,6,、带电粒子在磁场中的运动,第三章 磁场,（磁聚焦）,当带电粒子从同一边界入射出射时速度与边界夹角相同,对称性,带电粒子在,直边界,磁场中的运动,磁聚焦原理图解,条件：圆形磁场区域半径与粒子轨道半径一样大,现象：从圆心打出的任意方向的粒子最终水平飞出,拓展：可逆性,数学公式推理,设速度夹角为,a,，粒子运动半径为,r,，磁场半径,也为,r,，则粒子圆心的横纵坐标为,X=rsina,Y=rcosa,显然，所有圆心的轨迹方程依然是圆,X,2,+y,2,=r,2,圆心在坐标原点，半径为,r,下面求粒子的出点坐标（,x,1,，,y,1,）,磁场圆的参数方程：,X,2,+,（,y-r,）,2,=r,2,粒子的轨迹参数方程：,（,X-rsina,）,2,+,（,y-rcosa,）,2,=r,2,将出点坐标代入两个方程解：,x,1,=rsina,，,y,1,=r+rcosa,说明出点的和圆心在同一竖直线上，即出点水平。,x,y,O,v,0,例、,在,xoy,平面内有很多质量为,m,，电量为,e,的电子，从坐标原点,O,不断以相同速率沿不同方向射入第一象限，如图所示现加一垂直于,xOy,平面向里、磁感强度为,B,的匀强磁场，要求这些入射电子穿过磁场都能平行于,x,轴且沿,x,轴正向运动，试问符合该条件的磁场的最小面积为多大？（不考虑电子间的相互作用）,所有电子的轨迹圆半径相等，且均过,O,点。这些轨迹圆的圆心都在以,O,为圆心，半径为,r,的且位于第,象限的四分之一圆周上，如图所示。,电子由,O,点射入第,象限做匀速圆周运动,解,1:,x,y,O,v,0,O,1,O,2,O,3,O,4,O,5,O,n,即所有出射点均在以坐标,(0,，,r,),为圆心的圆弧,abO,上，显然，磁场分布的最小面积,应是实线,1,和圆弧,abO,所围的面积，由几何关系得,由图可知，,a,、,b,、,c,、,d,等点就是各电子离开磁场的出射点，均应满足方程,x,2,+,(,r,y,),2,=r,2,。,解,2:,设,P,(,x,，,y,),为磁场下边界上的一点，经过该点的电子初速度与,x,轴夹角为,，则由图可知：,x=r,sin,，,y=r,r,cos,，,得,:,x,2,+,(,y,r,),2,=r,2,。,所以磁场区域的下边界也是半径为,r,，圆心为,(0,，,r,),的圆弧应是磁场区域的下边界。,磁场上边界如图线,1,所示。,x,y,O,v,0,1,P,(,x,y,),O,r,r,两边界之间图形的面积即为所求。,图中的阴影区域面积，即为磁场区域面积：,例、,（,2009,海南,T,16,）,如图，,ABCD,是边长为,a,的正方形。质量为,m,电荷量为,e,的电子以大小为,v,0,的初速度沿纸面垂直于,BC,边射入正方形区域。在正方形内适当区域中有匀强磁场，电子从,BC,边上的任意点入射，都只能从,A,点射出磁场。不计重力，求：,（,1,）此匀强磁场区域中磁感应强度的大小和方向；,（,2,）此匀强磁场区域的最小面积。,A,B,C,D,x,y,O,v,0,解：,（,1,）设匀强磁场的磁感应强度的大小为,B,。令圆弧,AEC,是自,C,点垂直于,BC,入射的电子在磁场中的运行轨道。,依题意，圆心在,A,、,C,连线的中垂线上，故,B,点即为圆心，圆半径为,a,，按照牛顿定律有,ev,0,B,=,mv,0,2,/,a,，得,B,=,mv,0,/,ea,。,A,B,C,D,E,F,p,q,O,（,2,）自,BC,边上其他点入射的电子运动轨道只能在,BAEC,区域中。因而，圆弧,AEC,是所求的最小磁场区域的一个边界。,（,3,）设某射中,A,点的电子速度方向与,BA,的延长线夹角为,的情形。该电子的运动轨迹,qpA,如图所示。图中圆弧,Ap,的圆心为,O,，,pq,垂直于,BC,边，圆弧,Ap,的半径仍为,a,，在,D,为原点、,DC,为,x,轴、,DA,为,y,轴的坐标系中，,p,点的坐标为,(,x,，,y,),，则,x,=,a,sin,，,y,=-,a,cos,。,因此，所求的最小匀强磁场区域，是分别以,B,和,D,为圆心、,a,为半径的两个四分之一圆周,AEC,和,AFC,所围成的区域，其面积为,S,=2(,a,2,/4-,a,2,/2)=(,-2),a,2,/2,由式可得：,x,2,+,y,2,=,a,2,，这意味着在范围,0,/2,内，,p,点处在以,D,为圆心、,a,为半径的四分之一圆周,AFC,上，它是电子做直线运动和圆周运动的分界线，构成所求磁场区域的另一边界。,磁聚焦概括：,平行会聚于一点,一点发散成平行,R,R,r,r,区域半径,R,与运动半径,r,相等,迁移与逆向、对称的物理思想！,例、,（,2009,年浙江卷）,如图，在,xOy,平面内与,y,轴平行的匀强电场，在半径为,R,的圆内还有与,xOy,平面垂直的匀强磁场。在圆的左边放置一带电微粒发射装置，它沿,x,轴正方向发射出一束具有相同质量,m,、电荷量,q,(,q,0),和初速度,v,的带电微粒。发射时，这束带电微粒分布在,0,y,2,R,的区间内。已知重力加速度大小为,g,。,（,1,）从,A,点射出的带电微粒平行于,x,轴从,C,点进入有磁场区域，并从坐标原点,O,沿,y,轴负方向离开，求电场强度和磁感应强度的大小与方向。,（,2,）请指出这束带电微粒与,x,轴相,交的区域，并说明理由。,（,3,）在这束带电磁微粒初速度变为,2,v,，那么它们与,x,轴相交的区域又在,哪里？并说明理由。,x,y,R,O,/,O,v,带点微粒发射装置,C,x,y,R,O,/,O,v,带点微粒发射装置,C,P,Q,r,图,(c),x,y,R,O,/,O,v,C,A,x,y,R,O,/,v,Q,P,O,R,图,(,a),图,(,b),【,答案,】,（,1,）；方向垂直于纸面向外（,2,）见解析（,3,）与,x,同相交的区域范围是,x,0.,【,解析,】,略,【,关键,】,图示,例、,如图，在,xOy,平面内，有以,O,(,R,，,0),为圆心，,R,为半径的圆形磁场区域，磁感应强度大小为,B,，方向垂直,xOy,平面向外，在,y,=,R,上方有范围足够大的匀强电场，方向水平向右，电场强度大小为,E,。在坐标原点,O,处有一放射源，可以在,xOy,平面内向,y,轴右侧（,x,0,）发射出速率相同的电子，已知电子在该磁场中的偏转半径也为,R,，,电子电量为,e,，质量为,m,。,不计重力及阻力的作用。,（,1,）求电子射入磁场时的速度大小；,（,2,）速度方向沿,x,轴正方向射入磁场,的电子，求它到达,y,轴所需要的时间；,（,3,）求电子能够射到,y,轴上的范围。,x,y,O,E,O,R,例、,如图所示，在,xOy,平面上,H,y,H,的范围内有一片稀疏的电子，从,x,轴的负半轴的远外以相同的速率,v,0,沿,x,轴正向平行地向,y,轴射来，试设计一个磁场区域，使得：,(1),所有电子都能在磁场力作用下通过原点,O,；,(2),这一片电子最后扩展到,2,H,y,k,1,k,2,0),，求二者发射的时间差。,M,O,a,b,c,N,1,2,3,x,(,mv,0,/,qB,),y,(,mv,0,/,qB,),1,2,v,0,例、,（,1975 IPHO,试题）,质量均为,m,的一簇粒子在,P,点以同一速度,v,向不同方向散开（如图），垂直纸面的匀强磁场,B,将这些粒子聚焦于,R,点，距离,PR,=2,a,，离子的轨迹应是轴对称的。试确定磁场区域的边界。,x,y,v,P,R,a,磁 场,O,a,r,b,A,(,x,y,),解答：,在磁场,B,中，粒子受洛仑兹力作用作半径为,r,的圆周运动：,设半径为,r,的圆轨道上运动的粒子，在点,A,(,x,，,y,),离开磁场，沿切线飞向,R,点。由相似三角形得到：,同时，,A,作为轨迹圆上的点，应满足方程：,v,2,qvB,=,m,r,mv,r,qB,=,x,=,y,b,y,a,x,x,2,+,(,y,b,)=,r,2,y,=,r,2,x,2,x,(,a,x,),消去,(,y-b,),，得到满足条件的,A,点的集合，因此，表示磁场边界的函数方程为：,例、,(,第二十届全国预赛试题,),从,z,轴上的,O,点发射一束电量为,q,、质量为,m,的带正电粒子，它们速度方向分布在以,O,点为顶点、,z,轴为对称轴的一个顶角很小的锥体内（如图所示），速度的大小都等于,v,。试设计一种匀强磁场，能使这束带电粒子会聚于,z,轴上的另一点,M,，,M,点离开,O,点的距离为,d,。要求给出该磁场的方向、磁感应强度的大小和最小值。不计粒子间的相互作用和重力的作用。,n,=1,，,2,，,3,，,z,O,M,磁透镜,