单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,中学数学网（群英学科）收集提供,*,24.3,正多边形和圆,正多边形：,各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。,正,n,边形：,如果一个正多边形有,n,条边，那么这个正多边形叫做,正,n,边形。,三条边相等，三个角也相等（,60,度）。,四条边都相等，四个角也相等（,90,度）。,想一想：,问题,1,：菱形是正多边形吗？矩形是正多边形吗？为什么？,问题,2,：正多边形都是轴对称图形吗？有多少条对称轴呢？也都是中心对称图形吗？,答：,正多边形都是轴对称图形，对称轴条数等于正多边形边数,;,只有正偶数边形才是中心对称图形。,你知道正多边形与圆的关系吗？,正多边形和圆的关系非常密切,只要把一个圆分成相等的一些弧,就可以作出,正多边形,;,并且随着边数的增加，正多边形的形状逐渐趋近于一个圆形。,1,2,3,A,B,C,D,E,4,5,我们以正五边形为例。,如图,(1),，把,O,分成相等的,5,段弧，依次连接各分点可得正五边形,ABCDE,。此时正五边形叫,圆内接正五边形,，圆叫正五边形的,外接圆,。,如图,(2),，把,O,分成相等的,5,段弧，过每个分点做圆的切线可得正五边形,ABCDE,。此时正五边形叫做,圆外切五边形,，圆叫正五边形的,内切圆,。,（,1,）,（,2,）,E,F,C,D,A,B,.,中心,O,中心角,半径,R,边心距,r,一个正多边形的外接圆,(,或内切圆,),的圆心叫做,正多边形的中心,.,外接圆的半径叫做,正多边形的半径,.,正多边形的每一条边所对的圆心角叫做,正多边形的中心角,.,中心到正多边形的一边的距离叫做,正多边形的边心距,.,抢答题：,1,、,O,是正,ABC,的中心，它是,ABC,的,_,圆与,_,圆的圆心。,2,、,OB,叫正,ABC,的,_,，它是正,ABC,的,_,圆的半径。,3,、,OD,叫作正,ABC,的,_,，它是正,ABC,的,_,圆的半径。,A,B,C,.O,D,外接,内切,半径,外接,边心距,内切,4,、正方形,ABCD,的外接圆圆心,O,叫做正方形,ABCD,的,_,5,、正方形,ABCD,的内切圆的半径,OE,叫做正方形,ABCD,的,_,A,B,C,D,.O,E,中心,边心距,6,、,O,是正五边形,ABCDE,的外接圆，弦,AB,的弦心距,OF,叫正五边形,ABCDE,的,_,，,它是正五边形,ABCDE,的,_,圆的半径。,7,、,AOB,叫做正五边形,ABCDE,的,_,角，它的度数是,_.,D,E,A,B,C,.O,F,边心距,内切,中心,72,度,8,、图中正六边形,ABCDEF,的中心角是,_,它的度数是,_.,9,、你发现正六边形,ABCDEF,的半径与边长具有,什么数量关系？为什么？,B,A,E,F,C,D,.O,AOB,60,度,E,F,C,D,A,B,.,O,中心角,边心距,r,边心距把,AOB,分成,2,个全等的直角三角形,G,设正多边形的边长为,a,半径为,R,它的周长为,L=na.,R,a,例,有一个亭子它的地基是半径为,4m,的正六边形,求地基的周长和面积,.,F,A,D,E,.,.,O,B,C,r,R,P,解,:,亭子的周长,L=6,4=24(m),练习：分别求出半径为,R,的圆内接正三角形，正方形的边长，边心距和面积,.,解：作等边,ABC,的,BC,边上的高,AD,垂足为,D,连接,O,B,，则,OB,=,R,在,Rt,OBD,中，,OBD,=30,边心距,OD,=,A,B,C,D,O,BC,=,2,BD,=,3,R,在,RtOBD,中 由勾股定理得：,BD=OB,2,-BD,2,=R,2,(),2,=,3,2,R,S,ABC,=,BC,AD=,3,R,R,=,R,2,3,.,3,4,3,2,2,1,2,1,解：连接,OB,，,OC,作,OE,BC,垂足为,E,，,OEB,=90,OBE,=,BOE,=45,在,Rt,OBE,中为等腰直角三角形,A,B,C,D,O,E,补充练习,:,各边相等的圆内接多边形是正多边形,?,各角都相等的圆内接多边形呢,?,如果是,说明为什么,;,如果不是,举出反例,.,各边相等的圆内接多边形是正多边形,.,证明：,多边形,A,1,A,2,A,3,A,4,A,n,是,O,的内接多边形,且,A,1,A,2,=,A,2,A,3,=,A,3,A,4,=,A,n,1,A,n,多边形,A,1,A,2,A,3,A,4,A,n,是正多边形,.,A,1,A,A,A,A,A,A,A,n,O,弧,A,1,A,2,=,弧,A,2,A,3,=,=,弧,A,n-1,A,n,=,弧,A,n,A,1,弧,A,2,A,3,A,n,=,弧,A,3,A,4,A,1,=,弧,A,4,A,5,A,2,=,=,弧,A,1,A,2,A,n-1,各角相等的圆内接多边形是正多边形,.,例如矩形。,1,、正,n,边形的一个内角的度数是,_;,2,、正多边形的中心角与外角的大小关系是,_.,相等,提高题：,由于正多边形在生产、生活实际中有广泛的应用性，所以会画正多边形应是学生必备能力之一。,怎样画一个正多边形呢？,问题,1,：已知,O,的半径为,2cm,，求作圆的内接正三角形,.,120,用量角器度量，使,AOB=BOC,=COA=120,用量角器或,30,角的三角板度量，使,BAO=CAO,=30,A,O,C,B,思考,1,思考,2,你能用以上方法画出正四边形、正五边形、正六边形吗？,A,B,C,D,O,A,B,C,D,E,O,O,A,B,C,D,E,F,90,72,60,思考,3,你能尺规作出正四边形、正八边形吗？,A,B,C,D,O,只要作出已知,O,的互相垂直的直径即得圆内接正方形，再过圆心作各边的垂线与,O,相交，或作各中心角的角平分线与,O,相交，即得圆接正八边形，照此方法依次可作正十六边形、正三十二边形、正六十四边形,思考,4,你能尺规作出正六边形、正三角形、正十二边形吗？,O,A,B,C,E,F,D,以半径长在圆周上截取六段相等的弧，依次连结各等分点，则作出正六边形,.,先作出正六边形，则可作正三角形，正十二边形，正二十四边形,思考,5,说说作正多边形的方法有哪些,?,归纳,（,1,）用量角器等分圆周作正,n,边形；,（,2,）用尺规作正方形及由此扩展作正八边形等；,用尺规作正六边形及由此扩展作正,12,边形、正三角形等,