单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,4,月调考复习,圆的证明与计算系列之一,弧中点的运用,主要将圆与相似，与全等，与勾股定理相结合，有时融入三角函数，也主要是提供边的比例，为相似提供条件。,一、,近三年,4,月调考与中考,22,题,都是怎么考的呢？,1,、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；,相关结论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧,二、由弧中点你想到了些什么呢？,2,、同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的弦相等，所对的圆心角等，从而所对的圆周角也相等。,三、探究性质：,例题：已知：,AB,是,O,的直径，,AC,是,O,的弦，,D,为弧,BC,的中点；,（,1,）如图,1,，过点,D,作,O,的切线交,AC,的延长线于点,E.,DE,与,AE,有何位置关系？证明你的结论,.,DE,与,BC,有何关系？证明你的结论,.,求证：,2AE=AC+AB.,求证：,.,连接,CD,，,EDC,与,DAB,相似吗？为什么？,分析：,DE,与,AE,有何位置关系？,DE,与,BC,有何关系？,求证：,2AE=AC+AB.,分析：要证明,2AE=AC+AB,，等价于,AE-AC=AB-AE,即要证明：,EC=AB-AE,连接,CD,，,BD,求证：,2AE=AC+AB.,分析：要证明,2AE=AC+AB,，等价于,AB,是直径，由 想到半径；,AC,是弦，由 想到垂径定理；,故过,O,做于于,此时，；,故只要证明半径即可；,连接,显然，四边形为矩形，所以，得证。,连接,BD,，求证：,.,分析：要证明,等价于证明,显然，只需要证明,故连接，,得证。,连接,CD,，,EDC,与,DAB,相似吗？,分析：在第个结论中我们证明了,另一方面，,连接,CD,，,EDC,与,DAB,相似吗？,当然，直接证明，也可以；,（,2,）如图,2,，设切线,DE,交,AB,的延长线于,F,，连接,BD,并延长交,AE,的延长线于,M,，连,OD.,AB,与,AM,有何数量关系？为什么？,DM,与,DB,呢？,CE,与,ME,呢？,由,OD,AE,，可得,ODF,AEF,吗？,MDC,与,MAB,相似吗？,为什么？,AB,与,AM,有何数量关系？为什么？,DM,与,DB,呢？,CE,与,ME,呢？,分析：,1,猜想,AB=AM,，即要证,1=,2,；,而,2=,3,；,故需要证明,AM,OD,；,O,是圆心，也就是,AB,的中点，如果,D,是中点，由中位线,OD,即可，但,D,是不是中点不知道；,连接,CB,交,OD,于,H,；由垂径定理，易转化出,AM,OD,，得证；,DM,与,DB,呢？,CE,与,ME,呢？,2,有刚才的结论，,OD,为,BAM,的中位线，显然,DM=DB,3,猜想,CE=ME,分析：,DE,CM,，如果,CE=ME,，就需要,DM=CD,；,由,DM=DB,在,Rt,CMB,中，,CD=MD,，得证。,由,OD,AE,，可得,ODF,AEF,吗？,显然成立。,MDC,与,MAB,相似吗？,为什么？,1=,2,已证明；,DM=DC,，,1=,4,2=,4,，,1,公共；,MDC,MAB,（,AA,）。,小 结,以,弧中点,为突破口，将圆与,相似,，与,全等,，与,勾股定理,相结合，有时融入,三角函数,，也主要是提供边的比例，为相似提供条件。,二 拓展训练：已知：,AB,是,O,的直径，,AC,是,O,的弦，,D,为弧,BC,的中点；,1,、在图,1,中，,(1),已知,DE=3,，,CE=1,，,求,AB,的长,.,(2),已知：,AD=,BC=6,求,S,ABD,.,(3),已知,O,的半径为,5,，,AD=,，,求,CE,的长,.,2,、在图,2,中，,(1),已知,AE=9,EF=12,求,BC,的长,.,(2),设,AD,交,BC,于,N,，已知,AB=15,DF=10,求,CN,的长,.,(3),已知,DF=5,，,DE=3,，求,S,DEM,.,(4),已知,，求,O,的半径以及,EF,的长,.,祝大家在四月调考中考出,理想的成绩！,谢谢，再见！,