单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,高中数学,选择性必修第二册,人教,A,版,数学归纳法,选择性必修二,4.4,高中数学 选择性必修第二册 人教A版数学归纳法选择性必,1,1.了解数学归纳法的原理.,2.能用数学归纳法证明数列中的一些简单的命题.,4.4*数学归纳法,1.了解数学归纳法的原理.4.4*数学归纳法,2,1.数学归纳法的概念,一般地,证明一个与,正整数,n,有关的命题,可按下列步骤进行:,(1)(归纳奠基)证明当,n,=,n,0,(,n,0,N,*,),时命题成立;,(2)(归纳递推)以“当,n,=,k,(,k,N,*,k,n,0,)时命题成立”为条件,推出“当,n,=,k,+1,时命题也成立”.,只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从,n,0,开始的所有正整数,n,都成立.,这种证明方法称为数学归纳法.,|,数学归纳法,1.数学归纳法的概念|数学归纳法,3,2.数学归纳法的步骤,2.数学归纳法的步骤,4,1.与正整数,n,有关的数学命题的证明只能用数学归纳法.,(,),提示:与正整数,n,有关的数学命题的证明还能用其他方法.,2.证明与自然数,n,有关的命题时,只需当,n,取前几个值时命题正确即可.,(,),提示:由,n,取前几个值命题正确,推不出与自然数,n,有关的命题正确,是不完全归纳,法.,3.在利用数学归纳法证明问题时,只要推理过程正确,也可以不用归纳假设.,(,),提示:数学归纳法的两个步骤缺一不可.,判断,正误,，,正确,的画“”,，,错误,的画“”,。,1.与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法.(,5,4.用数学归纳法证明问题时,第一步是验证当,n,=1时结论成立.,(,),提示:有的证明问题第一步并不是验证当,n,=1时结论成立,如证明凸,n,边形的内角,和为(,n,-2)180,第一步要验证当,n,=3时结论成立,所以不正确.,5.用数学归纳法证明等式时,由,n,=,k,到,n,=,k,+1,等式的项数不一定增加了一项.,(,),提示:正确.如用数学归纳法证明“1+,a,+,a,2,+,+,a,2,n,+1,=,(,a,1)”时,由,n,=,k,到,n,=,k,+1,增加了两项.,4.用数学归纳法证明问题时,第一步是验证当n=1时结论成立.,6,1|,利用数学归纳法证明等式,利用数学归纳法证明与正整数,n,有关的一些恒等式问题时,关键是看清等式两边,的项,弄清等式两边项的构成规律,进而利用当,n,=,k,(,k,n,0,k,N,*,)时的假设.证明恒,等式的一个重要技巧就是两边“凑”.,用数学归纳法证明等式时的步骤:,第一步:弄清,n,取第一个值,n,0,时等式两端项的情况,验证两边相等;,第二步:弄清从,n,=,k,到,n,=,k,+1时等式两端的项是如何变化的,即增加了哪些项,减少,了哪些项;利用这些变化规律,设法将待证式与归纳假设建立联系,并向,n,=,k,+1时证,明目标的表达式进行变形,证明,n,=,k,+1时结论也成立.,由数学归纳法原理得到等式成立.,1|利用数学归纳法证明等式利用数学归纳法证明与正整数n有关的,7,用数学归纳法证明:,+,+,+,+,=,(,n,N,*,).,思路点拨,(1)验证当,n,=1时等式成立;(2)由,n,=,k,时等式成立推出,n,=,k,+1时等式也成立.,用数学归纳法证明:思路点拨,8,证明(1)当,n,=1时,等式左边=,=,等式右边=,=,等式左边=等式右边,所以等式成立.,(2)假设当,n,=,k,(,k,N,*,)时等式成立,即,+,+,+,+,=,则当,n,=,k,+1时,+,+,+,+,+,=,+,=,=,=,=,.,所以当,n,=,k,+1时,等式也成立,由(1)(2)可知,对于任意,n,N,*,等式都成立.,证明(1)当n=1时,等式左边=,由(1)(2,9,2|,用数学归纳法证明不等式,1.用数学归纳法证明与自然数有关的不等式和证明与自然数有关的等式的方法,类似.,2.用数学归纳法证明不等式时需注意:,(1)在应用归纳假设证明的过程中,方向不明确时,可采用分析法完成,经过分析找,到推证的方向后,再用综合法、比较法等其他方法证明.,(2)在推证“当,n,=,k,+1时不等式也成立”的过程中,常常要将表达式作适当放缩变,形,便于应用归纳假设,变换出要证明的结论.,2|用数学归纳法证明不等式1.用数学归纳法证明与自然数有关的,10,用数学归纳法证明:,1+,+,+,+,+,n,(,n,N,*,).,思路点拨,分别确定当,n,=1,n,=,k,n,=,k,+1时不等式的左边的值,找到它们之间的关系,运用数学,归纳法证题.,用数学归纳法证明:思路点拨,11,证明(1)当,n,=1时,1+,=,不等式成立.,(2)假设当,n,=,k,(,k,N,*,)时,不等式成立,即1+,+,+,+,+,k,则当,n,=,k,+1时,1+,+,+,+,+,+,+,+,0),a,n,=,(,n,2,n,N,*,).,(1)用,a,表示,a,2,a,3,a,4,;,(2)猜想,a,n,的表达式(用,a,和,n,表示),并用数学归纳法证明.,思路点拨,利用递推公式求出,a,2,a,3,a,4,归纳出通项公式,再用数学归纳法证明结论.,已知数列an满足a1=a(a0),an=(n2,n,14,解析(1)由已知得,a,2,=,=,a,3,=,=,=,a,4,=,=,=,.,(2)因为,a,1,=,a,=,a,2,=,所以猜想,a,n,=,.,下面用数学归纳法证明:,当,n,=1时,因为,a,1,=,a,=,所以当,n,=1时猜想成立.,假设当,n,=,k,(,k,N,*,)时猜想成立,即,a,k,=,所以当,n,=,k,+1时,解析(1)由已知得,a2=,a3=,a4=,15,a,k,+1,=,=,=,=,=,所以当,n,=,k,+1时猜想也成立.,根据与可知,猜想对任意,n,N,*,都成立.,ak+1=,16,已知数列,a,n,a,n,0,a,1,=0,+,a,n,+1,-1=,求证:当,n,N,*,时,a,n,a,n,+1,.,证明(1)由题意得,当,n,=1时,+,a,2,-1=0,因为,a,n,0,所以,a,2,=,即,a,1,a,2,成立.,(2)假设当,n,=,k,(,k,N,*,)时,0,a,k,0,又,a,n,0,所以,a,k,+2,+,a,k,+1,+10,所以,a,k,+1,a,k,+2,即当,n,=,k,+1时,a,n,a,n,+1,也成立.,综上可知,a,n,a,n,+1,对任意,n,N,*,都成立.,已知数列an,an0,a1=0,+an+1-1=,17,