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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,7.2,几种常见的一阶微分方程,一阶微分方程的一般形式为,1.,可分离变量的微分方程:,当,时,两边积分得,即为方程的通解.,(,为任意常数),(如果存在一点,使,则,称为方程的,奇解,.),(其中,分别是,的连续函数),定义,:,把形如,为可分离变量微分方程,.,例7.2.1,求微分方程,的通解,解,:,分离变量,两边积分,得,所以,例7.2.2,求初值问题,的特解.,解,:将已给方程分离变量,两边积分,得,将,代入得,所以特解为,补充例题:,1.,解:,当,时,是方程的解.是奇解,当,时,分离变量,两边积分,得,2.,在化学动力学中,用单位时间内反应物浓度的减少量或反应,生成物的增加量表示反应速度,若反应速度与当时反应物的浓,度成正比,则称为一级反应.,设在时刻,反应物的浓度为,初始浓度为,求反应物浓度,随时间,的变化规律.,解,:依题意列出微分方程,分离变量,得通解,当,时,初始浓度为,得时间,为,半衰期,.,2.齐次微分方程:,方程的解法,:,通常是通过,变换,把齐次方程化为可分离变,量微分方程,求解.,是,的连续函数,(,),定义,:形如,的微分方程称为齐次方程.,(7.2.2),令,代入(7.2.2)式得,分离变量,积分得,例7.2.3,解方程,解,:原方程可写为,设,两端积分,令,得,或,解,:,令,得,两边积分,得,所以通解为,例7.2.4,求方程,的解,定义:,形如,的方程称为一阶线性微分方程.,当,时,称为,一阶线性齐次方程.,当,时,称为,一阶线性非齐次方程.,一阶线性,齐次,微分方程的,通解:,分离变量,两边积分,所以通解为,(,为任意常数),3.一阶线性微分方程,积分得,是,的一个函数,所以令其等于,则非齐次微分方程的通解为,一阶线性,非齐次,微分方程的,通解,:,在,的两边同时除以,得,“,常数变易法,”,通常把齐次方程通解中任意常数变易为待定函,数的求解方法,称为常数变易法.,求,设,是方程,的解,代入,式得,所以非齐次方程的通解为,例7.2.5,解方程,解法1,:,“用常数变易法”,先解对应的齐次方程,齐次方程的通解:,代入方程得,用常数变易法,设,或,所以原方程的通解为,解法2,:,通解为,例7.2.6,求,的通解,(以,为未知函数的一阶线性非齐次方程.),方程的通解为,解,:,伯努利方程的解法:,将方程的两边同除以,得,令,则,4.伯努利方程,定义,:,形如,的方程称为伯努利,方程.其中,为常数.,当,时,为可分离变量微分方程.,当,时,为一阶线性非齐次微分方程.,代入方程得,是以,为未知函数的一阶线性非齐次微分方程.,代入通解即可.,例7.2.7,求方程,的通解.,解,:,方程两边同除以,得,令,代入上式得,方程的通解为,原方程的通解为,例题,:,一容器内盛有清水90升,现将每升含盐量为4克的盐水以,每分钟6升的速率注入容器,不断搅拌使,混合液迅速均匀,,并以没,分钟升的速率流出容器,问在,时刻容器的含盐量是多少?,解,:,设在,时刻,,容器内含盐量,为,,,在,时间内盐的,改变量,),(相应设注入与流出的盐的量分别为,平均变化率,当,时,时刻的瞬时改变速度,升,分,即:,容器内某个量的变化率,注入量的变化率流出量的变化,率,整理得,代入通解公式求解.,一室模型,:,把机体当着一个动力,学上的同质单元,使用于给药后,药物瞬即分布到,血液及其他组织中,并达到动态平衡,表室的容积,通常称为药物的表面分布容积,为时间,时体内的药量,入,出,分别表示药物给药,和消除速率,药物动力学室模型,:,为了揭示药物在体内的动力学规律,便于用数学方法处理,在药物,吸收,分布代谢,动力学中,广泛采用简化的 室模型来研究药物在体内的,和排泄的时间过程.,给药,消除,出,入,一室模型的一般动力学方程为,入,出,通常假定消除是一级速率过程,,即,出,其中,为一级速率常数.,将,代入,有,机体内药量的变化规律由给药速率,入,而定.,入,单位时间内室中药物的变化率,等于输入与,输出之差,按三种给药途径建立相应的一室模型,快速静脉滴注,在快速静脉注射情况下,可以认为一个剂量,是瞬时输入到房,室内的,没有吸收过程,因为,入,=0,这时体内药量减少的速度与,当时体内药量成正比,初始条件为,.,所以由,式得,解之,并代入初始条件,得,描述了快速静脉注射后,机体内的药量随时间的变化规律,.,因为血药浓度,由方程两边同除,得血药浓度随,时间的变化规律,即,其中,表示初始(,时),血药浓度.,恒速静脉滴注,以恒定速率,作静脉给药时,入,初始条件为,所以由,式得,解方程得,两边同除以,得血药浓度,随时间,的,变化规律为,口服或肌肉注射,在这种给药情况下,大多数药物输入室内(吸收入血)的过程可,作为一级过程处理,有,入,其中,表示在时刻,“吸收部位”的药量,,为一级吸收速率常数.,为所给剂量,中可吸收的分数(,),称为生物利用度.,此时方程,为,解之,得满足初始条件,的解为,两边同除以,得血药浓度,随时间,的,变化规律为,图形为,求最大血药浓度(峰浓度),及其到达的时间,达峰时),.,由,式得,令,得,代入,得,(,曲线),称为,由于,此时,代入化简得,在药物动力学中,曲线下的总面积(AUC)有重要作用,这是,由于在一定条件下,(AUC)能反映药物最终吸收的程度.,由,式可计算得,显然,在一定剂量,与吸收分数,成正比.,关于肿瘤生长的几个常见数学模型,肿瘤的生长模型是指描述肿瘤大小(体积、重量或细胞数等)与,时间关系的一种数学表达式.,指数生长模型,:假设肿瘤体积变化率与当时肿瘤的体积成正比,若在时间,肿瘤体积为,速率常数为,则有,分离变量,并带入初始条件,得其解为,其中,为开始观察的时间.,通常把这种用指数函数描述的生长称为指数生长,把指数,函数称为指数生长模型,其图形称为指数生长曲线.,指数生长模型,是一连续型模型,体积,随时间,的增大而迅速单调递增,通常,把肿瘤体积增大一倍所需要的时间称为肿瘤倍增时间,记为,倍增,时间,是研究肿瘤生长、分析肿瘤性质和类型等问题的重要参数.,在指数生长的情况下,肿瘤的倍增时间,为常数.,将常数,代入,式,且令,得,设肿瘤近似为球形,为直径,因,且,若按直径计算,便有,临床上常用该式推算肿瘤的大小.,Gompertz模型,研究表明,随着肿瘤的增大,倍增时间,也不断延长,即,不是常数,可假设,的变化率随,的增大而减少,即,其中,为正常数,于是肿瘤生长的数学模型为,若初始条件为:,则由,式解得,将,式代入,式,得,求得其解为,符合Gompertz模型生长的肿瘤,其倍增的时间为,Logistic模型,在肿瘤生长过程中,由于营养供应受到限制等原因,将会阻滞自身,的继续生长,故有,其中,、,为正常数.,假设初始条件为,求解贝努利方程,得满足初始条件的解为,称为logistic方程,也称logistic生长模型.,当,时,故,是肿瘤生长的极限值.,符合此模型肿瘤生长的倍增时间为,汉英词汇对照,可分离变量的微分方程 separable equation,一阶线性微分方程 linear first-order differential equation,一阶齐次线性微分方程,homegeneous linear first-order differential equation,常数变易法 method of variation of constants,贝努利方程 Bernoullis equation,常系数微分方程 differential equation with constant coefficients,
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