,立德树人 和谐发展,5,.,1,.1,任意角,第五章 三角函数,5.1.1 任意角第五章 三角函数,1,什么是角？范围是多大？,定义：,有公共端点的两射线组成的几何图形叫角,.,顶点,边,边,角的范围：,0,360,初中定义,复习导入,什么是角？范围是多大？定义：有公共端点的两射线组成的几何图形,2,李小鹏跳,2002,年在匈牙利世锦赛上，李小鹏在跳马时做出的“踺子后手翻转体,180,度接直体前空翻转体,900,度”,.,获得“李小鹏跳”命名,.,情景导入,李小鹏跳2002年在匈牙利世锦赛上，李小鹏在跳马时做出的“踺,3,体操中有转体两周或转体两周半，如何度量这些角度呢？,情景导入,体操中有转体两周或转体两周半，如何度量这些角度呢？情景导入,4,经过,1,小时，秒针、分针各转了多少度？,情景导入,经过1小时，秒针、分针各转了多少度？情景导入,5,思考3：一般地，所有与角终边相同的角，连同角,角的范围：0360,2002年在匈牙利世锦赛上，李小鹏在跳马时做出的“踺子后手翻转体180度接直体前空翻转体900度”.,于是，终边在y轴上的角的集合,90角终边相同的角构成集合,【4】若是第二象限角，请确定 的终边所在的位置,思考3：一般地，所有与角终边相同的角，连同角,一般地，一条射线绕其端点旋转，既可以按逆时针方向旋转，也可以按顺时针方向旋转.,k360+45 k360+90,kZ,|k360+90k360+180，kZ,k360+90 k360+180,kZ,k=2n(nZ)时，,在齿轮传动中，被动轮与主动轮是按相反方向旋转的,.,一般地，一条射线绕其端点旋转，既可以按逆时针方向旋转，也可以按顺时针方向旋转,.,你认为将一条射线绕其端点按逆时针方向旋转,60,所形成的角，与按顺时针方向旋转,60,所形成的角是否相等？,情景导入,思考3：一般地，所有与角终边相同的角，连同角 在齿轮,6,想想用什么办法才能推广到任意角？,关键是用运动的观点来看待角的变化,.,这些例子不仅不在,0,360,范围内，而且有方向,如何解决这一问题,?,有必要将角的概念及范围推广,一、任意角的概念,探求新知,想想用什么办法才能推广到任意角？关键是用运动的观点来看待角的,7,平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形叫做角,.,1.,角的概念的推广,探求新知,平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置,8,2.,角的构成要素,始边,终边,顶点,A,B,O,方向,探求新知,2.角的构成要素始边终边顶点ABO方向探求新知,9,规定：,按逆时针方向旋转形成的角叫做,正角,；,按顺时针方向旋转形成的角叫做,负角,；,如果一条射线没有作任何旋转，则称它形成了一个,零角,.,这样，我们就把角的概念推广到了任意角,.,探求新知,规定：这样，我们就把角的概念推广到了任意角.探求新知,10,探求新知,探求新知,11,探求新知,探求新知,12,把射线,OA,绕端点,O,按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为,相,反数。,探求新知,把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为,13,x,o,y,二、象限角,x,思考,1,：,为了进一步研究角的需要，我们常在直角坐标系内讨论角，并使角的顶点与原点重合,角的始边与,x,轴的非负半轴重合，那么对一个任意角，角的终边可能落在哪些位置？,探求新知,xoy二、象限角x思考1：为了进一步研究角的需要，我们常在直,14,思考,2:,如果角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限，或称这个角为轴线角,.,那么下列各角：,-50,，,405,，,210,-200,，,-450,分别是第几象限的角？,450,探求新知,思考2:如果角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限的,15,-50,x,y,o,x,y,o,210,-450,x,y,o,405,x,y,o,-200,x,y,o,第四象限角,第一象限角,第三象限角,第二象限角,轴线角,探求新知,-50 xyoxyo210-450 xyo405xyo-,16,思考,3,：,第二象限的角一定比第一象限的角大吗？,象限角只能反映角的终边所在象限，不能反映角的大小,.,探求新知,思考3：第二象限的角一定比第一象限的角大吗？象限角只能反映,17,【,整理,】,各象限角的集合表示,|k,360,k,360,+90,，,k,Z,|k,360,+90,k,360,+180,，,k,Z,|k,360,+180,k,360,+270,，,k,Z,|k,360,+270,k,360,+360,，,k,Z,象限角总结,【整理】各象限角的集合表示|k360k360,18,三、终边相同的角,思考,1,：,-32,，,328,，,-392,是第几象限的角？,这些角有什么内在联系？,32,-392,x,y,o,328,探求新知,三、终边相同的角 思考1：-32，328，-392,19,这次我们直接运用图示的高阶方法，从 轴正半轴沿逆时针把每个象限平分成3部分，并且依次标上，则标的就是 所在的区域.,在0360范围来看，阴影部分的角的,轴正半轴沿逆时针把每个象限平分成2部分，并且依次标上，则标的就是 所在的区域.,那么下列各角：-50，405，210,-200，-450分别是第几象限的角？,【2】若是第二象限角，请确定2的终边所在的位置,有必要将角的概念及范围推广,|k360+180k360+270，kZ,轴正半轴沿逆时针把每个象限平分成2部分，并且依次标上，则标的就是 所在的区域.,k360+45 k360+90,kZ,【3】若是第二象限角，请确定 的终边所在的位置,这样，我们就把角的概念推广到了任意角.,|k360+210k360+285,kZ,思考：,所有与,-32,角终边相同的角，连同,-32,角在内，可构成一个集合,S,，你能用描述法表,示集合,S,吗？,探求新知,这次我们直接运用图示的高阶方法，从 轴正半轴沿逆时针,20,思考,3,：,一般地，所有与角,终边相同的角，连同角,在内所构成的集合,S,可以怎样表示？,S=|=,k,360,，,kZ,，,即任一与,终边相同的角，都可以表示成角,与整数个周角的和,.,探求新知,思考3：一般地，所有与角终边相同的角，连同角S=|=,21,【,整理,】,轴线角的集合表示,|,=k,360,，,k,Z,|,=k,360,+180,，,k,Z,|,=k,360,+90,，,k,Z,|,=k,360,+270,，,k,Z,|,=k,180,，,k,Z,|,=k,180,+90,，,k,Z,|,=k,90,，,k,Z,轴线角总结,【整理】轴线角的集合表示|=k360，kZ,22,例,1,在,0,360,范围内，找出与,-95012,角终边,相同的角，并判定它是第几象限角,.,探求新知,例1 在0360范围内，找出与-95012,23,思考,4,：,终边在,x,轴正半轴、负半轴，,y,轴正半轴、,负半轴上的角分别如何表示？,x,轴正半轴：,=k,360,，,kZ,；,x,轴负半轴：,=180,k,360,，,kZ,；,y,轴正半轴：,=90,k,360,，,kZ,；,y,轴负半轴：,=270,k,360,，,kZ.,探求新知,思考4：终边在x轴正半轴、负半轴，y轴正半轴、x轴正半轴,24,例,2,写出终边在,y,轴上的角的集合,.,解：,在,0,360,范围内，终边在,y,轴上的角有两,个，即,90,，,270,角（如图）,.,因此，所有与,90,角终边相同的角构成集合,S,1,=,|,=90+k,360.kZ.,而所有与,270,角终边相同的角构成集合,S,2,=,|,=270+k,360.kZ.,探求新知,例2 写出终边在y轴上的角的集合.解：在0360范围内,25,于是，终边在,y,轴上的角的集合,S=S,1,S,2,=,|,=90+2k,180,，,kZ,|,=90+180+2k,180,，,kZ,=,|,=90+2k,180,，,kZ,|,=90+,（,2k+1,）,180,，,kZ,=,|,=90+n,180,，,nZ,探求新知,于是，终边在y轴上的角的集合探求新知,26,例,3.,写出终边在直线,y=x,上的角的集合,S,，并把,S,中适合不等式,-360,720,的元素,写出来,.,【,解析,】,S=,|,=45,+k,180,k,Z.,S,中适合不等式,-360,720,的元素有：,-315,，,-135,45,225,405,585.,探求新知,例3.写出终边在直线y=x上的角的集合S，并把S中适合不等式,【1】,分别写出图中终边落在两个阴影部分的角,的集合,【,解,】,在,03600,范围来看，阴影部分的角,的,范围是,30,105,，所以在坐标系中角,的范围是,30,75,|k360+30,k360+105,k,Z,在,0360,范围来看，阴影部分的角,的,范围是,210,285,，所以在坐标系中角,的范围是,|k360+210,k360+285,k,Z,区域角,【1】分别写出图中终边落在两个阴影部分的角的集合【解】在,28,【2】若是第二象限角，请确定2的终边所在的位置,解：在0360范围内，终边在y轴上的角有两,角在内，可构成一个集合S，你能用描述法表,|k360+90k360+180，kZ,思考2:如果角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角；,k=2n(nZ)时，,k360+90 k360+180,kZ,例1 在0360范围内，找出与-95012角终边,k360+45 k360+90,kZ,S中适合不等式-360720的元素有：,|k360+90k360+180，kZ,思考：所有与-32角终边相同的角，连同-32,【2】,若,是第二象限角，请确定,2,的终边所在的位置,【,解,】,因为,是第二象限角，所以,k360+90,k360+180,k,Z,所以,2k360+180,2,2k360+360,k,Z,如图，即,2,的终边位于第三或者第四象限，或者位于,y,轴的,负半轴上,.,区域角,【2】若是第二象限角，请确定2的终边所在的位置【2】若,29,【3】,若,是第二象限角，请确定 的终边所在的位置,【,解,】,因为,是第二象限角，所以,k360+90,k360+180,k,Z,所以,k180+45,k180+90,k,Z,k=2n(n,Z),时，,k360+45,k360+90,k,Z,k=2n+1(n,Z),时，,k360+225,k360+270,k,Z,所以,的终边位于第一或者第三象限,.,也可以运用图示的高阶方法，从,轴正半轴沿逆时针把每个象限平分成,2,部分，并且依次标上，则标,的就是 所在的区域,.,区域角,【3】若是第二象限角，请确定 的终边所在的位置【解,30,【4】,若,是第二象限角，请确定 的终边所在的位置,【,解,】,这次我们直接运用图示的高阶方法，从,轴正半轴沿逆时针把每个象限平分成,3,部分，并且依次标上，则标,的就是 所在的区域,.,区域角,【4】若是第二象限角，请确定 的终边所在的位置【解,31,2.,角的分类：正角、零角、负角；,1.,角的定义；,3.,象限角；,4.,终边相同的角的表示法,课堂小结,2.角的分类：正角、零角、负角；1.角的定义；3.象限,32,课后作业,作业本,B,1,、,课本,P175,第,1,2,题,2,、金版,P112-P113,课后作业作业本B,33,