单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,.,*,一、用空间向量处理“平行”问题,.,一、用空间向量处理“平行”问题 .,1,二、用空间向量处理“垂直”问题,.,二、用空间向量处理“垂直”问题 .,2,空间中的角,角的分类,向量求法,范围,异面直线,所成的角,设两异面直线所成的角为,，它们的方向向量分别为,a,，,b,，则cos,_,直线与平面所成的角,设直线,l,与平面,所成的角为,，,l,的方向向量为,a,，平面,的法向量为,n,，则,sin,_,二面角,设二面角,l,的平面角为,，平面,、,的法向量为,n,1,，,n,2,，则|cos,|,_,0，,|cos,a,，,b,|,2,|cos,a,，,n,|,|cos,n,1,，,n,2,|,.,空间中的角角的分类向量求法范围异面直线设两异面直线所成的角为,3,题型一求异面直线的夹角,正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，,E,、,F,分别是,A,1,D,1,、,A,1,C,1,的中点，求异面直线,AE,与,CF,所成角的余弦值,【例1】,解,不妨设正方体棱长为2，分别取,DA,、,DC,、,DD,1,所在直线为,x,轴、,y,轴、,z,轴建立如图所示空间直角坐标系，则,.,题型一求异面直线的夹角 正方体ABCDA1,4,规律方法,在解决立体几何中两异面直线所成角问题时，若能构建空间直角坐标系，则建立空间直角坐标系，利用向量法求解但应用向量法时一定要注意向量所成的角与异面直线所成角的区别,.,规律方法 在解决立体几何中两异面直线所成角问题时，若能构建空,5,四棱锥,P,ABCD,中，,PD,平面,ABCD,，,PA,与平面,ABCD,所成的角为60，在四边形,ABCD,中，,ADC,DAB,90，,AB,4，,CD,1，,AD,2.,(1)建立适当的坐标系，并写出点,B,、,P,的坐标；,(2)求异面直线,PA,与,BC,所成的角的余弦值,【变式1】,解,(1)如图，建立空间直角坐标系,ADC,DAB,90，,AB,4，,CD,1，,AD,2.,A,(2，0，0)，,C,(0，1，0)，,B,(2，4，0),由,PD,平面,ABCD,，得,.,四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，PA与平面AB,6,.,.,7,思路探索,利用正三棱柱的性质，建立适当的空间直角坐标系，写出有关点的坐标求角时有两种思路：一是由定义找出线面角，取,A,1,B,1,的中点,M,，连结,C,1,M,，证明,C,1,AM,是,AC,1,与平面,A,1,ABB,1,所成的角；另一种是利用平面,A,1,ABB,1,的法向量,n,(,，,x,，,y,)求解,题型二求线面角,【例2】,.,思路探索 利用正三棱柱的性质，建立适当的空间直角坐标系，,8,.,.,9,.,.,10,.,.,11,规律方法,用向量法求线面角的一般步骤是：先利用图形的几何特征建立适当的空间直角坐标系，再用向量有关知识求解线面角法二给出了用向量法求线面角的常用方法，即先求平面法向量与斜线夹角，再进行换算,.,规律方法 用向量法求线面角的一般步骤是：先利用图形的几何特征,12,【变式2】,.,【变式2】.,13,.,.,14,.,.,15,(12分)如图所示，正三棱柱,ABC,A,1,B,1,C,1,的所有棱长都为2，,D,为,CC,1,的中点，求二面角,A,A,1,D,B,的余弦值,题型三二面角的求法,【例3】,.,(12分)如图所示，正三棱柱ABCA1B1C,16,规范解答,如图所示，取,BC,中点,O,，连结,AO,.因为,ABC,是正三角形，所以,AO,BC,，因为在正三棱柱,ABC,A,1,B,1,C,1,中，平面,ABC,平面,BCC,1,B,1,，所以,AO,平面,BCC,1,B,1,.,.,规范解答如图所示，取BC中点O，连结AO.因为ABC是,17,.,.,18,【题后反思】,几何法求二面角，往往需要作出其平面角，这是该方法的一大难点而用向量法求解二面角，无需作出二面角的平面角，只需求出平面的法向量，转化为两直线(或两向量)所成的角，通过向量的数量积运算即可获解，体现了空间向量的巨大优越性,.,【题后反思】几何法求二面角，往往需要作出其平面角，这是该方,19,【变式3】,.,【变式3】.,20,.,.,21,空间向量的具体应用主要体现为两种方法向量法和坐标法这两种方法的思想都是利用空间向量表示立体图形中的点、线、面等元素，建立立体图形和空间向量之间的联系，然后进行空间向量的运算，最后把运算结果回归到几何结论这样就把立体几何问题转化为空间向量来研究，体现了化归与转化思想,方法技巧化归与转化思想解决立体几何问题,.,空间向量的具体应用主要体现为两种方法向,22,(1)证明：直线,MN,平面,OCD,；,(2)求异面直线,AB,与,MD,所成角的大小,思路分析,建系,求相关点坐标求相关向量坐标向量运算结论,解,作,AP,CD,于点,P,，分别以,AB,，,AP,，,AO,所在的直线为,x,，,y,，,z,轴建立空间直角坐标系,A,xyz,，如图所示，,【,示,例】,.,(1)证明：直线MN平面OCD；【示例】.,23,.,.,24,.,.,25,.,.,26,