单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,一、自变量趋于有限值时函数的极限,第三节,自变量变化过程的六种形式,:,二、自变量趋于无穷大时函数的极限,本节,内容,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,函数的极限,一、自变量趋于有限值时函数的极限,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1.,定义,.,设函数,在点,的某去心,邻域内有定义,存在常,当,时,有,则称常数,A,为函数,当,时的,极限,或,即,当,时,有,数,A,，,记作,2.,几何解释,:,极限存在,函数局部有界,(P36,定理,2),这,表明,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,1.,证明,证,:,故,对,任意的,当,时,因此,总有,例,2,证,例,3.,证明,证,:,欲使,取,则当,时,必有,因此,只要,例,4.,证明,不证,:,故,取,当,时,必有,因此,例,5.,证明,:,当,证,:,欲使,且,而,可用,因此,只要,时,故取,则当,时,保证,.,必有,3.,左极限与右极限,左,极限,:,当,时,有,右极限,:,当,时,有,定理,(P39,题,11),例,6.,设函数,讨论,时,的,极限是否存在,.,解,:,利用定理,3.,因为,显然,所以,不,存在,.,二、自变量趋于无穷大时函数的极限,定义,2,.,设,大于某一正数时有定义,若存在常数,A,，,则称常数,时的,极限,几何解释,:,记作,直线,y,=,A,为曲线,的水平渐近线,A,为函数,例,7.,证明,证,:,取,因此,注,:,就有,故,欲使,即,直线,y,=,A,仍是曲线,y=f,(,x,),的水平渐近线,.,两种特殊情况,:,当,时,有,当,时,有,几何意义,:,例如，,都有水平渐近线,都有水平渐近线,又如，,二、函数极限的性质,定理,1,如果,(,或,),存在，那么极限是惟一的,定理,2,如果 ，那么存在常数,M0,和,0,，,使得当,0|,x-x,0,|0,证,:,已知,即,当,时,有,当,A,0,时,取,正数,则在对应的邻域,上,则存在,(,A,0),(P37,定理,3),若取,则在对应的邻域,上,若,则,存在,使当,时,有,定理,3:,不证，分析,:,推论,.,若在,的某去心,邻域内,且,则,证,:,用反证法,.,则由,定理,1,的某去心,邻域,使在该,邻域内,与已知,所以假设不真,(,同样可证,的,情形,),思考,:,若定理,中的条件改为,是否必有,不能,!,存在,如,假设,A,0,条件矛盾,故,定理,4(,函数极限与数列极限的关系,),如果当,x,x,0,时,f,(,x,),的极限,存在,x,n,为,f,(,x,),的定义域内任一收敛于,x,0,的数列,且,满足,x,n,x,0,(,n,N,),那么相应的函数值数列,f(x,n),必收敛,且,子列收敛性,(,函数极限与数列极限的关系,),定义,定理,不证,思考与练习,1.,若极限,存在,2.,习题,1,2,3,p38,:,3,；,4;5,（,3,）,;7;,是否一定有,？,