单击以编辑,母版标题样式,习题课,二,、,三个线面问题,三、线面关系,实,例,机动 目录 上页 下页 返回 结束,矢量代数与,第,八,章,一,、,矢量代数,空间解析几何,一、矢量代数,1.,数量积：,设矢量,的夹角为,称,数量积,(,点积,).,2.,矢量积：,定义,矢量,方向,:,(,叉积,),记作,且符合右手规则,模,:,矢量积,称,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3.,典型例题：,解,:,由已知条件得,:,例,1.,确定,的值，使向量,与,相等，并求此向量的模和方向,余弦。,得,令,则,方向余弦,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解,:,例,2.,已知,且满足,都是单位向量，,求,由于不知道,的坐标和夹角，,只能考虑,应用向量的运算规律来求解。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解,:,例,3.,已知,并求以,求与,同时垂直的单位向量，,机动 目录 上页 下页 返回 结束,为两邻边的平行四边形之面积。,与之同时垂直的单位向量：,面积为：,解,:,例,4.,在,并与向量,坐标平面上求向量,使它垂直与向量,机动 目录 上页 下页 返回 结束,有相等的模。,由题设知,又因为,而,则,于是,解,:,例,5.,已知向量,成相等锐角，求,轴上的投影。,轴与三坐标轴正向构,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在,设,u,轴上的方向余弦分别是,由题设,以及,得,所以,即,u,轴上的正向单位向量,解,:,例,6.,设向量,（,1,）,k,为何值时，,其中,机动 目录 上页 下页 返回 结束,（,1,）当,且,问：,（,2,）,k,为何值时，,即,有,解,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,（,2,）平行四边形面积,例,6.,设向量,（,1,）,k,为何值时，,其中,且,问：,（,2,）,k,为何值时，,二、三个重点问题,(1),过直线,的平面束,方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(2),点,的距离为,到平面,：,A x+B y+C z+D,=0,d,机动 目录 上页 下页 返回 结束,到直线,的距离,为,(3),点,d,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三,、,实,例分析,例,1.,求与两平面,x,4,z=,3,和,2,x y,5,z,=1,的,交线,提示,:,所求直线的方向向量可取为,利用点向式可得方程,平行,且 过点,(3,2,5),的直线方程,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,2.,假设给定两条直线,和,证明,:,利用向量的混合积来证明,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证明此两直线异面。,例,3.,求过点,(2,1,3),且与直线,垂直相交的直线方程,.,提示,:,先求二直线交点,P,.,化已知直线方程为参数方程,代入,式,可得交点,最后利用两点式得所求直线方程,的平面的法向量为,故其方程为,过已知点且垂直于已知直线,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,4.,求直线,在平面,上的投影直线方程,.,提示,：,过已知直线的平面束方程,从中,选择,得,这是投影平面,即,使其与已知平面垂直：,从而得投影直线方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,5.,设一平面平行于已知直线,且垂直于已知平面,求该平面法线的,的方向余弦,.,提示,:,已知平面的法向量,求出已知直线的方向向量,取,所求平面的法向量,机动 目录 上页 下页 返回 结束,所求为,例,6.,求过直线,L,:,且与平面,夹成,角的平面方程,.,提示,:,过直线,L,的平面束方程,其法向量为,已知平面的法向量为,选择,使,从而得所求平面方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思路,:,先求交点,例,7.,求过点,且与两直线,都相交的直线,L,.,提示,:,的方程化为参数方程,设,L,与它们的交点分别为,再写直线方程,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三点共线,机动 目录 上页 下页 返回 结束,因为,例,8.,直线,绕,z,轴旋转一周,求此旋转,转曲面的方程,.,提示,:,在,L,上任取一点,旋转轨迹上任一点,则有,得旋转曲面方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,截线方程为,解,如图,例,9,机动 目录 上页 下页 返回 结束,空间的圆周，求其中心坐标和半径。,过球心且与已知平面垂直的直线方程,解,:,故球的中心坐标为（,3,，,2,，,0,）,因为,则球心到平面的距离,机动 目录 上页 下页 返回 结束,表示一个,例,10.,方程组,将直线的标准式化为参数式,代入已知的平面方程解得,所以圆的中心坐标为,圆的半径为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,上的投影直线,l,0,的方程，并求,l,0,绕,y,轴旋转一周所成曲面的方程。,解,:,方法一,由于所做平面垂直与已知平面，故有,先将直线,l,的标准式化为一般式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在平面,例,11.,求,过直线,l,作平面束方程,即,即过直线,l,垂直平面,的平面方程为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,故所求直线,l,0,的方程为,再求,l,0,绕,y,轴旋转一周所成曲面的方程,将直线,l,0,化为标准式,上的投影直线,l,0,的方程，并求,l,0,绕,y,轴旋转一周所成曲面的方程。,在平面,例,11.,求,解,:,方法一,此时,y,不变,机动 目录 上页 下页 返回 结束,直线,l,0,上点,绕,y,轴旋转到,由于,M,1,为直线,l,0,上的点，即,而,所以有,整理得,上的投影直线,l,0,的方程，并求,l,0,绕,y,轴旋转一周所成曲面的方程。,在平面,例,11.,求,解,:,方法一,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设经过直线,l,点且垂直于平面,的平面,1,的方程为,则由条件可知,由此解得,于是,平面,1,的方程为,从而,l,0,的方程为,上的投影直线,l,0,的方程，并求,l,0,绕,y,轴旋转一周所成曲面的方程。,在平面,例,11.,求,解,:,方法二,机动 目录 上页 下页 返回 结束,由一般的空间曲线,消去参数,t,即可得到曲面方程,.,绕,y,轴旋转所形成的旋转曲面方程为,:,上的投影直线,l,0,的方程，并求,l,0,绕,y,轴旋转一周所成曲面的方程。,在平面,例,11.,求,解,:,方法二,机动 目录 上页 下页 返回 结束,由于,l,0,的参数表达式为,消去参数,t,，得,绕,y,轴旋转所形成的旋转曲面方程为,上的投影直线,l,0,的方程，并求,l,0,绕,y,轴旋转一周所成曲面的方程。,在平面,例,11.,求,解,:,方法二,机动 目录 上页 下页 返回 结束,练习,画出下列各曲面所围图形,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,画出下列各曲面所围图形,:,练习,机动 目录 上页 下页 返回 结束,画出下列各曲面所围图形,:,练习,