*,*,单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,曲线积分习题课,一、内容提要及教学要求,1 会计算两类曲线积分,(,),这里下限,对应于,L,的起点，上限,对应于,L,的终点。,1,曲线积分习题课 一、内容提要及教学要求 1 会计算两类曲线,cos,、cos,的求法：,起点,A,、终点,B,分别对应,参数,、,。,(,当,时取负号,),2 两类曲线积分的关系,2,cos、cos的求法：起点A、终点B分别对应(当0,）之交线，,从,x,轴正向看去为逆时针方向。,10,例8 计算为x2+y2+z2=a2(z0)与x2+y2,(1)已知,解：,又,L,关于,x,轴对称，而,sin(,xy,),关于,y,为奇函数，所以,于是,I,=12,a,。,L,的长度为,a,，求,即3,x,2,+,4,y,2,=,12，所以,11,(1)已知解：又L关于x轴对称，而sin(xy,12,12,13,13,O,A,14,OA14,15,15,取,l,：,x,2,+,y,2,=,r,2,，逆时针方向,则,16,取l：x2+y2=r2，逆时针方向,则16,解：,L,：,例5 计算,顺时针方向,注：,应充分利用,L,的方程简化被积函数。,17,解：L：例5 计算顺时,L,：,y,=2,x,2,上从,A,(,，,0),到,B,(,，,0),的一段有向弧段。,解：,所以,18,L：y=2x2上从A(，0)到B(,取,l,为,x,2,+,y,2,=2上从点,A,(，0)经上半圆到点,B,(，0)的有向曲线，则,或,2,O,x,y,A,B,19,取l为x2+y2=2上从点A(，0)经,20,20,解,21,解21,解：在不含原点的单连域内，任作两条起点为,A,终点为,B,的光滑曲线,C,1,、,C,2,。,再补充一条光滑曲线,C,3,使,C,1,+C,3,和,C,2,+C,3,成为包围原点的正向曲线（如图所示）,C,2,C,3,O,C,1,A,B,x,y,则由题设知,所以有,22,解：在不含原点的单连域内，任作两条起点为A终点为B的光滑曲线,由,C,1,、,C,2,的任意性知，在不含原点的单连通域内，该曲线积分与路径无关。,（2）由（1）知，在,(x，y,)(0，0)时，应恒有,即,即,取L：,x,2,+2,y,2,=1，取逆时针方向。则,23,由C1、C2的任意性知，在不含原点的单连通域内，该曲线积分与,起点对应,=0,，终点处,=2,例8 计算,O,x,y,所以,解：,为,x,2,+,y,2,+,z,2,=,a,2,(,z,0),与,x,2,+,y,2,ax,（,a,0,）之交线，,从,x,轴正向看去为逆时针方向。,24,起点对应=0，终点处=2 例8 计算Oxy所以,是用,y,=,z,去截,x,2,+,y,2,+,z,2,=1,所得截痕，从,z,轴看去沿逆时针方向。,解：,在,xOy,平面上的投影曲线,L,为,x,2,+2,y,2,=1,（,z,=0,），取逆时针方向。,所以,的参数方程为：,起点对应,=0,，终点对应,=2,。,25,是用y=z去截x2+y2+z2=1所得截痕,利用格林公式,：I,=0,26,利用格林公式：I=026,27,27,dw,=,F dr,=,证明：,在半平面,x,0内有力,除原点外处处有,构成力场，其中,K,为常数，,证明此力场中力所做的功与路径无关,所以,28,dw=F dr=证明：在半平面x0内有力除原点,