知 识 梳 理,典 例 变 式,基 础 训 练,能 力 提 升,第,17,讲,函数与方程,第17讲函数与方程,1,.,函数的零点,(1),函数零点的定义,:,对于函数,y=f,(,x,),把使,f,(,x,),=,0,的实数,x,叫做函数,y=f,(,x,),的零点,.,(2),三个等价关系,:,方程,f,(,x,),=,0,有实数根,函数,y=f,(,x,),的图象与,x,轴有交点,函数,y=f,(,x,),有零点,.,2,.,函数零点的判定,如果函数,y=f,(,x,),在区间,a,b,上的图象是连续不断的一条曲线,并且有,f,(,a,),f,(,b,),0),的图象与零点的关系,4.二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象与零点的关系,题型一,函数零点所在区间的判断,【例,1,】,(1),函数,f,(,x,),=,ln,x-,的零点所在的大致区间是,(,),A.(1,2)B.(2,3),C.(1,e),和,(3,4)D.(e,+,),(2),设,f,(,x,),=,0,.,8,x,-,1,g,(,x,),=,ln,x,则函数,h,(,x,),=f,(,x,),-g,(,x,),存在的零点一定位于下列哪个区间,(,),A.(0,1)B.(1,2),C.(2,e)D.(e,3),题型一函数零点所在区间的判断,(2),h,(,x,),=f,(,x,),-g,(,x,),的零点等价于方程,f,(,x,),-g,(,x,),=,0,的根,即为函数,y=f,(,x,),与,y=g,(,x,),图象的交点的横坐标,其大致图象如图,从图象可知它们仅有一个交点,A,横坐标的范围为,(0,1),故选,A,.,【答案】,(1)B,(2)A,(2)h(x)=f(x)-g(x)的零点等价于方程f(x)-,【规律总结】判断函数零点所在区间的三种方法,(1),解方程法,:,当对应方程,f,(,x,),=,0,易解时,可先解方程,然后再看求得的根是否落在给定区间上,.,(2),定理法,:,利用函数零点的存在性定理,首先看函数,y=f,(,x,),在区间,a,b,上的图象是否连续,再看是否有,f,(,a,),f,(,b,),1,.,【答案】,(1)B,(2)(1,+,),第,17,讲函数与方程,第,17,讲函数与方程,(2)问题等价于函数y=f(x)与y=-x+a的图象有且只有,【规律方法】,判断函数零点个数的三种方法,(1),方程法,:,令,f,(,x,),=,0,如果能求出解,则有几个解就有几个零点,.,(2),零点存在性定理法,:,利用定理不仅要求函数在区间,a,b,上是连续不断的曲线,且,f,(,a,),f,(,b,),0),y,2,=,ln,x,(,x,0),的图象,如图所示,.,由图可知函数,f,(,x,),在定义域内的零点个数为,2,.,第,17,讲函数与方程,第,17,讲函数与方程,变式训练二C【解析】由题意可知f(x)的定义域为(0,+,A.4B.3C.2D.1,A,【解析】,由,f,(,f,(,x,),+,1,=,0,得,f,(,f,(,x,),=-,1,综上可得函数,y=f,(,f,(,x,),+,1,的零点的个数是,4,故选,A,.,第,17,讲函数与方程,第,17,讲函数与方程,A.4B.3C.2D.1 A【解析】由f(f(x),题型三,函数零点的应用,(,高频考点,),函数零点的应用是每年高考的重点,多以选择题或填空题的形式考查,难度中档及以上,.,主要命题角度有,:,已知函数在某区间上有零点求参数,;,已知函数零点或方程根的个数求参数,.,考法一,根据零点的范围求参数,【例,3,-,1,】,若函数,f,(,x,),=,log,2,x+x-k,(,k,Z,),在区间,(2,3),上有零点,则,k=,.,【解析】,函数,f,(,x,),=,log,2,x+x-k,在,(2,3),上单调递增,所以,f,(2),f,(3),0,即,(log,2,2,+,2,-k,),(log,2,3,+,3,-k,),0,整理得,(3,-k,)(log,2,3,+,3,-k,),0,解得,3,k,3,+,log,2,3,而,4,3,+,log,2,3,m,时,x,2,-,2,mx+,4,m=,(,x-m,),2,+,4,m-m,2,要使方程,f,(,x,),=b,有三个不同的根,则有,4,m-m,2,0,.,又,m,0,解得,m,3,.,【答案】,(3,+,),第,17,讲函数与方程,第,17,讲函数与方程,考法二已知函数零点或方程根的个数求参数 数b,使得关于x的,【规律方法】,已知函数的零点或方程根的个数,求参数问题的三种方法,(1),直接法,:,直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数的范围,.,(2),分离参数法,:,先将参数分离,转化成求函数的值域问题加以解决,.,(3),数形结合法,:,先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,然后数形结合求解,.,第,17,讲函数与方程,第,17,讲函数与方程,【规律方法】已知函数的零点或方程根的个数,求参数问题的三种方,变式训练三,围是,.,(0,1),【解析】,函数,g,(,x,),=f,(,x,),-m,有,3,个零点,转化为,f,(,x,),-m=,0,的根有,3,个,进而转化为,y=f,(,x,),y=m,的交点有,3,个,.,画出函数,y=f,(,x,),的图象,则直线,y=m,与其有,3,个公共点,.,又抛物线顶点为,(,-,1,1),由图可知实数,m,的取值范围是,(0,1),.,变式训练三 围是.(0,1)【解析】函数g(,2,.,设函数,f,(,x,),=,e,x,+,2,x-,4,g,(,x,),=,ln,x+,2,x,2,-,5,若实数,a,b,分别是,f,(,x,),g,(,x,),的零点,则,(,),A.,g,(,a,),0,f,(,b,)B.,f,(,b,),0,g,(,a,),C.0,g,(,a,),f,(,b,)D.,f,(,b,),g,(,a,),0,A,【解析】,依题意,f,(0),=-,3,0,且函数,f,(,x,),是增函数,因此函数,f,(,x,),的零点在区间,(0,1),内,即,0,a,1,g,(1),=-,3,0,函数,g,(,x,),的零点在区间,(1,2),内,即,1,bf,(1),0,.,又函数,g,(,x,),在,(0,1),内是增函数,因此有,g,(,a,),g,(1),0,所以,g,(,a,),0,1,0,b,1,0,b,1,f,(,x,),=a,x,+x-b,所以,f,(,x,),为增函数,f,(,-,1),=-,1,-b,0,则由零点存在性定理可知,f,(,x,),在区间,(,-,1,0),上存在零点,.,区间,(1,2),内,则有,f,(1),f,(2),0,所以,(,-a,)(4,-,1,-a,),0,即,a,(,a-,3),0,.,所以,0,a1,0b,0,时,f,(,x,),=,3,x-,1,有一个零点,x=,所以只需要当,x,0,时,e,x,+a=,0,有一个根即可,即,e,x,=-a.,当,x,0,时,e,x,(0,1,所以,-a,(0,1,即,a,-,1,0),.,()D【解析】当x0时,f(x)=3x-1有一个零,为,.,3,解,得,x=,2,解,得,x=-,1,或,x=-,2,因此,函数,g,(,x,),=f,(,x,),+x,的零点个数为,3,.,为.3 解得x=2,解得x=-1或x=-2,7,.,方程,2,x,+,3,x=k,的解在,1,2),内,则,k,的取值范围为,.,5,10),【解析】,令函数,f,(,x,),=,2,x,+,3,x-k,则,f,(,x,),在,R,上是增函数,.,当方程,2,x,+,3,x=k,的解在,(1,2),内时,f,(1),f,(2),0,即,(5,-k,)(10,-k,),0,解得,5,k,10,.,当,f,(1),=,0,时,k=,5,.,8,.,已知关于,x,的方程,x,2,+mx-,6,=,0,的一个根比,2,大,另一个根比,2,小,则实数,m,的取值范围是,.,(,-,1),【解析】,设函数,f,(,x,),=x,2,+mx-,6,则根据条件有,f,(2),0,即,4,+,2,m-,6,0,解得,m,0),的解的个数是,(,),A.1B.2 C.3D.4,B,【解析】,(,数形结合法,),因为,a,0,所以,a,2,+,1,1,.,而,y=|x,2,-,2,x|,的图象如图所示,所以,y=|x,2,-,2,x|,的图象与,y=a,2,+,1,的图象总有两个交点,.,第,17,讲函数与方程,第,17,讲函数与方程,1.方程|x2-2x|=a2+1(a0)的解的个数是(,2,.,已知,a,是函数,f,(,x,),=,2,x,-,x,的零点,若,0,x,0,0,C.,f,(,x,0,),0D.,f,(,x,0,),的符号不确定,C,第,17,讲函数与方程,第,17,讲函数与方程,2.已知a是函数f(x)=2x-x的零点,有零点之和为,.,第,17,讲函数与方程,第,17,讲函数与方程,有零点之和为.第17讲函数与方程第17讲函数,(1),求,g,(,f,(1),的值,;,(2),若方程,g,(,f,(,x,),-a=,0,有,4,个实数根,求实数,a,的取值范围,.,解,:,(1),利用解析式直接求解得,g,(,f,(1),=g,(,-,3),=-,3,+,1,=-,2,.,(2),令,f,(,x,),=t,则原方程化为,g,(,t,),=a,易知方程,f,(,x,),=t,在,t,(,-,1),内有,2,个不同的解,则原方程有,4,个解等价于函数,y=g,(,t,)(,t,1),与,y=a,的图象有,2,个不同的交点,作出函数,y=g,(,t,)(,t,1),的图象,(,图略,),第,17,讲函数与方程,第,17,讲函数与方程,(1)求g(f(1)的值;解:(1)利用解析式直接求解得g,