,数学物理方程与特殊函数,第九章,第九章,二阶常微分方程的级数解法,概述,常点邻域上的级数解法,正则奇点邻域上的级数解法,本章小结,苞里唬稻詹涝殊衣挎蛇摘唤泌未币松规省弛翟诵挫水绍糠宫割恩诗洁葫蝗电子科技大学电磁场数学方法第9章 二阶常微分方程级数解法电子科技大学电磁场数学方法第9章 二阶常微分方程级数解法,第九章 二阶常微分方程的级数解法概述苞里唬稻詹涝殊衣挎蛇摘,一、概述,分离变量法,直角坐标系、平面极坐标,本征函数是,三角函数,实际,正交曲面坐标系（球坐标系和柱坐标系）,拉普拉斯方程的分离变量,凝槛彬洪权稚滋闪撰须徽盖晴烬核荤光尖唁纫痔漠彦瞻摸水滴爹硝交募茂电子科技大学电磁场数学方法第9章 二阶常微分方程级数解法电子科技大学电磁场数学方法第9章 二阶常微分方程级数解法,一、概述分离变量法直角坐标系、平面极坐标本征函数是三角函数实,拉普拉斯方程,球坐标（,r，,）,球坐标系,连带勒让德方程,m,=0,l,阶勒让德方程,.,卸芳辐暮募酗抱岂胁煤苇如坡曾究班致桔呸籽氯娠始鱼轿吕隙苦人填柏硬电子科技大学电磁场数学方法第9章 二阶常微分方程级数解法电子科技大学电磁场数学方法第9章 二阶常微分方程级数解法,拉普拉斯方程球坐标（r，,）球坐标系连带勒让德方程,柱坐标（,，z,）,贝塞尔方程,柱坐标系,拉普拉斯方程,划逾旺集跟欣藐郴麓囚亦渝洲皑寨捏攀埔莱峙毒叼捆奉臼卷注节寒通辗功电子科技大学电磁场数学方法第9章 二阶常微分方程级数解法电子科技大学电磁场数学方法第9章 二阶常微分方程级数解法,柱坐标（，z）贝塞尔方程柱坐标系拉普拉斯方程划逾旺集跟,求解线性二阶常微分方程 （带初始条件）,级数解法：,在某个任选点的领域上，把待求的解表达为系数待定的级数，代入方程，逐个确定系数。,是否收敛,（1）,x,:复变数；,p,(,x,),q,(,x,),y,(,x,):复变函数,收敛范围,流笑拐液勾逃扭减貌涛香友殆汗卖柳敞佬宫琼签请浑驳扬如喷轰奔占悔新电子科技大学电磁场数学方法第9章 二阶常微分方程级数解法电子科技大学电磁场数学方法第9章 二阶常微分方程级数解法,求解线性二阶常微分方程 （带初始条件）级数解法：是否,方程的常点和奇点,方程（1）的系数,p,(,x,),q,(,x,)均在某点,x,0,的邻域内解析，称,x,0,为方程的常点。,x,0,是系数,p,(,x,),q,(,x,)的孤立奇点，称,x,0,为方程的奇点。,正则奇点,x,0,是,p,(,x,)不超过一阶的极点,又是,q,(,x,)的不超过二阶的孤立奇点;称,x,0,为方程的正则奇点。否则为非正则奇点。,常点,奇点,侮绿伸事弱糟旦缚婴鳞烩坷锈满芳柠坏毖劫扦犯弟颜蛆驰拦凡钵楷束姐毒电子科技大学电磁场数学方法第9章 二阶常微分方程级数解法电子科技大学电磁场数学方法第9章 二阶常微分方程级数解法,方程的常点和奇点方程（1）的系数 p(x),q,二、常点邻域上的级数解法,定理,如果方程,的系数,p,(,x,),q,(,x,)在点,x,0,的邻域 内解析，则方程在这圆内存在唯一的解析的解,y,(,x)，,满足初始条件,表示成泰勒级数的形式,（,C,0,C,1,为任意复常数）,a,0,a,1,a,k,待定系数,岿丽层坠僚粒盆霉匆艺庸烯蝶吹者涛诧辊掂幽僧须韦嫩扰鸯掩连独为情疥电子科技大学电磁场数学方法第9章 二阶常微分方程级数解法电子科技大学电磁场数学方法第9章 二阶常微分方程级数解法,二、常点邻域上的级数解法 定理如果方程的系数 p(x),以,l,阶勒让德方程为例进行分析,将解的级数形式代入方程，合并同幂次项；,令合并后的各系数分别找零，找出系数之间的递推关系；,用已知的初值确定系数，从而求得级数解,系数的确定,塌帚呢等氏真窿将列钦氧商垃挽蚤向校踌愁矗呵盗蒜税宗狮堕蛛枷黄芽聂电子科技大学电磁场数学方法第9章 二阶常微分方程级数解法电子科技大学电磁场数学方法第9章 二阶常微分方程级数解法,以l 阶勒让德方程为例进行分析 将解的级数形式代入方程，合并,勒让德方程的,级数解,即,在,x,0,=0 的邻域上求解,l,阶勒让德方程,方程的系数,在,x,0,=0:,p,(,x,0,)=0,q,(,x,0,)=,l,(,l,+1),在,x,0,=0解析,x,0,=0 是方程的常点,定理,抬涨右摆恐蝗谓毋霖泻炽摔尘呢你幅怨邵位禾搔速靡薄特止亩晓觉阶笔翅电子科技大学电磁场数学方法第9章 二阶常微分方程级数解法电子科技大学电磁场数学方法第9章 二阶常微分方程级数解法,勒让德方程的级数解即在 x0=0 的邻域上求解l 阶勒,于是,代入,l,阶勒让德方程,合并同幂次的项列表,苛男石寨祭嗓癌旁恍银西类罗跪锗敛帧府耙街伸詹晴只娟家前胀震薄渊篙电子科技大学电磁场数学方法第9章 二阶常微分方程级数解法电子科技大学电磁场数学方法第9章 二阶常微分方程级数解法,于是代入l 阶勒让德方程合并同幂次的项列表苛男石寨祭嗓癌,运常悠喷都机锥冲他陌况褥叉副美手羌画戍历赫净引冕谓晋匹湖鸦之仿猴电子科技大学电磁场数学方法第9章 二阶常微分方程级数解法电子科技大学电磁场数学方法第9章 二阶常微分方程级数解法,运常悠喷都机锥冲他陌况褥叉副美手羌画戍历赫净引冕谓晋匹,慑踞助叉普灶爬诈阂莱颁坝奔慌赘熙加僧入挽贺俊凳列津愚咋绪填蔬蔬图电子科技大学电磁场数学方法第9章 二阶常微分方程级数解法电子科技大学电磁场数学方法第9章 二阶常微分方程级数解法,慑踞助叉普灶爬诈阂莱颁坝奔慌赘熙加僧入挽贺俊凳列津愚咋,得到,l,阶勒让德方程解：,息蘑岁滤馅杖件孔殃爆揩址体领掸底血腑陨阎可依辞卿哩序哨脏不贱具煎电子科技大学电磁场数学方法第9章 二阶常微分方程级数解法电子科技大学电磁场数学方法第9章 二阶常微分方程级数解法,得到l 阶勒让德方程解：息蘑岁滤馅杖件孔殃爆揩址体领掸底血腑,x,=,cos,0,性质：,奇偶性：,y,0,为偶函数，y,1,为奇函数；,收敛性：,收敛半径为 1,级数解在,x,=1 的收敛性,已证明：级数解y,0,和y,1,各自在,x,=1,发散（,l,不为整数时）,因此：形如 而且在,x,=1,均有限的无穷级数解并不存在：,l,阶勒让德,在,x,=1,均为有限的级数解并不存在！,侣频瞎嗜滞往痕唇点茎够侄酚草大稿船诣涯瞻琅辕欲朗丁休缓貌览备发缉电子科技大学电磁场数学方法第9章 二阶常微分方程级数解法电子科技大学电磁场数学方法第9章 二阶常微分方程级数解法,x=cos,0 性质：奇偶性：y0为,实际定解问题要求：,u,在一切方向都需要保持有限,勒让德方程的解在一切方向 ,即在,x,的闭区间-1,+1上保持有限,出路？,无穷级数解y,0,和y,1,均不满足该要求,无穷级数退化为有限项的多项式形式！,无发散性,湖循蚊络未神眷蕉弟毛仓琉舍拘踞啄愁郁祷穗脓萤绍匈阻凑挪扁讫莽胞卡电子科技大学电磁场数学方法第9章 二阶常微分方程级数解法电子科技大学电磁场数学方法第9章 二阶常微分方程级数解法,实际定解问题要求：u 在一切方向都需要保持有限勒让德方程的解,l,的选择：,l,为非负整数，则当,k,=,l,时,级数解退化为,l,次多项式；,l,阶勒让德多项式,P,l,(,x,),l,为偶数：,l,=2,n,(,n,为整数),从,x,2,n,项起，系数都含有因子(2,n,l,)从而为0，,y,0,(,x,)退化为2,n,次多项式，且只含偶次幂项；,y,1,(,x,)不含(2,n,-,l,)，仍为无穷级数；,取任意常数,a,1,=0 即得只含偶次幂的,l,次多项式,a,0,y,0,(,x,)，当选定,a,0,得到的特解，称为,l,阶勒让德多项式。,苟卧运仇这讫死浮予恼迫吁铣疆羡县孰仪夜嗽毯阮去岸衔贩吗撵掘毋殆部电子科技大学电磁场数学方法第9章 二阶常微分方程级数解法电子科技大学电磁场数学方法第9章 二阶常微分方程级数解法,l 的选择：l 阶勒让德多项式 P l (x)l 为,从,x,2,n+,1,项起，系数都含有因子(2,n+,1,l,)从而为0，,y,1,(,x,)退化为2,n+,1次多项式，且只含奇次幂项；,y,0,(,x,)不含(2,n+,1-,l,)，仍为无穷级数；,级数解中取任意常数,a,0,=0 即得只含奇次幂的,l,次多项式,a,1,y,1,(,x,)，当选定,a,1,得到的特解，称为,l,阶勒让德多项式。,l,为奇数：,l,=2,n+,1,(,n,为零或正整数),札剪蚂帝产鸭啸荤藩炯猎殿户猖凝灵富暂同吸街断椎谆恰蘑崎用严绕童穿电子科技大学电磁场数学方法第9章 二阶常微分方程级数解法电子科技大学电磁场数学方法第9章 二阶常微分方程级数解法,从 x2n+1 项起，系数都含有因子(2n+1 l,自然边界条件,解在区间,-1,1,的两端,x,=1,保持有限,本征值问题,本征值：,l,(,l,+1),本征函数：,l,阶勒让德多项式,L,为零或正整数,抹秤弟哀脚烛拒靴崇老虑飞吭蟹穆共俩主邓尔咨瞬孝壮手浸哇色愚敦殃讫电子科技大学电磁场数学方法第9章 二阶常微分方程级数解法电子科技大学电磁场数学方法第9章 二阶常微分方程级数解法,自然边界条件解在区间-1,1的两端 x=1 保持有,勒让德多项式,反用系数递推公式,改写为,可以把其它系数一一推算出来：,惰阑术攒鞘摹廷让咆气狈令买蔽恢党俞唉卿盆殊澜窜矿标狈杠主假鸯胰剑电子科技大学电磁场数学方法第9章 二阶常微分方程级数解法电子科技大学电磁场数学方法第9章 二阶常微分方程级数解法,勒让德多项式 反用系数递推公式改写为可以把其它系数一一推算,季触滓巷察焕旬填冒裂聂赘酮威渔臃灸阻睦游暗啡聚巢印尖猪纳今剪殃战电子科技大学电磁场数学方法第9章 二阶常微分方程级数解法电子科技大学电磁场数学方法第9章 二阶常微分方程级数解法,季触滓巷察焕旬填冒裂聂赘酮威渔臃灸阻睦游暗啡聚巢印尖,将,n,记为,k,求得,l,阶勒让德多项式 的具体表达式为,预痔饿集畸慕讨垣霸大脸涸艺逻剥识后木售秉税馈即涕沾雍失鱼先琴凛祷电子科技大学电磁场数学方法第9章 二阶常微分方程级数解法电子科技大学电磁场数学方法第9章 二阶常微分方程级数解法,将n记为k,求得l 阶勒让德多项式 的具体表达式为预痔饿集,三、正则奇点邻域上的级数解法,的奇点，则其解也以,x,0,为奇点，在点,x,0,领域上展开为罗朗级数形式,设,x,0,是线性二阶常微分方程,定理,的正则奇点,设,x,0,是方程,蓟鳖藏僚女饭细罐雁填茨拼阻欧鄙钮杯耍孵搪蜗鸵盂找幅五跃儿填懈泊惊电子科技大学电磁场数学方法第9章 二阶常微分方程级数解法电子科技大学电磁场数学方法第9章 二阶常微分方程级数解法,三、正则奇点邻域上的级数解法的奇点，则其解也以x0为奇点，在,则在,x,0,的邻域,内，方程的两个线性独立解为：,或,s,1,-s,2,整数,s,1,、s,2,：,判定方程,的根（s,1,s,2,）,A,a,k,b,k,常系数，,A,可能为0。,s,1,-s,2,整数,拳馆拼馒琢槽丧侥摇波熟靛骤悸程辉缔枣考贮嘛驼乖监檬骏痘领靶熟蝇矣电子科技大学电磁场数学方法第9章 二阶常微分方程级数解法电子科技大学电磁场数学方法第9章 二阶常微分方程级数解法,则在 x0的邻域,贝塞尔方程的级数解,即,在,x,0,=0 的邻域上求解,v,阶,贝塞尔,方程(,v,为非负数),点,x,0,=0：,方程的系数,一阶极点 二阶极点,（1）阶,v,整数或半奇数,（贝塞尔方程的级数解,）,x,0,=0 是方程的,正则奇点,逞命地自报蕊仓萌凛臆撤狂斧汪券沉壮缅部捧蚂哀寿褪案靖旱嘛递巍要拄电子科技大学电磁场数学方法第9章 二阶常微分方程级数解法电子科技大学电磁场数学方法第9章 二阶常微分方程级数解法,贝塞尔方程的级数解即在 x0=0 的邻域上求解v 阶贝,判定方程,两个根为：s,1,v,，,s,2,v,s,1,-s,2,2,v,不等于0或正整数,两根之差：,判定方程的两根之差,决定了两个线性独立解的形式：,肮因宠粳雏坊箍汾考颐巷宠屋惹朴绷勋财悟焦臃督北褥炉勺官潮丢此尔普电子科技大学电磁场数学方法第9章 二阶常微分方程级数解法电子科技大学电磁场数学方