A),和,P(B),。,例,30名学生中有3名运动员，将这30名学生平均分成3组，求：,（1）每组有一名运动员的概率；,（2）3名运动员集中在一个组的概率。,例,1,在,12000,的整数中随机地取一个数,问,1),求取到的数能被,6,整除的概率,(2),求取到的数能被,8,整除的概率,(3),求取到的数既不能被,6,整除也不能被,8,整除的概率,设,A,为事件“取到的数能被,6,整除”,B,为事件,“取到的数能被,8,整除”，,解,随机取数问题,于是所求概率为,例,1,某市有甲,乙,丙三种报纸,订每种报纸的人数分别占全体市民人数的,30%,其中有,10%,的人同时定甲,乙两种报纸,.,没有人同时订甲丙或乙丙报纸,.,求从该市任选一人,他至少订有一种报纸的概率,.,解,:,设,A,B,C,分别表示选到的人订了甲,乙,丙报,其它问题,例,2,某接待站在某一周曾接待过,12,次来访,已知,所有这,12,次接待都是在周二和周四进行的,问是,否可以推断接待时间是有规定的,.,假设接待站的接待时间没有,规定,且各来访者在一周的任一天,中去接待站是等可能的,.,解,周一,周二,周三,周四,周五,周六,周日,1,2,3,4,12,7,7,7,7,7,故一周内接待,12,次来访共有,周一,周二,周三,周四,周五,周六,周日,周二,周四,1,2,3,4,12,2,2,2,2,2,12,次接待都是在周二和周四进行的共有,