,-,#,-,4.2.3,对数函数的性质与图像,课前篇自主预习,课堂篇探究学习,4,.,2,.,3,对数函数的性质与图像,4.2.3对数函数的性质与图像,【新教材】新人教B版-高中数学必修第二册-4,一,二,一、对数函数的定义,1,.,指数式,a,b,=N,如何化为对数式,?,提示,:,根据指数式与对数式的互化关系可知,log,a,N=b.,2,.,在,log,a,N=b,(,a,0,且,a,1),这一关系式中,若把,N,看成自变量,b,看成函数值,你能得到一个具有什么特征的函数,?,提示,:,可以得到函数,y=,log,a,x,(,a,0,且,a,1),此类函数的特征是以真数作为自变量,对数值作为函数值,.,这类函数就是本节将要研究的对数函数,.,3,.,填空,.,一般地,函数,y=,log,a,x,(,a,0,a,1),称为对数函数,.,一二一、对数函数的定义,一,二,二、对数函数,y=,log,a,x,(,a,0,a,1,x,0),的图像与性质,1,.,利用描点法作出函数,y=,log,2,x,与函数,y=,log,3,x,的图像,进而研究一下函数,y=,log,a,x,(,a,0,a,1,x,0),的底数变化对图像位置有何影响,.,一二二、对数函数y=logax(a0,a1,x0)的图,一,二,提示,:,在同一平面直角坐标系中,分别作出函数,y=,log,2,x,及,y=,log,3,x,的,图像,如图所示,可以看出,:,底数越大,图像,越,靠近,x,轴,.,同理,当,0,a,0,且,a,1),是对数函数,.,(,),(2),函数,y=,log,2,x,是非奇非偶函数,.,(,),(3),函数,y=,log,a,x,(,a,0,且,a,1),的,图像,均,在,x,轴上方,.,(,),(4),y-,4,=,log,m,(,x+,9)(,m,0,且,m,1),的,图像,恒,过定点,(,-,8,4),.,(,),(5),当,0,a,1,时,y=,log,a,x,为,R,上的增函数,.,(6),因为,x,2,+,1,0,恒成立,所以,y=,log,5,(,x,2,+,1),的值域为,R,.,(,),答案,:,(1),(2),(3),(4),(5),(6),4.做一做:,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,求对数函数的,定义域,答案,:,(1)A,(2)(1,+,),当堂检测,探究一探究二探究三探究四思维辨析求对数函数的定义域 答案:(,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,反思感悟,求对数函数定义域的,步骤,当堂检测,探究一探究二探究三探究四思维辨析反思感悟求对数函数定义域的步,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,答案,:,C,当堂检测,探究一探究二探究三探究四思维辨析答案:C 当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,对数函数,的,图像,及,应用,例,2,作出,函数,f,(,x,),=|,lo g,3,x,|,的,图像,并求出其值域、单调区间以及在区间,上的最大值,.,当堂检测,探究一探究二探究三探究四思维辨析对数函数的图像及应用当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,反思感悟,与对数函数有关的图像问题注意以下规律,:,(1),一般地,函数,y=-f,(,x,),与,y=f,(,x,),的图像关于,x,轴对称,函数,y=f,(,-x,),与,y=f,(,x,),的图像关于,y,轴对称,函数,y=-f,(,-x,),与,y=f,(,x,),的图像关于原点对称,.,利用上述关系,可以快速识别一些函数的图像,.,(2),与对数函数有关的一些对数型函数,如,y=,log,a,x+k,y=,log,a,|x|,y=|,log,a,x+k|,等,其图像可由,y=,log,a,x,的图像,通过平移变换、对称变换或翻折变换得到,.,当堂检测,探究一探究二探究三探究四思维辨析反思感悟与对数函数有关的图像,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,延伸探究,将以上例题中的函数改为,“,f,(,x,),=|,log,3,(,x+,1),|,”,再研究以下问题,.,(1),作出函数图像,并写出函数的值域及单调区间,;,(2),若方程,f,(,x,),=k,有两解,求实数,k,的取值范围,.,解,:,(1),函数,f,(,x,),=|,log,3,(,x+,1),|,的图像如图所示,.,由图像知,其值域为,0,+,),f,(,x,),在,(,-,1,0,上是减少的,在,0,+,),内是增加的,.,(2),由,(1),的图像知,当,k,0,时,方程,f,(,x,),=k,有两解,故,k,的取值范围是,(0,+,),.,当堂检测,探究一探究二探究三探究四思维辨析延伸探究将以上例题中的函数改,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,利用对数函数的性质比较大小,例,3,比较大小,:,(1)log,0,.,2,7,与,log,0,.,2,9;,(2)log,3,5,与,log,6,5;,(3)(lg,m,),1,.,9,与,(lg,m,),2,.,1,(,m,1);,(4)log,8,5,与,lg 4,.,当堂检测,探究一探究二探究三探究四思维辨析利用对数函数的性质比较大小当,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,解,:,(1)log,0,.,2,7,和,log,0,.,2,9,可看作是函数,y=,log,0,.,2,x,当,x=,7,和,x=,9,时对应的两个函数值,由,y=,log,0,.,2,x,在,(0,+,),上是减函数,得,log,0,.,2,7,log,0,.,2,9,.,(2),函数,y=,log,3,x,(,x,1),的,图像,在,函数,y=,log,6,x,(,x,1),的,图像,的,上方,故,log,3,5,log,6,5,.,(3),把,lg,m,看作指数函数,y=a,x,(,a,0,且,a,1),的底数,要比较两数的大小,关键是比较底数,lg,m,与,1,的关系,.,若,lg,m,1,即,m,10,则,y=,(lg,m,),x,在,R,上是增函数,故,(lg,m,),1,.,9,(lg,m,),2,.,1,;,若,0,lg,m,1,即,1,m,(lg,m,),2,.,1,;,若,lg,m=,1,即,m=,10,则,(lg,m,),1,.,9,=,(lg,m,),2,.,1,.,(4),因为底数,8,10,均大于,1,且,10,8,所以,log,8,5,lg,5,lg,4,即,log,8,5,lg,4,.,当堂检测,探究一探究二探究三探究四思维辨析解:(1)log0.27和l,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,反思感悟,1,.,如果两个对数的底数相同,则由对数函数的单调性,(,当底数,a,1,时,函数为增函数,;,当底数,0,a,0,a,1,1,a,2,0,a,2,1),(1),当,a,1,a,2,1,时,根据,对数函数,图像,的,变化规律知当,x,1,时,y,1,y,2,;,当,0,xy,2,.,(2),当,0,a,2,a,1,1,时,y,1,y,2,;,当,0,xy,2,.,对于含有参数的两个对数值的大小比较,要注意根据对数的底数是否大于,1,进行分类讨论,.,当堂检测,探究一探究二探究三探究四思维辨析反思感悟1.如果两个对数的底,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,答案,:,A,当堂检测,探究一探究二探究三探究四思维辨析答案:A 当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,求复合函数的单调区间,例,4,求下列函数的单调区间,:,(1),y=,log,0,.,2,(,x,2,-,2,x+,2);,(2),y=,log,a,(,a-ax,),.,分析,:,利用复合函数法确定其单调区间即可,.,解,:,(1),令,u=x,2,-,2,x+,2,=,(,x-,1),2,+,1,1,0,.,当,x,1,时,u=x,2,-,2,x+,2,是增函数,又,y=,log,0,.,2,u,是减函数,所以,y=,log,0,.,2,(,x,2,-,2,x+,2),在,1,+,),内是减函数,.,同理可得函数,y=,log,0,.,2,(,x,2,-,2,x+,2),的单调增区间为,(,-,1,.,故函数,y=,log,0,.,2,(,x,2,-,2,x+,2),的单调增区间为,(,-,1,单调,减区间为,1,+,),.,当堂检测,探究一探究二探究三探究四思维辨析求复合函数的单调区间当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,(2),当,a,1,时,y=,log,a,t,是增函数,且,t=a-ax,是减函数,而,a-ax,0,即,axa,所以,x,1,.,所以,y=,log,a,(,a-ax,),在,(,-,1),内是减函数,.,当,0,a,0,即,axa,所以,x,1,时,函数,y=,log,a,(,a-ax,),在,(,-,1),内是减函数,;,当,0,a1时,y=lo,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,延伸探究,将,本例题,(1),中函数改为,“,y=,log,2,(,x,2,-,2,x+,2)”,例题,(2),中函数改为,“,y=,log,a,(,ax-a,)”,结果又如何,?,解,:,(1),y=,log,2,(,x,2,-,2,x+,2),在,1,+,),内为增函数,在,(,-,1,上为减函数,.,(2),当,a,1,时,y=,log,a,(,ax-a,),在,(1,+,),内为增函数,;,当,0,a,log,a,(,x-,1),.,当堂检测,探究一探究二探究三探究四思维辨析因忽视真数的取值范围而致误当,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,以上解答过程中都有哪些错误,?,出错的原因是什么,?,你如何订正,?,你怎么防范,?,提示,:,错解一中没考虑真数的取值范围,也没有对,a,进行分类讨论,;,错解二中没有对,a,进行分类讨论,;,错解三中出现逻辑性错误,运算变形的顺序出现了问题,即开始默认了,a,1,对原不等式进行了转化是不正确的,虽然后来对,a,又进行了讨论,看起来结果正确,而实际上解答过程是错误的,.,当堂检测,探究一探究二探究三探究四思维辨析以上解答过程中都有哪些错误?,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,当堂检测,探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,防范措施,1,.,在解决含有对数式的方程或不等式时,一定要注意底数及真数的限制条件,一般要有检验的意识,.,2,.,当对数的底数含参数时,不能直接化简原式,需要对参数进行分类讨论,做到不重复、不遗漏,.,当堂检测,探究一探究二探究三探究四思维辨析防范措施1.在解决含有对数式,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,当堂检测,探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,当堂检测,1,.,设,0,x,1,且有,log,a,x,log,b,x,0,则,a,b,的大小关系是,(,),A.0,ab,1,B.1,ab,C.0,ba,1,D.1,ba,1,.,探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测1.设0 x1,且,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,当堂检测,2,.,方程,log,2,(,x+,2),=x,2,的实数解有,(,),A.0,个,B.1,个,C.2,个,D.3,个,答案,:,C,解析,:,在同一平面直角坐标系中分别画出,y=,log,2,(,x+,2),与,y=x,2,的图像,如图所示,.,由图像观察知,二者有两个交点,所以方程,log,2,(,x+,2),=x,2,有两个解,.,探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测2.方程log2(x,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,当堂检测,3,.,函数,f,(,x,),=,log,2,(3,x,2,-,2,x-,1),的单调增区间为,.,答案,:,(1,+,),探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测3.函数f(x)=l,探究一