,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,函数的性质,-,对称性、周期性,函数的性质,(1),若 关于直线 对称,一、函数的对称性,若函数 上任意一点关于某直线（或某点）的对称点仍在 上，就称 关于某直线（或某点）对称，这种对称性称为,自对称,。,(2),若 关于点 对称,两个恒等式的形式均不唯一，要记住本质构造,.,(1)若 关于直线 对称一、函数的对称性,定理：若函数 满足 ，那么函数以 为对称轴。,cor.,若函数 满足 ，那么函数以 为对称轴。,即：,Y,X,O,A,B,X=a,定理：若函数 满足,定理：若函数 满足 ，那么函数关于点,对称。,cor.,若函数 满足 ，那么函数关于点 对称。,即：,Y,X,O,A,B,(a,0),定理：若函数 满足,2),若,则函数 关于,_,对称,;,注：,1.,当 时,函数关于直线 对称,2.,当 时,函数关于点 对称,偶函数,-,特殊的轴对称函数,奇函数,-,特殊的点对称函数,一般地,1),若,则函数 关于,对称,.,2)若 ,则函数,y=f(x),对称源,性质,点,(0,0),y,轴,y=x,x=m,点,(m,n),f(-x)=-f(x),f(-x)=f(x),f(x)=f,-1,(x),f(x)=f(2m-x),f(x)=2n-f(2m-x),Ex:,若函数,12,y=f(x)对称源性质点(0,0)y轴y=xx=m点(m,n,关于,x=0,对称,例,1,：已知 的图象,画出 和 的图象，并指出两者的关系。,(-1,0),(1,0),若函数 上任意一点关于某直线（或某点）的对称点在 上，就称 和 关于某直线（或某点）对称，这种对称性称为,互对称。,关于x=0对称例1：已知 的图象,画出,一般地,函数 和 关于,_,对称,.,记忆：令,x+a=-x+b,，可求得对称轴,.,变化前,对称源,变化后,y=f(x),点,(0,0),x,轴,y,轴,y=x,y=-x,直线,x=m,直线,y=n,点,(m,n),y=-f(-x),y=-f(x),y=f(-x),y=f,-1,(x),y=-f,-1,(-x),y=f(2m-x),y=2n-f(x),y=2n-f(2m-x),一般地,函数 和,例,3,：设 的图象与 的图象关,于直线 对称，求 的解析式。,例,2:,将函数 右移,2,个单位得到图像,C,1,，有,C,1,和,C,2,的图像关于点 对称，求,C,2,的函数解析式。,利用对称性求解析式,（,一）、互对称问题常用轨迹代入法求解析式,例3：设 的图象与 的图,例,4,：设 图象关于直线 对称,在 上，求当 时 的解析式。,例,5,：设 是定义在,R,上的偶函数，它的图,象关于直线 对称，已知 时,函数,求当 时 的解析式,(,二,),、自对称问题常联系恒等式进行,x,的变换,例4：设 图象关于直线 对称,在,关于直线 对称,关于直线 对称,关于 对称,关于点 对称,常见函数的对称性,一个函数本身的对称性称为自对称,分成 关于某直线对称或某点对称,.,原点,关于直线 对称关于直线 对称关于,二、函数的周期性,理解,（,1,）,.,是否所有周期函数都有最小正周期？,1.,定义,:,对于函数 ，若存在非零常数,T,，使得 恒成立，则称 为周期函数，,T,是函数的一个周期。若所有周期中存在一个最小正数，则称它是函数的最小正周期。,(,2).,若,T,是 的一个周期，则,kT,（,k,是非零整数）均是 的周期吗？,(3),周期函数的定义域,D,可以为闭区间吗？,T=(a-b),思考：若,函数 具有什么性质？,二、函数的周期性理解（1）.是否所有周期函数都有最小正周期,函数的周期性和对称性课件,注：除了定义式是充要条件外，其余均为充分非必要条件,2,、常见的判断周期的恒等式,(,可用递推法证明,),注：除了定义式是充要条件外，其余均为充分非必要条件2、常见的,3.,函数的对称性与周期性的几个常见性质,。,性质,1.,若函数 以 为对称轴，那么此函数是周期函数，周期,T=,X=a,X=b,3.函数的对称性与周期性的几个常见性质。X=aX=b,性质,2,.,若函数 以 为对称点，那么此函数是周期函数，周期,T=,假定,(a,0),(b,0),性质2.若函数 以,性质,3,.,若函数 以 为对称点，以 为对称轴，那么此函数是周期函数，周期,T=,假定,X=b,(a,0),X,Y,O,性质3.若函数 以 为对称点，,函数的周期性和对称性课件,函数的周期性和对称性课件,函数的周期性和对称性课件,函数的周期性和对称性课件,函数的周期性和对称性课件,函数的周期性和对称性课件,函数的周期性和对称性课件,函数的周期性和对称性课件,函数的周期性和对称性课件,练习,1:,定义在,R,上的函数 满足,且方程 有,1001,个根，则这,1001,个根的和？,4:,如果 那么,3,：如果 那么,2:,函数 图象关于点 对称，则,练习1:定义在R上的函数 满足4:如果,5:(1),定义在,R,上偶函数 满足 则方程 在区间 上至少有,(),个根。,(2),将上题中的,“,偶函数,”,改成,“,奇函数,”,，其余条件不变，则在区间 至少有,(),个根。,6,：定义在,R,上函数 满足条件,:,不是 常值函数；则下列命题中正确的是,(),A.,是周期函数,B.,关于 对称,C.,关于,y,轴对称,D.,关于原点中心对称,重要结论：若 奇，且周期为,T,，则必有,注：可用模拟图，直观明了,5:(1)定义在R上偶函数 满足,思考：若 周期为 ，又 关于,对称，能否推出 是偶函数？若能，,能否严格证明？,练习,:,1.,若 为定义在,R,上的奇函数，且关于直线 对称，问：是否为周期函数？若是，求出它的一个周期。,2.,若 为定义在,R,上偶函数且满足,问：是否关于直线,对称？若是，请给出证明。,3,：设奇函数 ，且,当 则,思考：若 周期为 ，,函数的周期性和对称性课件,5,：设 是定义在,R,上的偶函数，它的图象关于直线 对称，已知 时,函数 求当 时 的解析式。,6,：函数 是定义在,R,上的偶函数，且对任意的实数,x,，都有 成立，若当 时，,(1),求 时，函数 的表达式；,(2),求当 函数 的表达式；,(3),若函数 的最大值为 解关于,x,不等式,5：设 是定义在R上的偶函数，它的图象关于直线 对,函数的周期性和对称性课件,