单击此处编辑母版标题样式,*,*,返回,上页,下页,目录,第二节 数项级数收敛性判别法,第七章,（,Interrogate of constant term series）,一、正项级数及其审敛法,二、交错级数及其审敛法,三、绝对收敛与条件收敛,四、小结与思考练习,11/15/2024,1,第二节 数项级数收敛性判别法 第七章（Interrog,一、正项级数及其审敛法,若,定理 1,正项级数,收敛,部分和序列,有界.,若,收敛,部分和数列,有界,故,从而,又已知,故有界.,则称,为,正项级数,.,单调递增,收敛,也收敛.,证:“”,“”,(Interrogate of positive term series),11/15/2024,2,一、正项级数及其审敛法若定理 1 正项级数收敛部分和序列有,11/15/2024,3,10/9/20233,证,根据比较审敛法可知所给级数也是收敛的,11/15/2024,4,证 根据比较审敛法可知所给级数也是收敛的 10/9/202,(常数,p,0),的敛散性.,解:,1)若,因为对一切,而调和级数,由比较审敛法可知,p,级数,发散.,发散,例2,讨论,p,级数,11/15/2024,5,(常数 p 0)的敛散性.解:1)若因为对一切而,因为当,故,考虑强级数,的部分和,故强级数收敛,由比较审敛法知,p,级数收敛.,时,2)若,11/15/2024,6,因为当故考虑强级数的部分和故强级数收敛,由比较审敛法知,解,11/15/2024,7,解 10/9/20237,则有,两个级数同时收敛或发散;,(2)当,l,=,0,(3)当,l,=,设两正项级数,满足,(1)当 0,l,时,定理3,(比较审敛法的极限形式),11/15/2024,8,则有两个级数同时收敛或发散;(2)当 l=0(3),解,11/15/2024,9,解 10/9/20239,11/15/2024,10,10/9/202310,11/15/2024,11,10/9/202311,11/15/2024,12,10/9/202312,设,为正项级数,且,则,(1)当,(2)当,证:(1),收敛,时,级数收敛;,或,时,级数发散.,由比较审敛法可知,定理4,比值审敛法(D Alembert 判别法),11/15/2024,13,设 为正项级数,且则(1)当(2)当证:(1)收敛,因此,所以级数发散.,时,说明,:,当,时,级数可能收敛也可能发散.,例如,p,级数,但,级数收敛;,级数发散.,从而,(2)当,11/15/2024,14,因此所以级数发散.时说明:当时,级数可能收敛也可能发散.,11/15/2024,15,10/9/202315,11/15/2024,16,10/9/202316,对任意给定的正数,设,为正项级,则,证明提示:,即,分别利用上述不等式的左,右部分,可推出结论正确.,数,且,定理5,根值审敛法(Cauchy判别法),11/15/2024,17,对任意给定的正数 设 为正项级则证明提示:即分别利用上,时,级数可能收敛也可能发散.,例如,p,级数,但,级数收敛;,级数发散.,说明:,11/15/2024,18,时,级数可能收敛也可能发散.例如,p 级数 但,11/15/2024,19,10/9/202319,二、交错级数及其审敛法,则各项符号正负相间的级数,称为,交错级数,.,定理6,(,Leibnitz,判别法,),若交错级数满足条件:,则级数,收敛,且其和,其余项满足,(Interrogate of staggered series),11/15/2024,20,二、交错级数及其审敛法则各项符号正负相间的级数称为交错级数,证:,是单调递增有界数列,又,故级数收敛于,S,且,故,11/15/2024,21,证:是单调递增有界数列,又故级数收敛于S,且故10/9/,收敛,收敛,收敛,上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛?,发散,收敛,收敛,用,Leibnitz 判别法,判别下列级数的敛散性:,11/15/2024,22,收敛收敛收敛上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛?发散,三、绝对收敛与条件收敛,定义,对任意项级数,若,若原级数收敛,但取绝对值以后的级数发散,则称原级,收敛,数,为条件收敛.,均为绝对收敛.,例如：,绝对收敛,；,则称原级,数,条件收敛,.,(Absolute convergence and conditional convergence),11/15/2024,23,三、绝对收敛与条件收敛定义 对任意项级数若若原级数收敛,证:,设,根据比较审敛法,显然,收敛,收敛,也收敛,且,收敛,令,定理7,绝对收敛的级数一定收敛.,11/15/2024,24,证:设根据比较审敛法显然收敛,收敛也收敛且收敛,令定理,证:(1),而,收敛,收敛,因此,绝对收敛.,例11,证明下列级数绝对收敛,:,（补充题）,11/15/2024,25,证:(1)而收敛,收敛因此绝对收敛.例11 证明下,(2),令,因此,收敛,绝对收敛.,11/15/2024,26,(2)令因此收敛,绝对收敛.10/9/202326,11/15/2024,27,10/9/202327,其和分别为,*,定理8,绝对收敛级数不因改变项的位置而改变其和.,*,定理9,(绝对收敛级数的乘法),则对所有乘积,按任意顺序排列得到的级数,也绝对收敛,设级数,与,都绝对收敛,其和为,绝对收敛级数与条件收敛级数具有完全不同的性质.,说明:,条件收敛级数不具有这两条性质.,11/15/2024,28,其和分别为*定理8 绝对收敛级数不因改变项的位置而改变,内容小结,1.利用部分和数列的极限判别级数的敛散性,2.利用正项级数审敛法,必要条件,不满足,发 散,满足,比值审敛法,根值审敛法,收 敛,发 散,不定,比较审敛法,用它法判别,积分判别法,部分和极限,11/15/2024,29,内容小结1.利用部分和数列的极限判别级数的敛散性2.利用,为收敛级数,Leibniz,判别法:,则交错级数,收敛,概念:,绝对收敛,条件收敛,3.任意项级数审敛法,11/15/2024,30,为收敛级数Leibniz判别法:则交错级数收敛概念:绝对收敛,课外练习,习题72 1-8,思考练习,1、,设正项级数,收敛,能否推出,收敛?,提示:,由,比较判敛法,可知,收敛.,注意:,反之不成立.,例如,收敛,发散.,11/15/2024,31,课外练习习题72 1-8思考练习1、设正项级数收,则级数,(,A,)发散;(,B,)绝对收敛;,(,C,)条件收敛;(,D,)收敛性根据条件不能确定.,分析:,(,B,)错;,又,C,2.,11/15/2024,32,则级数(A)发散;(B)绝对收,