单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,二次函数中的面积计算问题,2024/11/15,1,二次函数中的面积计算问题2023/9/261,例,1:,已知抛物线,y=,x,2,+2x+3,与,x,轴交于,A,B,两点，其中,A,点位于,B,点的左侧，与,y,轴交于,C,点，顶点为,P,，,S,AOC,=,_,_,S,BOC,=_,4,3,2,1,2,O,A,C,P,B,(0,3),(-1,0),(3,0),(1,4),2024/11/15,2,例1:已知抛物线y=x2+2x+3与x轴交于A,B两点，其,S,COP,=_,S,PAB,=_,4,3,2,1,2,O,A,C,P,B,(0,3),(-1,0),(3,0),(1,4),2024/11/15,3,S COP=_ S PAB=_,S,PCB,=_,(3,0),4,3,2,1,2,O,A,C,P,B,(0,3),(-1,0),(1,4),S,ACP,=_,E,F,F,D,E,2024/11/15,4,S PCB=_(3,0)43212OACPB,二次函数中面积问题常见解决方法：,一、运用,二、运用,四、运用分割,三、运用相似,2024/11/15,5,二次函数中面积问题常见解决方法：一、运用二、运用四、运用分割,B,C,铅垂高,水平宽,h,a,图,2,A,x,C,O,y,A,B,D,1,1,图,1,例,1,：,如图,1,，抛物线顶点坐标为点,C,(1,，,4),，交,x,轴于点,A,(3,，,0),，,交,y,轴于点,B,。,（,1,）求抛物线和直线,AB,的解析式；,（,2,）求,CAB,的铅垂高,CD,及,S,CAB,；,（,3,）设点,P,是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，,是否存在一点,P,，使,S,PAB,S,CAB,，,若存在，求出,P,点的坐标；,若不存在，请说明理由。,一、运用,2024/11/15,6,BC铅垂高水平宽ha图2AxCOyABD11图1例1：如图1,x,C,O,y,A,B,D,1,1,图,2,P,（,3,）设,P,点的横坐标为,x,，,PAB,的铅垂高为,h,2024/11/15,7,xCOyABD11图2P（3）设P点的横坐标为x，PAB的,在平面直角坐标系中，有两点,A,（,-1,，,0,），,B,（,3,，,0,），如图，小敏发现所有过,A,，,B,两点的抛物线如果与,y,轴负半轴交于点,C,，,M,为抛物线的顶点，那么,ACM,与,ACB,的面积比不变，请你求出这个比值。,（,2004,绍兴中考题）,M,x,y,A,B,C,O,-,1,3,2024/11/15,8,在平面直角坐标系中，有两点A（-1，0），B（3,A,x,y,B,O,练习,1,如图，在直角坐标系中，点,A,的坐标为,(,2,，,0),，连结,OA,，,将线段,OA,绕原点,O,顺时针旋转,120,，得到线段,OB,（,1,）求点,B,的坐标；,（,2,）求经过,A,、,O,、,B,三点的抛物线的解析式；,（,3,）在（,2,）中抛物线的对称轴上是否存在点,C,，使,BOC,的,周长最小？若存在，求出点,C,的坐标；若不存在，请说明理由,（,4,）如果点,P,是（,2,）中的抛物线上的动点，且在,x,轴的下方，,那么,PAB,是否有最大面积？若有，求出此时,P,点的坐标及,PAB,的最大面积；若没有，请说明理由,2024/11/15,9,AxyBO练习1如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(2，,A,x,y,B,O,解：（,1,）如图,1,，过点,B,作,BM,x,轴于,M,由旋转性质知,OB,OA,2,AOB,120,，,BOM,60,M,代入坐标易得所求抛物线的解析式为,y,x,2,x,C,（,3,）存在,直线,AB,的解析式为,y,x,x,1,代入直线,AB,的解析式,点,C,的坐标为,(,1,，,),P,当,x,时，,PAB,的面积有最大值，最大值为,（,2,）设经过,A,、,O,、,B,三点的抛物线的解析式为,2024/11/15,10,AxyBO解：（1）如图1，过点B作BMx轴于M由旋转性,2.,如图，抛物线,y,x,2,bx,c,与,x,轴交于,A,(1,，,0),，,B,(,3,，,0),两点,（,1,）求该抛物线的解析式；,（,2,）设（,1,）中的抛物线交,y,轴于,C,点，在该抛物线的对称轴上是否存在点,Q,，,使得,QAC,的周长最小？若存在，求出点,Q,的坐标；若不存在，请说明理由；,P,Q,O,B,A,C,y,x,P,2024/11/15,11,2.如图，抛物线yx 2bxc与x轴交于A(1，0),（,3,）在（,1,）中的抛物线上的第二象限内是否存在一点,P,，使,PBC,的面积最大？,若存在，求出点,P,的坐标及,PBC,的面积最大值；若不存在，请说明理由,Q,O,B,A,C,y,x,P,2024/11/15,12,（3）在（1）中的抛物线上的第二象限内是否存在一点P，使P,A,B,M,P,O,N,x,y,x,m,y,x,3,如图，已知抛物线,y,ax,2,bx,4,与直线,y,x,交于点,A,、,B,两点，,A,、,B,的横坐标分别为,1,和,4,。,（,1,）求此抛物线的解析式。,（,2,）若平行于,y,轴,的直线,x,m,（,0,m,1,）,与抛物线交于点,M,，,（,3,）在（,2,）的条件下，连接,OM,、,BM,，是否存在,m,的值，使得,BOM,的面积,S,最大？若存在，请求出,m,的值，若不存在，请说明理由。,与直线,y,x,交于点,N,，交,x,轴于点,P,，求线段,MN,的长（用含,m,的代数式表示）。,抛物线的解析式为,y,x,2,2,x,4,MN,MP,PN,m,2,3,m,4,当,m,1.5,时，,S,有最大值。,2024/11/15,13,ABMPONxyxmyx3如图，已知抛物线yax 2,如图，二次函数 图象与轴,x,交于,A,B,两点,(A,在,B,的左边,),，与,y,轴交于点,C,，顶点为,M,，为,直角三角形,图象的对称轴为直线 ，,P,点是,抛物线上位于,A,、,C,两点之间的一个动点，,则 的面积的最大值为（）,C,（西湖区,2011,学年第一学期期末测试）,2024/11/15,14,C（西湖区2011学年第一学期期末测试）2023/,P,-3,-1,3,Q,2024/11/15,15,P-3-13Q2023/9/2615,P,Q,2024/11/15,16,PQ2023/9/2616,例,2.,（贵州省遵义市）如图，在平面直角坐标系中，,Rt,AOB,的,顶点坐标分别为,A,（,0,，,2,），,O,（,0,，,0,），,B,（,4,，,0,），把,AOB,绕,点,O,逆时针方向旋转,90,得到,COD,（点,A,转到点,C,的位置），,抛物线,y,ax,2,bx,c,(,a,0),经过,C,、,D,、,B,三点,（,1,）求抛物线的解析式；,（,2,）若抛物线的顶点为,P,，求,PAB,的面积；,（,3,）抛物线上是否存在点,M,，使,MBC,的面积等于,PAB,的面积？,若存在，请求出点,M,的坐标；若不存在，请说明理由,-,3,B,A,x,y,O,2,-,1,-,1,1,2,3,4,5,-,2,1,3,4,5,二,.,运用,2024/11/15,17,例2.（贵州省遵义市）如图，在平面直角坐标系中，RtAO,-,3,B,A,x,y,O,2,-,1,-,1,1,2,3,4,5,-,2,1,3,4,5,P,(1),抛物线经过,B,（,4,，,0,），,C,（,2,，,0,）,可设抛物线的解析式为,y,a,(,x,2)(,x,4),D,（,0,，,4,）代入上式,（,2,）,S,PAB,S,四边形,PEOB,S,AOB,S,PEA,6,（,3,）假设存在这样的点,M,，其坐标为,M,（,x,，,y,）,y,2,E,C,2024/11/15,18,-3BAxyO2-1-112345-21345P(1)抛物,练习,1,已知二次函数,y,x,2,ax,a,2,（,1,）求证：不论,a,为何实数，此函数图象与,x,轴总有两个交点；,（,2,）设,a,0,，当此函数图象与,x,轴的两个交点的距离为,时，求出此二次函数的解析式；,（,3,）若题（,2,）中二次函数图象与,x,轴交于,A,、,B,两点，在函数图象上是否存在点,P,，,使得,PAB,的面积为,？,若存在，求出,P,点坐标；若不存在，请说明理由,（,1,）,a,2,4(,a,2),(,a,2),2,4,0,不论,a,为何实数，此函数图象与,x,轴总有两个交点,（,2,）设,x,1,、,x,2,是,x,2,ax,a,2,0,的两个根,则,x,1,x,2,a,，,x,1,x,2,a,2,此函数图象与,x,轴的两个交点的距离为,(,x,1,x,2,),2,13,即,(,x,1,x,2,),2,4,x,1,x,2,13,(,a,),2,4(,a,2),13,，,整理得,(,a,1)(,a,5),0,，解得,a,1,或,a,5,a,0,，,a,1,此二次函数的解析式为,y,x,2,x,3,（,3,）设点,P,的坐标为（,x,，,y,）,|,y,|,3,，,y,3,再得,x,2,或,x,3,；,x,0,或,x,1,P,1,（,2,，,3,），,P,2,（,3,，,3,），,P,3,（,0,，,3,）或,P,4,（,1,，,3,）,2024/11/15,19,练习1已知二次函数yx 2axa2,B,A,O,Q,P,x,y,2,已知：,t,1,，,t,2,是方程,t,2,2,t,24,0,的两个实数根，且,t,1,t,2,，,抛物线,y,x,2,bx,c,的图象经过点,A,（,t,1,，,0,），,B,（,0,，,t,2,）,（,3,）在（,2,）的条件下，当,OPAQ,的面积为,24,时，是否存在这样的点,P,，,使,OPAQ,为正方形？若存在，求出,P,点的坐标；若不存在，说明理由,（,1,）求这个抛物线的解析式；,（,2,）设点,P,（,x,，,y,）是抛物线上一动点，且位于第三象限，四边形,OPAQ,是以,OA,为对角线的平行四边形，求,OPAQ,的面积,S,与,x,之间的函数关系式，并写出自变量,x,的取值范围；,（,3,）当,S,24,时,P,的坐标为（,3,，,4,）、（,4,，,4,）,当点,P,为（,3,，,4,）时，满足,PO,PA,，此时，,OPAQ,是菱形,当点,P,为（,4,，,4,）时，不满足,PO,PA,，此时,OPAQ,不是菱形,要使,OPAQ,为正方形，那么，一定有,OA,PQ,，,OA,PQ,，此时，点的坐标为（,3,，,3,），而（,3,，,3,）不在抛物线上，故不存在这样的点,P,，使,OPAQ,为正方形,2024/11/15,20,BAOQPxy2已知：t1，t2是方程t 22t24,例,3:,如图，抛物线与,x,轴交于,A,（,x,1,，,0,），,B,（,x,2,，,0,