单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2020/9/14,#,2-7 圣维南原理,问题的提出：,P,P,P,求解弹性力学问题时，使应力分量、形变分量、位移分量完全满足8个基本方程相对容易，但要使边界条件完全满足，往往很困难。,如图所示，其力的作用点处的边界条件无法列写。,1.静力等效的概念,两个力系，若它们的主矢量、主矩相等，则两个力系为静力等效力系。,这种,等效,只是从平衡的观点而言的，对刚体来而言完全正确，但对变形体而言一般是不等效的。,2.,圣维南原理,(Saint-Venant Principle),原理,：,若把物体的,一小部分边界上的面力,，变换为分布不同但,静力等效的面力,，则,近处,的应力分布将有显著改变，而,远处所受的影响可忽略不计,。,P,P,P,P/,2,P/,2,3.,圣维南原理的应用,(1),对,复杂的力边界,，用静力等效的分布面力代替。,(2),有些,位移边界,不易满足时，也可用静力等效的分布面力代替。,注意事项,：,(1),必须满足,静力等效,条件；,(2),只能在,次要边界上,用圣维南原理，在,主要边界,上不能使用,。,如：,A,B,主要边界,P,次要边界,例,图示矩形截面水坝，其右侧受静水压力，顶部受集中力作用。试写出水坝的应力边界条件。,左侧面：,代入应力边界条件公式,右侧面：,代入应力边界条件公式，有,上端面：,为次要边界，可由圣维南原理求解。,y,方向力等效：,对,O,点的力矩等效：,x,方向力等效：,注意：,必须按正向假设！,x,y,上端面：,（方法2）,取图示微元体，,可见，与前面结果相同。,由微元体的平衡求得，,2-8,平面问题应力解法,上节回顾,应力解法,应力函数,上节回顾,基本方程,平衡方程,几何方程,物理方程,边界条件,位移边界,混合边界,应力边界,弹性力学问题的解,基本方程,1、平衡方程,2、几何方程,3、物理方程,应变协调方程,数学意义,：,几何方程3个应变分量通过2个位移分量描述,力学意义,变形连续,弹性体任意一点的变形必须受到其相邻单元体变形的约束,应变协调方程是变形连续的,必要和充分条件,。,例,设,e,x,=3,x,e,y,=2,y,g,xy,=,xy,e,z,=,g,xz,=,g,yz,=0,求其位移。,解,：,显然该应变分量没有对应的位移。,要使这一方程组不矛盾，则3个应变分量必须满足一定的条件。以下我们将着手建立这一条件。,要使几何方程求解位移时方程组不矛盾，则3个应变分量必须满足一定的条件,。,从几何方程中消去位移分量,，,第一式和第二式分别对,y,和,x,求二阶偏导数，然后相加,可得,变形协调方程的数学意义,使2个位移为未知函数的3个几何方程不相矛盾。,变形协调方程的物理意义,物体变形后每一单元体都发生形状改变，如变形不满足一定的关系，变形后的单元体将不能重新组合成连续体，其间将产生,缝隙,或,嵌入,现象。,为使,变形后的物体,保持,连续体,，应变分量必须满足一定的关系。,弹性力学求解方法,应力求解：,位移求解：,应力,应变,位移,几何方程,协调条件,物理方程,位移,应变,应力,物理方程,几何方程,应力解法,未知数3个,x,、,y,、,xy,，须联立平衡方程与变形协调条件，以平面应力问题为例，,将虎克定律代入应变协调条件得到：,移项，展开，化简后，最后可得,：,利用平衡方程式消去上式的,(1),(2),平面应力情形,控制方程,平面应变情形,控制方程,/1-,当体力为常力，则式（1）和式（2）可写成：,(3-a),或用拉普拉斯算子写成,：,（3-b),把平衡方程和应力表示的应变协调方程写在一起，有：,（4）,应力边界条件,（5）,弹性力学解,弹性力学问题解,充分且必要条件,弹性力学问题解答,式（4,）,式（5）,例 如图所示薄片，周边作用有法向均布荷载q,不计体力，试证明下列一组应力分量是本问题的解答。,o,y,q,A,解,分析：欲证明是否弹性力学解答，只需证明在,弹性体内部,满足式(4),在,应力边界,上能够满足式(5),将这组应力分量代入式（4），式（4)中三式恒满足,1）,代入应力边界条件，有,证毕,n,A,再考察边界条件，取边界上A点，有,2）,应力函数,（4）,(a),由第一式,引入函数A,使,(b),由第二式,引入函数B,使,(c),再引入函数,使,(d),（d）代入（b)、（c）式，得到：,(e),如果考察体积力，且体积力为常量时，满足平衡方程还必须加上一组特解，即,(f),最后得到构成满足满足平衡方程的通解为：,(6),式（6）等价于平衡方程，,称为,应力函数,将（6）式代入（4）的第三式,或写成,(7),应力函数表示的协调方程,双调和方程,小结：,应力函数解法,应力解法,应力边界条件,几点讨论,：,（1）,应力解答,x,、,y,、,xy,在体积力为常量时与材料性质无关。,光弹性实验的理论基础,研究大坝的应力分布常常用石膏材料或光学,性能好的环氧树脂，而不用混凝土材料,分析：,量纲,为N，在平面问题中，边界面力NL,-2,，集中力NL,-1,，弯矩N，,应力函数是对平面内某一点的,矩,。,（2）,应力函数物理意义,(3).,应力函数 求解方法,逆解法,半逆解法,1.,按位移求解平面问题的基本方程,（1）将平衡方程用位移表示,由应变表示的物理方程,（2-19）,2-9 按位移求解平面问题,将几何方程代入，有,将式(a)代入平衡方程，化简有,（2-20）,（a）,（2）将边界条件用位移表示,位移边界条件：,应力边界条件：,将式（a）代入，得,（2-21）,（2-17）,式（2-20）、（2-17）、（2-21）构成按位移求解问题的基本方程,说明：,（1）对平面应变问题，只需将式中的,E、,作相替换即可。,（2）一般不用于解析求解，作为数值求解的基本方程。,本 章 小 结,1.,两类平面问题：,平面应力问题；平面应变问题。,（两类平面问题中基本方程的异同）,2.,平面问题的基本方程,：,平衡方程、几何方程、物理方程、边界条件（位移、应力）。,（几何特点、受力特点、应力或应变特点）,应力函数表示的应力分量表达式：,常体力下的简化；,应力函数的求解方法：,（逆解法、半逆解法。）,3.,平面问题的求解,（1）,按位移求解平面问题,（2）,按应力求解平面问题,基本方程：,（1）用位移表示的平衡微分方程；,（2）用位移表示的应力边界条件；,（3）边界条件：应力、位移边界条件。,相容方程,（形变协调方程）：,（应变表示形式、应力表示形式、应力函数表示。）,（1）,(2-27),（2）,然后将 代入式（2-26）求出应力分量：,先由方程（2-27）求出应力函数：,(2-26),（3）,再让 满足应力边界条件和位移单值条件（多连体问题）。,按应力求解平面问题的基本步骤,：,4.,应力边界条件,的列写及圣维南原理的应用.,5.,任意斜面上应力、主应力、主方向；,例,下面给出平面应力问题（单连通域）的应力场和应变场，试分别判断它们是否为可能的应力场与应变场（不计体力）。,（1）,（2）,解,（a）,（b）,（1）,将式（a）代入平衡方程：,（2-2）,满足,将式（a）代入相容方程：,（2）,将式（b）代入应变表示的相容方程：,式（b）满足相容方程，（b）为可能的应变分量。,式（a）不是一组可能的应力场。,例,图示矩形截面悬臂梁，在自由端受集中力,P,作用，不计体力。试根据材料力学公式，写出弯曲应力 和剪应力 的表达式，并取挤压应力,=0,，然后说明这些表达式是否代表正确解。,解,材料力学解答：,式（a）满足,平衡方程,和,相容方程？,（a）,式（a）是否满足,边界条件？,代入,平衡微分方程：,显然，,平衡微分方程,满足。,式（a）满足相容方程。,再验证，式（a）是否满足边界条件？,满足,满足,近似满足,近似满足,结论：式（a）为正确解,代入相容方程,：,上、下侧边界：,右侧边界：,左侧边界：,（1）,（2）,下面给出平面应力问题（单连通域）的应力场和应变场，试分别判断它们是否为可能的应力场与应变场（不计体力）。,1.,2.,试用圣维南原理写出梁固定端的应力边界条件。,l,h,h,y,x,EX3,经常,不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有,力量,Study Constantly,And You Will Know Everything.The More You Know,The More Powerful You Will,Be,写,在最后,Thank,You,在别人的演说中思考,，,在自己的故事里成长,Thinking,In Other,PeopleS Speeches,，,Growing,Up In Your Own,Story,讲师,：,XXXXXX,XX,年,XX,月,XX,日,