,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第四章 多目标决策分析,第四章 多目标决策分析,1,第一节 多目标决策的目标准则体系,一、目标准则体系的意义,在决策分析中，决策问题要达到的目的称为决策目标，用数值表示决策方案实现某个目标程度的标准和法则，称为决策准则。,在多目标决策问题中，其目标或者经过逐层分解，或者依据决策主体要求和实际情况需要，形成的多层次结构的子目标系统，使得在最低一层子目标可以用单一准则进行评价，称之为目标准则体系。,构造目标准则体系应注意的原则：一是系统性原则。二是可比性原则，三是可操作性原则。,二、目标准则体系的结构,（一）单层次目标准则体系,各个目标都属于同一层次，每个目标无须分解就可以用单准则给出定量评价。,图4-1 单层次目标准则体系,第一节 多目标决策的目标准则体系一、目标准则体系的意义,2,第一节 多目标决策的目标准则体系,（二）序列型多层次目标准则体系,目标准则体系的各个目标，均可以按序列分解为若干低一层次的子目标，各子目标又可以继续分解，这样一层层按类别有序地进行分解，直到最低一层子目标可以按某个准则给出数量评价为止。,（三）非序列型多层次目标准则体系,某一层次的各子目标，一般不单是由相邻上一层次某子目标分解而成，各子目标也不能按序列关系分属各类。相邻两层次子目标之间，仅按自身的属性建立联系，存在联系的子目标之间用实线连结，无实线连结的子目标之间，不存在直接联系。这类目标准则体系称为非序列型多层次目标准则体系。,三、评价准则和效用函数,在多目标决策中，制定了目标准则体系，不同的目标用不同的评价准则衡量。因此，必须将不同度量单位的准则，化为无量纲统一的数量标度，并按特定的法则和逻辑过程进行归纳与综合，建立各可行方案之间具有可比性的数量关系。,多目标决策中均可以由目标准则体系的全部结果值所确定。可行方案在每一个目标准则下，确定个结果值，对目标准则体系，就得到一组结果值，并经过各目标准则的效用函数，得出一组效用值。这样，任何一个可行方案在总体上对决策主体的满意度，通过这些效用值按照某种法则并合而得，满意度是综合评价可行方案的依据。,四、目标准则体系风险因素的处理,多目标决策的风险因素，应该在目标准则体系中对涉及风险因素的各子目标分别加以处理。对存在风险因素的所有目标准则都分别作这样的技术处理。于是，风险型多目标问题就转化为确定型多目标问题。,第一节 多目标决策的目标准则体系（二）序列型多层次目标准则体,3,第二节 多维效用并合方法,一、多维效用并合模型,在图4-2中，设,H,表示可行方案的总效用值，即满意度 ，表示第二层子目标的效用值，如此类推，表示倒数第二层各子目标的效用值；表示最低一层各准则的效用值。符号“”表示按某种规则和逻辑程序进行的效用并合运算。效用并合过程从下到上，逐层进行。最低一层各准则的效用，经过并合得到,第三层子目标的效用并合得到第二层各目标的并合效用值,最后，可行方案 的满意度,多维效用并合的最满意方案为 ，其满意度,（5-1）,图4-2 序列型多层次目标准则体系,第二节 多维效用并合方法一、多维效用并合模型 在,4,第二节 多维效用并合方法,二、多维效用并合规则,在多目标决策中，根据决策目标的不同属性，效用并合采取不同方式进行。,（一）距离规则,二维效用并合的距离规则满足如下条件：当二效用同时达到最大值时，并合效用达到最大值；当二效用同时取最小值时，并合效用取零效用值；二效用之一达到最大值，均不能使并合效用达到最大值。二维效用平面上其余各点效用值，与该点与并合效用最大值点的距离成正比例。这种并合规则称之为距离规则。,设二维效用函数 ，,（5-2）,公式(5-2)可以推广到多维情形，,（5-3）,成本和效益的效用并合应该按距离规则进行，由公式（5-3）知，并合效用函数,第二节 多维效用并合方法二、多维效用并合规则在多目标决策中，,5,第二节 多维效用并合方法,（二）代换规则,二维效用并合的代换规则适合如下情况：二效用对决策主体具有同等重要性，只要其中一个目标的效用取得最大值，无论其它效用取何值，即使取得最低水平，并合效用也达到最高水平，与二效用均达到最高水平一样。,代换规则的二维效用并合公式为,（5-4）,推广到多维情形，,维效用并合的代换规则公式为,(5-5),（三）加法规则,二维效用并合的加法规则适用于如下情况：二效用的变化具有相关性，对并合效用的贡献没有本质差异，并且可以互相线性地补偿，即一目标效用的减少可以由另一目标效用值的增加得到补偿。,加法规则的二维效用并合公式为,（5-6）,加法规则 的,维并合效用公式为,（5-7）,第二节 多维效用并合方法 （二）代换规则代换规则的二维效用,6,第二节 多维效用并合方法,（四）乘法规则,乘法规则适用于如下情况：二目标效用对于并合效用具有同等重要性，相互之间完全不能替代，只要其中任意一个目标效用值为0，无论另一个目标效用取值多大，并合效用值均为0。,乘法法则效用并合更一般的计算公式是,乘法法则的二维效用并合公式为,（5-8）,（5-9）,n,维效用并合乘法规则的计算公式为,(5-10),更一般的计算公式为,（5-11）,也可以表示为对数形式,（5-12）,第二节 多维效用并合方法（四）乘法规则乘法法则效用并合更一般,7,第二节 多维效用并合方法,（五）混合规则,混合规则适用于各目标效用之间较为复杂的关系，是代换、加法和乘法三规则更为一般的情况。,混合规则的二维效用并合公式,（5-13）,其中，,1称为形式因子。当 0时，经过简单恒等变形，公式（513）可以化为较为规范的形式,（5-14）,混合规则的,n,维效用并合公式为,(5-15),三、多维效用并合方法应用实例,多维效用并合方法是多目标决策的一种实用方法，在经济管理、项目评价、能源规划、人口控制等方面有着广泛的应用。这里介绍的“我国总人口目标”实例是西安交通大学系统工程研究所已完成的研究课题，引用已发表的部分资料。,当今世界，人类活动与人类赖以生存的生态环境有着密切的关系，人口增长和生态环境是否相适应，人口增长和经济发展是否相协调，越来越引起世界各国的关注。社会经济的可持续发展，是我国面向2l世纪经济发展的战略任务。计划生育，控制人口增长是我国的基本国策。我国总人口目标问题，多年来一直众说纷纭，根据我国国情、经济实力、环境资源和社会发展等诸因素，科学分析我国总人口目标，关系到我国的国计民生和社会经济的长期稳定发展。应用多维效用并合方法，成功地对这个复杂的社会经济问题进行研究，科学分析了我国总人口目标方案，为我国人口政策制定提供科学的依据。,第二节 多维效用并合方法（五）混合规则混合规则的二维效用并合,8,第三节 层次分析方法,美国运筹学家T.L.Saaty于20世纪70年代提出的AHP决策分析法（Analytic Hierarchy Process，简称AHP方法），是一种定性与定量相结合的决策分析方法。AHP决策分析法，是解决复杂的非结构化的经济决策问题的重要方法，是计量经济学的主要方法之一。,（一）递阶层次模型,将具有共同属性的元素归并为一组，作为结构模型的一个层次，同一层次的元素既对下一层次元素起着制约作用，同时又受到上一层次元素的制约。可以将层次分为三种类型：,（1）最高层：只包含一个元素，表示决策分析的总目标，也称为总目标层。,（2）中间层：包含若干层元素，表示实现总目标所涉及到的各子目标，也称为目标层。,（3）最低层：表示实现各决策目标的可行方案、措施等，也称为方案层。,（2）,（二）层次元素排序的特征向量法,在复杂的问题决策中，只要引入合理的度量标度，通过构造判断矩阵，就可以用这种方法来度量每个要素的相对重要性，从而为有关决策提供依据。,对于社会、经济和管理等领域中的决策问题，通过建立层次结构模型，在相邻两层次之间，构造两两元素比较的判断矩阵，用特征向量法求出层次单排序，最终完成递阶层次解析过程。,显然，判断矩阵 的元素的 0,满足条件（1）（3）的矩阵,A,，称为互反的一致性正矩阵。,（1）,（3）,。,一、基本原理,第三节 层次分析方法 美国运筹学家T.L.Saa,9,第三节 层次分析方法,（一）判断矩阵的构造,设,m,个元素(方案或目标)对某一准则存在相对重要性，根据特定的标度法则，第,i,个元素(,i,1，2，,m,)与其它元素两两比较判断，其相对重要程度为,，,这样构造的,m,阶矩阵用以求解各元素关于某准则的优先权重，称为权重解析判断矩阵，简称判断矩阵，记作,构造判断矩阵的关键，在于设计一种特定的比较判断两元素相对重要程度的标度法则，使得任意两元素相对重要程度有一定的数量标准。沙但教授引用的19标度方法，其各级标度的含义如表5-2所示。,标度,定义,含义,1,同样重要,两元素对某属性，一元素比另一元素同样重要,3,稍微重要,两元素对某属性，一元素比另一元素稍微重要,5,明显重要,两元素对某属性，一元素比另一元素明显重要,7,强烈重要,两元素对某属性，一元素比另一元素强烈重要,9,极端重要,两元素对某属性，一元素比另一元素极端重要,2、4、6、8,相邻标度中值,表示相邻两标度之间折中时的标度,上列标度倒数,反比较,元素,i,对元素,j,的标度为,a,ij,，反之为1/,a,ij,表5-2 各级标度的含义,二、判断矩阵,第三节 层次分析方法 （一）判断矩阵的构造,10,第三节 层次分析方法,（二）判断矩阵的一致性检验,判断矩阵的一致性指标，记作,(5-17),其中，,m,为判断矩阵的阶数，为判断矩阵的最大特征值。一般来说，越大，偏离一致性越大，反之，偏离一致性越小。另外，判断矩阵的阶数,m,越大，判断的主观因素造成的偏差越大，偏离一致性也就越大。反之，偏离一致性越小。当阶数,m,2时，=0，判断矩阵具有完全的一致性。,一致性比率，记作,用一致性比率,C.R.,检验判断矩阵的一致性，当,C.R.,越小时，判断矩阵的一致性越好。一般认为，当,C.R.,0.1时，判断矩阵符合满意的一致性标准，层次单排序的结果是可以接受的，否则，需要修正判断矩阵，直到检验通过。,（1）求出一致性指标 ；,判断矩阵的一致性检验步骤是：,（2）查表得到平均随机一致性指标,R.I.,；,（3）计算一致性比率 。当,C.R.,0.1时，接受判断矩阵，否则，修改判断矩阵。,第三节 层次分析方法（二）判断矩阵的一致性检验 判断矩阵的一,11,第三节 层次分析方法,（一）递阶权重解析公式,递阶层次结构模型如图5-11,图5-11 递阶层次结构模型,AHP,方法的目的，在于求出各方案对总目标,G,的优先权重，求解过程从上到下，在相邻层次之间逐层进行，故称为递阶权重解析。,首先，讨论相邻两层次间的权重解析。第,k,层子目标关于总目标,G,的组合优先权重向量为,或者表示为分量形式,最后，计算方案层各方案关于总目标,G,的优先权重。这个优先权重记为,于是，,AHP,方法递阶权重解析过程的计算公式为,（,5-18）,其次，用公式将递阶权重解析过程表示出来，给出方案层关于总目标,G,的优先权重向量。,表示方案层,m,个方案关于准则层个准则的优先权重向量，是 矩阵；,三、递阶层次结构权重解析过程,第三节 层次分析方法（一）递阶权重解析公式递阶层次结构模型如,12,第三节 层次分析方法,（二）,AHP,方法的基本步骤,1.建立层次结构模型,将目标准则体系所包含的因素划分为不同层次，如目标层、准则层、方案层等，构建递阶层次结构模型。,2.构造判断矩阵,按照层次结构模型，从上到下逐层构造判断矩阵。,3.层次单排序及其一致性检验,根据实际情况，用不同方法求解判断矩阵最大特征值相对应的特征向量，经过归一化处理，即得层次单排序权重向量。,4.层次总排序及其一致性检验,层次总排序是从上到下逐层进行的。在实际计算中，一般按表格形式计算较为简便。,表5-6 计算层次,B,的总排序权重值,（,5-19,）,（,5-20,）,（,5-21,）,层次总排序检验