单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第五章 线性定常系统设计中的几个问题,5-1 系统构成及特性,1:系统构成,状态反馈：线性定常系统的状态方程和输出方程为：,采用状态反馈，通过适当的方式获得系统状态X的值，经一个常 数矩阵K反馈（如图所示）,该闭环控制系统的状态方程和输出方程为：,输出反馈：在经典控制理论中，通常采用输出反馈，经一个常数矩阵,H,来实现反馈（如图所示）,该闭环控制系统的状态方程和输出方程为：,2：闭环系统基本特性,状态反馈系统的能控性和能观测性,定理一：由状态反馈阵K构成的闭环系统，其能控性完全等价于原系统的能控性,证明：状态反馈闭环系统的能控性矩阵,由于 的列向量可由（B,AB）的列向量的线性组合表示；又 的列向量可由（B,AB,A,2,B）的列向量的线性组合表示；依次类推，则：,rankM,b,rankM,o,上式中M,o,为原系统的能控性矩阵：,即：1）状态反馈不会改变系统的能控性,2）但可以证明状态反馈将可能改变系统的能观测性。,输出反馈系统的能控性和能观测性,定理,2,：由输出反馈阵,H,构成的闭环系统，其能控性和能观测性完全等价于原系统的能控性和能观测性。,证明：输出反馈闭环系统的能控性矩阵,其列向量可由 列向量线性组合来表示，因此,rankM,b,rankM,o,，即：输出反馈不改变系统的能控性,输出反馈闭环系统的能观测性矩阵：,由于从C(A-BHC)=CA-CBHC=CA-(CBH)C的行向量可由 的行向量的线性组合表示，同理，C(A-BHC),2,的行向量可由 的行向量的线性组合表示，依次类推，则：,rankN,b,rankN,o,即：输出反馈不会改变系统的能观测性。,3：对于两种反馈形式的讨论,(1)两种反馈形式的重要特点是,反馈的引入并不增加新的状态变量，也即闭环系统与开环系统具有相同的阶数。,(2)状态反馈形式闭环后能保持原系统的能控性，但不一定能保持原系统的能观测性（原来不能观测的也可通过状态反馈成为能观测的）输出反馈形式闭环后则不改变原系统的能控性和能观测性。,(3)状态反馈后将系数矩阵A变成(A-BK)。系统的性质与系统的 状态转移矩阵 有着密切的关系而状态转移矩阵完全由系统的系数矩阵A确定。,因此，如果要改善控制性能，就要改变 的性质,即改变矩阵A的元素值,要改变A,往往涉及到改变控制对象的结构。,因此想通过改变A来改善控制特性是不容易的。然而采用状态反馈后构成的闭环系统，可通过改变反馈矩阵K来改变系统矩阵(A-BK)即改变状态转移矩阵 ，使其满足希望的控制要求。,这就是通过状态反馈选择最佳参数使系统达到最优的原因。,输出反馈后，通过选择适当的输出反馈矩阵H来改变系数矩阵(A-BHC),从而改变闭环系统的控制特性。这里，矩阵HC相当于状态反馈中的 K阵，但相比之下,HC的效果与K来比要小的多。只有当CI时，则HC与K才能相当。即以通过输出反馈改善闭环系统的控制特性的能力也要相对差些。,(4)实现状态反馈的一个基本前提是，各状态变量x,1,x,2,x,n,必须是物理上可测量的，但事实上不一定每个状态变量都是可测得，当状态变量不可测量时，设法由输出y和控制u把系统的状态构造（估计）出来，即采用观测器来获得状态的观测量，以实现状态反馈。这便是状态重构问题。,5-2 状态反馈系统的极点配置,极点配置问题首先要解决的是能否通过状态反馈来实现给定的极点配置。其次是，如何确定状态反馈矩阵K.,定理3采用状态反馈使可以任意配置闭环系统极点的充要条件为，受控系统必须完全能控。,证明：1：系统状态方程为能控标准形。,其传递函数为,：,采用状态反馈阵K=k,1,，k,2,，k,n,后构成的闭环系统状态方程为：,闭环系统的传递函数为：,假定闭环系统希望的极点为：，,于是,为使闭环系统的极点为希望的极点 ，由上比较得：,，,即：，,由K作为状态反馈构成的闭环具有希望的极点,讨论：,1)若系统状态方程为非能控标准形，则通过非奇异变换有,(为非标，A为标),则：,所以：,2)证明过程表明，完全能控的单输入，单输出系统，,引入状态反馈，配置希望极点后，并不改变系统零,点的状态。,3)对于n阶受控系统，当采用状态反馈时，可以调节,的参数共有n个，即k,1,，k,2,，k,n,，这显然比,单输出反馈中只能调节一个反馈系数要更容易使系统,达到最佳。,例：系统如图，要求综合指标为：输出超调量 ，峰值时间 ，系统频宽 ，对阶跃输入误差 ，对斜坡输入误差 ，试用极点配置法进行综合。,解：极点配置法综合步骤为：,1)化系统状态方程能控标准形：,系统能控标准形状态方程和输出方程为：,2)确定希望极点,希望极点数n3，其中一对互异极点s,1,，s,2,决定系统性能（2阶系统），远极点s3对系统性能仅产生微小影响。,由 得：有,由 得：取,由 得互异极点:,远极点应选择使得它和原点的距离大于,现取 ，即:,3)确定状态反馈矩阵K,原系统特征方程为,则：,而由希望极点构成的特征方程为：,则：,于是状态反馈阵K为：,4)确定闭环增益K,现闭环传递函数为,由要求的跟踪阶跃信号误差 得：,（要求）,则K=10000,对于这一初步结果，再对用跟踪速度信号的误差要求来验证：,显然满足 的要求.,5)画出对应能控标准型闭环系统方块图,对应的能控标准型状态方程为：,得能控标准型闭环系统方块图如下图所示：,在此特别指出，上述仅导出能控标准型闭环系统方块图，还应进行线性变换，得对应原系统的闭环状态方程和方块图。步骤如下：,6)确定原系统的状态方程,由原系统图得状态方程和输出方程,即：,7)确定非奇异变换矩阵,由关系式：,令,由 得 即：,得：,由 即：,得：,由 得 ，即：,得：,所以,：,8)确定原系统的状态反馈矩阵,9)画出状态反馈闭环系统方块图,5-3 状态重构,采用状态反馈可以使系统获得一系列的极为有价值的性能，而这些性能通过输出反馈往往是难以实现的。,状态反馈必须获取全部状态变量。然而在工程实际中，有些状态变量往往难以测量或根本不可能测量，因此就设想根据系统的输出及输入来估计出系统状态，使其既易于测量，又有状态反馈的优良性质。这便是状态重构问题，实现状态重构的装置称为状态观测器。见图,1)状态观测器实现的条件,线性定常系统,若系统是完全能观测的，则一定能从输出y的测量值和输入u 的测量值把任意时刻的状态 间接重构出来。为 。即系统的完全能观测是状态观测器实现的条件。证明从略。,2)状态观测器实现的方法,状态观测器最直观的实现方法是人为地构造出一个系统,同时系统 与 原系统有相同的输入，即：,则有：，其解为：,其中：分别为原系统初始状态和重构系统初始状态。如果恰好有 ，那么必有 ，即重构状态与原状态完全等价。,即由初始条件的不同而造成的状态差异是可以衰减的。随着时间的增加，这个差异衰减到充分小，就可以认为 与 等价了。,更一般地 ，从而 和 不能完全等价，但只需要系统是稳定的则有：,问题在如何加速这个衰减过程？采用的方法是测量 与 的差。通过矩阵G，反馈到重构系统中去，如图所示，图中虚线部分便是状态观测器。它实际上是原系统的一个子系统。其状态为 ，状态方程为：,与,等价,状态观测器的设计原系统与重构系统的状态方程之差为：,其解为：,状态观测器的设计任务就是要使 能迅速紧跟 使得：,合理的选择观测器反馈阵G,使矩阵（A-GC）的特征值具有负实部，这便是状态观测器的充要条件。若使特征值的负实部的绝对值足够大，就会 使迅速趋于零。,例：设计带观测器的状态反馈系 统，系统如图,其传递函数为,系统状态方程和输出方程为:,要求：状态反馈系统的闭环极点为:,相应的阻尼比为:,自然频率为:,并且假定该状态系统的,是不可测量的。,解:1)确定系统性质：rankB AB=rank,说明该系统是既能控又能观的，因此状态观测器是一定存在的，且闭环系统的极点是可以任意配置的。,rank =,2)设计状态反馈阵k 由前，原系统的特征方程为:,由希望极点构成的特征方程:,则：,由于前置放大增益为100，故状态反馈阵相应的缩小100倍即:,3)设计观测器,根据 重构状态的设计要求，希望 之差尽快衰减。设矩阵 状态观测器的特征方程为：,比较可得：,选取矩阵A-GC的特征值 远大于闭环极点(-7.07 )离虚轴的距离,所以由初始状态 之差而引起的状态观测器过渡过程将会很快衰减，保证了重构状态 能尽快的跟踪实际状态 由此得到的特征方程为：,得观测器反馈阵：G=故观测器反馈方程为：,带,观测器的状态反馈,系统如图所示:,ii）观测器的特征值必须远大于系统的特征值，这样可使由初始状态 的差引起的观测器瞬态响应很快衰减。图示表明观测器特征值选取不同数值对系统特性的影响。,4)讨论：,i）为使系统有较好的动态特性重构状态的初始值应调整到尽可能的接近实际状态的初始值图示表明了初始,值,差对系统特性的影响。,对应的观测器极点为 ，对应的观测器极点为 。,