单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,B3.1,微分形式的质量守恒方程,B3.1.1,流体运动的连续性原理,不可压缩流体流进控制体的质量应等于流出控制体的质量，,称其为流体运动的连续性原理。,17,世纪，哈维发现人体血液循环理论,质量守恒在易变形的流体中的体现,流动连续性,。,历史上对连续性的认识,古,代，,漏壶、水流计时,16,世纪，达,芬奇指出河水流速与河横截面积成反比,18,世纪，达朗贝尔推导不可压缩流体微分形式连续性方程,B3.1.1,流体运动的连续性原理,(2-1),B3.1 微分形式的质量守恒方程B3.1.1 流体运动的,1,B3.1.1,流体运动的连续性,(2-2),17,世纪哈维：血液循环理论,解剖发现,：从心脏到动脉末端血液单向,流动，从静脉末端到心脏也,是单向流动,定量测量,：每小时流出心脏血液,245kg,大胆预言,：从动脉到静脉再回心脏,45,年后发现,：,毛细血管的存在,血液循环理论,流体连续性原理,的胜利,血液循环图,B3.1.1 流体运动的连续性(2-2)17世纪哈维：血液,2,B3.1.2,微分形式的连续性方程,x,，,y,，,z,方向净流出质量为,因密度变化引起的质量减少为,由,质量守恒定律,单位时间单位体积内,边长为,的长方体控制体元，,内,x,方向净流出的质量,B3.1.2,微分形式的连续性方程,(2-1),B3.1.2 微分形式的连续性方程 x，y，z方向净流出质,3,B3.1.2,微分形式的连续性方程,(2-2),用场量公式并运用质点导数概念，微分形式,连续性方程,为,或改写为：,左边代表一点邻域内流体体积的相对膨胀速率，右边代表密度相对减少率。连续性方程适用于任何同种流体。,不可压缩流体,连续性方程,B3.1.2 微分形式的连续性方程(2-2)用场量公式并运,4,例,B3.1.2,不可压缩流动连续性方程,已知：,不可压缩流体平面流动,（,C,为常数）,求：,v,解：,由不可压缩流动连续性方程的二维形式,可得,（,B,3.1.11,）,当,f(x),=0,，表示位于原点的点涡流动；,当,f(x),=,U,，表示点涡流叠加,y,方向速度为,U,的均流；,讨论：,本例说明对不可压缩流动，任一点的各速度分量不能是任意的,而是受到（,B,3.1.11,）式制约的。,例B3.1.2 不可压缩流动连续性方程 已知：不可压缩流,5,B3.2,作用在流体元上的力,B3.2.1,体积力和表面力,1.,体积力,长程力,穿越空间作用,到流体元上,万有引力,电磁力,惯性力,与流体元体,积成正比,体积力,单位质量流体上的体积力,单位体积流体上的体积力,B3.2.1,体积力和表面力,(2-1),B3.2 作用在流体元上的力B3.2.1 体积力和表面力1,6,B3.2.1,体积力和表面力,(2-2),2.,表面力,短程力,通过接触面,作用,压强,粘性切应力,与表面面积,和方位有关,表面力,表面力定义：作用在单位平面面积元上的短程力。,n,面积元外法线单位矢,n,面积元内法线单位矢,（注意：,和 不一定与 垂直）,B3.2.1 体积力和表面力(2-2)2.表面力短程力通过接,7,B3.2.2,重力场,在直角坐标系的重力场中,称为重力势，代表单位质量流体具有的重力势能,B3.2.2,重力场,B3.2.2 重力场在直角坐标系的重力场中称为重力势，代表,8,B3.2.3,应力场,1.,运动粘性流体中的应力状态,一点的表面应力,用过该点三个坐标面上三组表面力分量唯一确定,应力状态,与作用力的大小、方向、作用面方位有关,上的应力分量为,上的应力分量为,上的应力分量为,B3.2.3,应力场,(4-1),应力矩阵,B3.2.3 应力场1.运动粘性流体中的应力状态一点的表面,9,作用在任意方位,面元上的,表面应力,表面应力的分量式,B3.2.3,应力场,(4-2),作用在,外法矢沿,x,轴向的面积元,d,A,x,上三个应力分量如图示,作用在任意方位面元上的表面应力表面应力的分量式B3.2.3,10,B3.2.3,应力场,(4-3),2.,静止流体中的应力状态,静止流体的应力状态,结论：静止流体中一点的应力状态只用一个标量静压强,p,表示,.,只有法向应力,无切应力,B3.2.3 应力场(4-3)2.静止流体中的应力状态静止,11,B3.2.3,应力场,(4-4),3.,应力的常用表达式,运动粘性流体中的,(,平均,),压强,在法向应力中把压强分离出来,为附加法向应力分量（与流体元线应变率有关）,压强矩阵 偏应力矩阵,应力矩阵表示为,B3.2.3 应力场(4-4)3.应力的常用表达式运动粘性,12,例,B3.2.3,平面线性剪切流中的应力状态,已知：,平面线性剪切流,求：,应力状态,解,:,附加法向应力,切应力,讨论：,附加法向应力与该方向的线应变率有关，平面线性剪切流中任一点处在,x,、,y,方向的线应变率均为零，因此相应的附加法向应力也均为零，,x,y,方向的法向应力均等于平衡压强；粘性切应力则在全流场保持常数。,法向应力,（,k,为常数）,例B3.2.3 平面线性剪切流中的应力状态 已知：平面线,13,例,B3.2.3A,刚体旋转流动,:,纯旋转,(2-1),已知：,二维不可压缩平面流场为,求：,试分析该流场中的,应力状态,（,k,为常数）,解：,附加法向应力,例B3.2.3A 刚体旋转流动:纯旋转(2-1)已知：,14,流体中任一点的法向,应力为,切向应力为,讨论：,（,1,）线应变率处处为零，附加法向应力为零，全流场 的法向应力均等于平衡压强。,（,2,）角变形率也处处为零，全流场的粘性切应力为零，流体和刚体一样作定轴旋转运动。,例,B3.2.3A,刚体旋转流动,:,纯旋转,(2-2),流体中任一点的法向应力为 切向应力为讨论：（1）线应变率处处,15,B3.3,微分形式的动量方程,按牛顿第二定律，长方体流体元的,运动方程,为,各面元上,x,方向表面应力的分量如图示。,B3.3,微分形式的动量方程,(2-1),表面力合力,d,F,sx,由应力梯度造成,B3.3 微分形式的动量方程按牛顿第二定律，长方体流体元的运,16,x,方向的体积力分量为,将,d,F,sx,和,d,F,bx,代入运动方程，并利用 和质点导数概念，可化为,同理可得,上式称为,粘性流体运动一般微分方程,，适用于任何流体。,B3.3,微分形式的动量方程,(2-2),x方向的体积力分量为 将dFsx和dFbx代入运动方程，并利,17,B3.4,纳维斯托克斯方程,斯托克斯假设：,1.,将牛顿粘性定律从一维推广到三维；,2.,流体各向同性；,3.,静止时法向应力等于静压强。,均代入粘性流体运动一般微分方程,对牛顿流体（,常数）,B3.4,纳维斯托克斯方程,(4-1),不可压缩条件（,常数）,B3.4 纳维斯托克斯方程 斯托克斯假设：1.将牛顿粘性定,18,B3.4,纳维斯托克斯方程,(4-2),可得均质不可压缩牛顿流体的,纳维,-,斯托克斯方程,(N,S,方程,),N,S,方程的适用条件是：,常数,常数,，,B3.4 纳维斯托克斯方程(4-2)可得均质不可压缩牛,19,B3.4,纳维斯托克斯方程,(4-3),N,S,方程的矢量式为,N,S,方程,的意义和求解：,物理意义是：,惯性力与体积力、压力、粘性力平衡,u,、,v,、,w,、,p,，方程组是封闭的；,加上连续性方程 ，四个方程求解四个未知数,在边界条件较简单时可求解析解,;,在边界条件较复杂时,可求数值解,;,对不同的流动专题可作不同程度的简化（见专题篇）。,B3.4 纳维斯托克斯方程(4-3)NS方程的矢量式,20,B3.4,纳维斯托克斯方程,(4-4),N,S,方程,平衡方程,相对平衡方程,欧拉方程,惯性力,体积力,粘性力,压力,0,0,B3.4 纳维斯托克斯方程(4-4)NS方程,21,B3.5,边界条件与初始条件,1.,常见边界条件,(1),固体壁面,粘性流体：不滑移条件,(,图,a),无粘性流体：法向速度连续,(,图,b),v,=,v,固,v,n,=,v,n,固,(2),外流无穷远条件,v,=,v,，,p,=,p,B3.5,边界条件与初始条件,(2-1),B3.5 边界条件与初始条件 1.常见边界条件(1)固体壁面,22,(3),内流出入口条件,v,=v,in,(out),，,p,=p,in(out),(4),自由面条件,2.,初始条件,定常流时无初始条件,不定常流时给出某时刻的参数值：,v,(,t,0,),p,(,t,0,),(,t,0,),等,B3.5,边界条件与初始条件,(2-2),(3)内流出入口条件v=vin(out)，p,23,例,B3.5.1A,沿斜坡的重力粘性层流,(3-1),已知：,不可压牛顿流体在重力作用下沿斜坡,(,),作定常层流流动，流层深,h,，自由面上为大气压（,p,0,）。,(a),求：,(1),速度分布,(2),压强分布,(3),切应力分布,(4),流量,解,：,在图示坐标系中连续性方程和,N,S,方程,为,(b),(c),例B3.5.1A 沿斜坡的重力粘性层流(3-1)已知：不,24,例,B3.5.1A,沿斜坡的重力粘性层流,(3-2),因,v,0,，由（,a,）式,由（,c,）式,由边界条件,(1):,y=h,p=0,C,(,x,),=,压强分布为,且,，由,(,b,),式,积分两次,例B3.5.1A 沿斜坡的重力粘性层流(3-2)因v0,25,流量,速度分布为,讨论：,压强和切应力为线性分布，速度分布为,y,的二次函数，流量为,h,的三次函数。,切应力分布,例,B3.5.1A,沿斜坡的重力粘性层流,(3-3),由边界条件,(2):,y=,0,u=,0,可得,C,2,=,0,由边界条件,(3):,y=b,流量 速度分布为讨论：压强和切应力为线性分布，速度分布为y的,26,B3.6,压强场,由,N,S,方程,粘性流动,绝对平衡,相对平衡,无粘性流动,B3.6,压强场,B3.6压强场 由NS方程粘性流动绝对平衡相对平衡无粘,27,B3.6.1,静止重力流体中的压强分布,均质静止流体,=,常数，,u,v,w,0,在重力场中,上式说明：,z,方向压强梯度由单位体积流体的重力决定。,积分可得,B3.6.1,静止重力流体中的压强分布,(3-1),1.,压强分布一般表达式,由,N-S,方程可得,B3.6.1 静止重力流体中的压强分布 均质静止流体,28,B3.6.1,静止重力流体中的压强分布,(3-2),2.,具有自由液面的重力液体,压强公式,为自由面上的压强，,h,为,淹深,(1),在垂直方向压强与淹深成线性关系,(2),在水平方向压强保持常数,B3.6.1 静止重力流体中的压强分布(3-2)2.具有自由,29,B3.6.1,静止重力流体中的压强分布,(3-3),3.,等压面,在连通的同种流体中的等压强面称为,等压面,。,在静止重力流体中的等压面为水平面,h,常数,右图中,3,3,为等压面,非等压面,1,1,为不连通液体,2,2,为不同液体,B3.6.1 静止重力流体中的压强分布(3-3)3.等压面在,30,例,B3.6.1,静压强分布图,例B3.6.1 静压强分布图,31,B3.6.2,压强计示方式与单位,压强计示方式,习惯上取,压强基准,真空度,完全真空,绝对压强,表压强,大气压强,B3.6.2,压强计算方法与单位,(2-1),由压强公式,p,0,提供压强基准,B3.6.2 压强计示方式与单位压强计示方式习惯上取压强基准,32,B3.6.2,压强计算方法与单位,(2-2),2.,压强单位,标准大气压,atm,(,标准国际大气模型,),液柱高：,国际单位制（,SI,）：帕斯卡,P,a,毫米汞柱,mmHg,（血压计）,米水柱,mH,2,O,（水头高）,测压管高度,h=p,A,/,g,B3.6.2 压强计算方法与单位(2-2)2.压强单位标,33,例,B3.6.2,单管测压计（,2,1,）,已知：,图示密封容器中液