单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1,电子的自旋,2,电子的自旋算符和自旋波函数,3,简单塞曼效应,4,两个角动量耦合,5,光谱精细结构,6,全同粒子的特性,7,全同粒子体系波函数,Pauli,原理,8,两电子自旋波函数,9,氦原子（微扰法）,第七章 自旋与全同粒子,1 电子的自旋 第七章 自旋与全同粒子,（一）,Stern-Gerlach,实验,(,二）光谱线精细结构,（三）电子自旋假设,（四）回转磁比率,1,电子的自旋,（一）Stern-Gerlach 实验 1 电子的自旋,（,1,）实验描述,Z,处于,S,态的氢原子,（,2,）结论,I,。氢原子有磁矩,因在非均匀磁场中发生偏转,II,。氢原子磁矩只有两种取向,即空间量子化的,S,态的氢原子束流，经非均匀磁场发生偏转，在感光板上呈现两条分立线。,N,S,（一）,Stern-Gerlach,实验,（1）实验描述Z处于 S 态的氢原子（2）结论I。氢原子有磁,（,3,）讨论,磁矩与磁场之夹角,原子,Z,向受力,分析,若原子磁矩可任意取向，则,cos,可在（,-1,，,+1,）之间连续变化，感光板将呈现连续带,但是实验结果是：出现的两条分立线对应,cos,=-1,和,+1,，处于,S,态的氢原子,=0,，没有轨道磁矩，所以原子磁矩来自于电子的固有磁矩，即自旋磁矩。,（3）讨论磁矩与磁场之夹角原子 Z 向受力分析若原子磁矩可任,3p,3s,5893,3p,3/2,3p,1/2,3s,1/2,D,1,D,2,5896,5890,钠原子光谱中的一条亮黄线,5893,，用高分辨率的光谱仪观测，可以看到该谱线其实是由靠的很近的两条谱线组成。,其他原子光谱中也可以发现这种谱线由更细的一些线组成的现象，称之为光谱线的精细结构。该现象只有考虑了电子的自旋才能得到解释,（二）光谱线精细结构,3p3s58933p3/23p1/23s1/2D1D258,Uhlenbeck(,乌伦贝克,),和,Goudsmit,（哥德斯密脱）,1925,年根据上述现象提出了电子自旋假设,（,1,）每个电子都具有自旋角动量，它在空间任何方向上的投影只能取两个数值：,（,2,）每个电子都具有自旋磁矩，它与自旋角动量的关系为：,自旋磁矩，在空间任何方向上的投影只能取两个数值：,Bohr,磁子,（三）电子自旋假设,Uhlenbeck(乌伦贝克)和 Goudsmit（哥德斯,（,1,）电子回转磁比率,我们知道，轨道角动量与轨道磁矩的关系是：,（,2,）轨道回转磁比率,则，轨道回转磁比率为：,可见,电子回转磁比率是轨道回转磁比率的二倍,（四）回转磁比率,（1）电子回转磁比率我们知道，轨道角动量与轨道磁矩的关系是：,2,电子的自旋算符和自旋波函数,（一）自旋算符,（二）含自旋的状态波函数,（三）自旋算符的矩阵表示与,Pauli,矩阵,（四）含自旋波函数的归一化和几率密度,（五）自旋波函数,（六）力学量平均值,2 电子的自旋算符和自旋波函数（一）自旋算符,自旋角动量是纯量子概念，它不可能用经典力学来解释。,自旋角动量也是一个力学量，但是它和其他力学量有着根本的差别,通常的力学量都可以表示为坐标和动量的函数,而自旋角动量则与电子的坐标和动量无关，它是电子内部状态的表征，是描写电子状态的第四个自由度（第四个变量）。,与其他力学量一样，自旋角动量 也是用一个算符描写，记为,自旋角动量,轨道角动量,异同点,与坐标、动量无关,不适用,同是角动量,满足同样的角动量对易关系,（一）自旋算符,自旋角动量是纯量子概念，它不可能用经典力学来解释。通常的力,由于,自旋角动量,在空间任意方向上的投影只能取,/2,两个值,所以,的本征值都是,/2,，其平方为,/2,2,算符的本征值是,仿照,自旋量子数,s,只有一个数值,由于自旋角动量在空间任意方向上的投影只能取/2 两个值,因为自旋是电子内部运动自由度，所以描写电子运动除了用,(x,y,z),三个坐标变量外，还需要一个自旋变量,(S,Z,），于是电子的含自旋的波函数需写为：,由于,S,Z,只取,/2,两个值，,所以上式可写为两个分量：,写成列矩阵,规定列矩阵,第一行对应于,S,z,=,/2,，,第二行对应于,S,z,=-,/2,。,若已知电子处于,S,z,=,/2,或,S,z,=-,/2,的自旋态，则波函数可分别写为：,（二）含自旋的状态波函数,因为自旋是电子内部运动自由度，所以描写电子运动除了用(x,（,1,）,S,Z,的矩阵形式,电子自旋算符（如,S,Z,）是作用与电子自旋波函数上的，既然电子波函数表示成了,21,的列矩阵，那末，电子自旋算符的矩阵表示应该是,22,矩阵。,因为,1/2,描写的态，,S,Z,有确定值,/2,，所以,1/2,是,S,Z,的本征态，本征值为,/2,，即有：,矩阵形式,同理对,1/2,处理，有,最后得,S,Z,的矩阵形式,S,Z,是对角矩阵，对角矩阵元是其本征值,/2,。,（三）自旋算符的矩阵表示与,Pauli,矩阵,（1）SZ的矩阵形式电子自旋算符（如SZ）是作用与电子自,（,2,）,Pauli,算符,1.Pauli,算符的引进,分量形式,因为,S,x,S,y,S,z,的本征值都是,/2,，,所以,x,y,z,的本征值都是,1,；,x,2,y,2,Z,2,的本征值都是,1,。,即：,（2）Pauli 算符1.Pauli 算符的引进分量形式因,2.,反对易关系,基于,的对易关系，可以证明,各分量之间满足反对易关系,:,证：,我们从对易关系,:,出发,左乘,y,右乘,y,二式相加,同理可证,:,x,y,分量的反对易关系亦成立,.,证毕,或,由对易关系和反对易关系还可以得到关于,Pauli,算符的如下非常有用性质：,y,2,=1,2.反对易关系基于的对易关系，可以证明 证：我们从对易关,3.Pauli,算符的矩阵形式,根据定义,求,Pauli,算符的 其他两个分量,令,利用反对易关系,X,简化为：,令：,c=expi,(,为实），则,由力学量算符厄密性,得：,b=c,*,(,或,c=b,*,),x,2,=I,3.Pauli算符的矩阵形式根据定义求 Pauli 算,求,y,的矩阵形式,这里有一个相位不定性，习惯上取,=0,，,于是得到,Pauli,算符的矩阵形式为：,从自旋算符与,Pauli,矩阵的关系自然得到自旋算符的矩阵表示：,写成矩阵形式,求y 的矩阵形式这里有一个相位不定性，习惯上取=0，,（,1,）归一化,电子波函数表示成,矩阵形式后，,波函数的归一化时必须同时对自旋求和和对空间坐标积分，即,（,2,）几率密度,表示,t,时刻在,r,点附近,单位体积内找到电子的几率,表示,t,时刻,r,点处,单位体积内找到自旋,S,z,=,/2,的电子的几率,表示,t,时刻,r,点处单位,体积内找到,自旋,S,z,=,/2,的电子的几率,在全空间找到,S,z,=,/2,的电子的几率,在全空间找到,S,z,=,/2,的电子的几率,（四）含自旋波函数的归一化和几率密度,（1）归一化电子波函数表示成矩阵形式后，波函数的归一化时必须,波函数,这是因为，通常自旋和轨道运动之间是有相互作用的，所以电子的自旋状态对轨道运动有影响。但是，当这种相互作用很小时，可以将其忽略，则,1,2,对,(x,y,z),的依赖一样，即函数形式是相同的。此时,可以写成如下形式：,求：自旋波函数,(S,z,),S,Z,的本征方程,令,一般情况下，,1,2,，二者对,(x,y,z),的依赖是不一样的。,（五）自旋波函数,波函数这是因为，通常自旋和轨道运动之间是有相互作用的，所以电,因为,S,z,是,2 2,矩阵，所以在,S,2,S,z,为对角矩阵的表象内，,1/2,-1/2,都应是,21,的列矩阵。,代入本征方程得：,由归一化条件确定,a,1,所以,二者是属于不同本征值的本征函数，彼此应该正交,因为 Sz 是 2 2 矩阵，所以在 S2,Sz 为对角,引进自旋后，任一自旋算符的函数,G,在,S,z,表象表示为,22,矩阵,算符,G,在任意态,中对自旋求平均的平均值,算符,G,在,态中对坐标和自旋同时求平均的平均值是：,（六）力学量平均值,引进自旋后，任一自旋算符的函数 G 在 Sz 表象表示为2,3,简单塞曼效应,返回,（一）实验现象,（二）氢、类氢原子在外场中的附加能,（三）求解,Schrodinger,方程,（四）简单塞曼效应,3 简单塞曼效应返回（一）实验现象,塞曼效应：,氢原子和类氢原子在外磁场中，其光谱线发生分裂的现象。,该现象在,1896,年被,Zeeman,首先 观察到,（,1,）,简单塞曼效应：,在强磁场作用下，光谱线的分裂现象。,（,2,）,复杂塞曼效应：,当外磁场较弱，轨道,-,自旋相互作用不能忽略时，将产生复杂塞曼效应。,（一）实验现象,塞曼效应：氢原子和类氢原子在外磁场中，其光谱线发生分裂的现,取外磁场方向沿,Z,向，则磁场引起的附加能（,CGS,制）为：,磁场沿,Z,向,（二）,Schrodinger,方程,考虑强磁场忽略自旋,-,轨道相互作用，体系,Schrodinger,方程：,（二）氢、类氢原子在外场中的附加能,取外磁场方向沿 Z 向，则磁场引起的附加能（CGS 制）为：,根据上节分析，没有自旋,-,轨道相互作用的波函数可写成：,代入,S,方程,最后得,1,满足的方程,同理得,2,满足的方程,根据上节分析，没有自旋-轨道相互作用的波函数可写成：代入,（,1,）当,B=0,时（无外场），是有心力场问题，方程退化为不考虑自旋时的情况。其解为：,I,。对氢原子情况,II,。对类氢原子情况,如,Li,，,Na,，,等碱金属原子，核外电子对核库仑场有屏蔽作用，此时能级不仅与,n,有关，而且与,有关，记为,E,n,则有心力场方程可写为：,（三）求解,Schrodinger,方程,（1）当 B=0 时（无外场），是有心力场问题，方程退化为,由于,（,2,）当,B,0,时（有外场）时,所以在外磁场下，,n,m,仍为方程的解，此时,同理,由于（2）当 B 0 时（有外场）时所以在外磁场下，,（,1,）分析能级公式可知：在外磁场下，能级与,n,l,m,有关。原来,m,不同能量相同的简并现象被外磁场消除了。,（,2,）外磁场存在时，能量与自旋状态有关。当原子处于,S,态时，,l=0,m=0,的原能级,E,n l,分裂为二。,这正是,SternGerlach,实验所观察到的现象。,（四）简单塞曼效应,（1）分析能级公式可知：在外磁场下，能级与 n,l,m,（,3,）光谱线分裂,2p,1s,S,z,=,/2,S,z,=-,/2,m,+1,0,-1,m,+1,0,-1,0,0,(a),无外磁场,(b),有外磁场,（3）光谱线分裂2p1sSz=/2Sz=-/2m+,I,。,B=0,无外磁场时,电子从,E,n,到,E,n,的跃迁的谱线频率为：,II,。,B,0,有外磁场时,根据上一章选择定则可知，,所以谱线角频率可取三值：,无磁场时的一条谱线被分裂成三条谱线,S,z,=,/2,时，取,+,；,S,z,=,/2,时，取,。,讨论：,I。B=0 无外磁场时电子从 En 到 En,作业,7.1 7.2 7.3 7.4,作业7.1 7.2 7.3 7.4,