,*,*,*,*,*,*,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,*,*,*,*,*,*,*,*,*,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,概率论与数理统计（第四版）,浙江大学 盛骤,2024/11/15,1,概率论与数理统计（第四版）浙江大学 盛骤2023/10/4,1,概率论与数理统计是研究随机现象,数量规律的一门学科。,2,概率论与数理统计是研究随机现象2,2,3,第一章 概率论的基本概念,1.1,随机试验,1.2,样本空间,1.3,概率和频率,1.4,等可能概型（古典概型）,1.5,条件概率,1.6,独立性,第二章 随机变量及其分布,2.1,随机变量,2.2,离散型随机变量及其分布,2.3,随机变量的分布函数,2.4,连续型随机变量及其概率密度,2.5,随机变量的函数的分布,第三章 多维随机变量及其分布,3.1,二维随机变量,3.2,边缘分布,3.3,条件分布,3.4,相互独立的随机变量,3.5,两个随机变量的函数的分布,3第一章 概率论的基本概念,3,4,第四章 随机变量的数字特征,4.1,数学期望,4.2,方差,4.3,协方差及相关系数,4.4,矩、协方差矩阵,第五章,大数定律和中心极限定理,5.1,大数定律,5.2,中心极限定理,第六章 数理统计的基本概念,6.1,总体和样本,6.2,常用的分布,4第四章 随机变量的数字特征,4,5,第七章 参数估计,7.1,参数的点估计,7.2,估计量的评选标准,7.3,区间估计,第八章 假设检验,8.1,假设检验,8.2,正态总体均值的假设检验,8.3,正态总体方差的假设检验,8.4,置信区间与假设检验之间的关系,8.5,样本容量的选取,8.6,分布拟合检验,8.7,秩和检验,第九章 方差分析及回归分析,9.1,单因素试验的方差分析,9.2,双因素试验的方差分析,9.3,一元线性回归,9.4,多元线性回归,5,5,6,第十章 随机过程及其统计描述,10.1,随机过程的概念,10.2,随机过程的统计描述,10.3,泊松过程及维纳过程,第十一章 马尔可夫链,11.1,马尔可夫过程及其概率分布,11.2,多步转移概率的确定,11.3,遍历性,第十二章 平稳随机过程,12.1,平稳随机过程的概念,12.2,各态历经性,12.3,相关函数的性质,12.4,平稳过程的功率谱密度,6第十章 随机过程及其统计描述,6,概 率 论,第一章,概率论的基本概念,7,概 率 论第一章概率论的基本概念7,7,8,关键词：,样本空间,随机事件,频率和概率,条件概率,事件的独立性,第一章 概率论的基本概念,8关键词：第一章 概率论的基本概念,8,9,1,随机试验,确定性现象：结果确定,不确定性现象：结果不确定,确定性现象,不确定性现象,确定,不确定,不确定,自然界与社会生活中的两类现象,例：,向上抛出的物体会掉落到地上,明天天气状况,买了彩票会中奖,91 随机试验确定性现象不确定性现象确定不确定,9,10,概率统计中研究的对象：随机现象的数量规律,对随机现象的观察、记录、试验统称为,随机试验。,它具有以下特性：,可以在相同条件下重复进行,事先知道可能出现的结果,进行试验前并不知道哪个试验结果会发生,例：,抛一枚硬币，观察试验结果；,对某路公交车某停靠站登记下车人数；,对某批电子产品测试其输入电压；,对听课人数进行一次登记；,10概率统计中研究的对象：随机现象的数量规律 对随机,10,11,2,样本空间,随机事件,(,一,),样本空间,定义：随机试验,E,的所有结果构成的集合称为,E,的,样本空间,，记为,S=e,，,称,S,中的元素,e,为,基本事件,或,样本点,S=0,1,2,；,S=,正面，反面,；,S=(x,y)|T,0,y,xT,1,；,S=x|axb,记录一城市一日中发生交通事故次数,例：,一枚硬币抛一次,记录某地一昼夜最高温度,x,，最低温度,y,记录一批产品的寿命,x,112 样本空间随机事件(一)样本空间S=0,1,2,11,12,(,二,),随机事件,一般我们称,S,的子集,A,为,E,的,随机事件,A,，当且仅当,A,所包含的一个样本点发生称事件,A,发生。,S,0,1,2,；,记,A,至少有,10,人候车,10,11,12,S,，,A,为随机事件，,A,可能发生，也可能不发生。,例：,观察,89,路公交车浙大站候车人数，,如果将,S,亦视作事件，则每次试验,S,总是发生，,故又称,S,为,必然事件,。,为方便起见，记,为,不可能事件,，,不包含,任何样本点。,12(二)随机事件S0,1,2,；记 A至少,12,13,(,三,),事件的关系及运算,事件的关系（包含、相等）,例：,记,A=,明天天晴,，,B=,明天无雨,记,A=,至少有,10,人候车,，,B=,至少有,5,人候车,一枚硬币抛两次，,A=,第一次是正面,，,B=,至少有一次正面,S,A,B,13(三)事件的关系及运算SAB,13,14,事件的运算,S,B,A,S,A,B,S,B,A,A,与,B,的和事件，记为,A,与,B,的积事件，记为,当,AB=,时，称事件,A,与,B,不相容的，或互斥的。,14 事件的运算SBASABSBA A与B的和事件，记为,14,15,“,和”、“交”关系式,S,A,B,S,例：设,A,=,甲来听课,，,B,=,乙来听课,，则：,甲、乙至少有一人来,甲、乙都来,甲、乙都不来,甲、乙至少有一人不来,15 SABS 例：设A=甲来听课，B=乙来听,15,16,3,频率与概率,(,一,),频率,定义：记,其中,A,发生的次数,(,频数,),；,n,总试验次 数。称 为,A,在这,n,次试验中发生的,频率,。,例：,中国国家足球队，“冲击亚洲”共进行了,n,次，其中成功了一次，则在这,n,次试验中“冲击亚洲”这事件发生的频率为,某人一共听了,17,次“概率统计”课，其中有,15,次迟到，记,A=,听课迟到,，则,#,频率 反映了事件,A,发生的频繁程度。,163 频率与概率(一)频率,16,试验,序号,n,=5,n,=50,n,=500,n,H,f,n,(,H,),n,H,f,n,(,H,),n,H,f,n,(,H,),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,2,3,1,5,1,2,4,2,3,3,0.4,0.6,0.2,1.0,0.2,0.4,0.8,0.4,0.6,0.6,22,25,21,25,24,21,18,24,27,31,0.44,0.50,0.42,0.50,0.48,0.42,0.36,0.48,0.54,0.62,251,249,256,253,251,246,244,258,262,247,0.502,0.498,0.512,0.506,0.502,0.492,0.488,0.516,0.524,0.494,表,1,例：抛硬币出现的正面的频率,试验n=5n =50n=500nHfn(H)nHfn(,17,18,实验者,n,n,H,f,n,(,H,),德,摩根,2048,1061,0.5181,蒲 丰,4040,2048,0.5069,K,皮尔逊,12000,6019,0.5016,K,皮尔逊,24000,12019,0.5005,表,2,18实验者nnHfn(H)德摩根204810610.518,18,19,*,频率的性质：,且 随,n,的增大渐趋稳定，记稳定值为,p,19,19,20,(,二,),概率,定义,1,：的稳定值,p,定义为,A,的概率，记为,P(A)=p,定义,2,：将概率视为测度，且满足：,称,P(A),为事件,A,的,概率,。,20(二)概率,20,21,性质：,21性质：,21,22,4,等可能概型（古典概型）,定义：若试验,E,满足：,S,中样本点有限,(,有限性,),出现每一样本点的概率相等,(,等可能性,),称这种试验为,等可能概型,(,或古典概型,),。,224 等可能概型（古典概型）定义：若试验E满足：称这种试,22,23,例,1,：一袋中有,8,个球，编号为,1,8,，其中,1,3,号为红球，,4,8,号为黄球，设摸到每一,球的可能性相等，从中随机摸一球，,记,A=,摸到红球,，求,P(A),解：,S=1,2,8,A=1,2,3,23例1：一袋中有8个球，编号为18，其中13 号为,23,24,例,2,：从上例的袋中不放回的摸两球，,记,A=,恰是一红一黄,，求,P(A),解：,（注：当,Lm,或,Lm或L0,，,i=1,2,n,；,则称：,为,全概率公式,B,1,B,2,B,n,S,A,证明：,定理：接上定理条件，,称此式为,Bayes,公式。,36 定理：设试验E的样本空间为S，A为E的事件。B1,B,36,37,*,全概率公式可由以下框图表示：,设,P(B,j,)=p,j,P(A|B,j,)=q,j,j=1,2,n,易知：,S,P,1,P,2,P,n,.,.,.,B,2,B,1,B,n,.,.,.,q,2,q,1,q,n,A,37*全概率公式可由以下框图表示：SP1P2Pn.B2B1,37,38,例：一单位有甲、乙两人，已知甲近期出差的概率为,80%,，,若甲出差，则乙出差的概率为,20%,；若甲不出差，,则乙出差的概率为,90%,。,(1),求近期乙出差的概率；,(2),若已知乙近期出差在外，求甲出差的概率。,Bayes,公式,全概率公式,解：设,A=,甲出差,，,B=,乙出差,38例：一单位有甲、乙两人，已知甲近期出差的概率为80%，,38,39,例：根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有,5%,的假阳性及,5%,的假阴性：若设,A=,试验反应是阳性,，,C=,被诊断患有癌症,则有：已知某一群体,P(C)=0.005,，问这种方法能否用于普查？,若,P(C),较大，不妨设,P(C)=0.8,推出,P(C|A)=0.987,说明这种试验方法可在医院用,解：考察,P(C|A),的值,若用于普查，,100,个阳性病人中被诊断患有癌症的,大约有,8.7,个，所以不宜用于普查。,39 例：根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有5%若P,39,40,6,独立性,例：有,10,件产品，其中,8,件为正品，,2,件为次品。从中取,2,次,每次取,1,件，设,A,i,=,第,i,次取到正品,，,i=1,2,不放回抽样时，,放回抽样时，,即放回抽样时，,A,1,的发生对,A,2,的发生概率不影响,同样，,A,2,的发生对,A,1,的发生概率不影响,定义：设,A,，,B,为两随机事件，,若,P(B|A)=P(B),，即,P(AB)=P(A)*P(B),即,P(A|B)=P(A),时，称,A,，,B,相互独立,。,406 独立性 例：有10件产品，其中8件为正品，2件为,40,41,注意：,41,41,42,例：甲、乙两人同时向一目标射击，甲击中 率为,0.8,，乙击中率为,0.7,，求目标被击中的概率。,解：,设,A=,甲击中,B=,乙击中,C=,目标被击中,甲、乙同时射击，其结果互不影响，,A,，,B,相互独立,42 例：甲、乙两人同时向一目标射击，甲击中 率为0.8，,42,43,例：有,4,个独立元件构成的系统,(,如图,),，设每个元 件能正常运行的概率为,p,，求系统正常运行的,概率。,1,4,3,2,注意：这里系统的概念与电路,中的系统概念不同,43 例：有4个独立元件构成的系统(如图)，设每个元,43,44,44,44,45,总结：,45总结：,45,46,复习思考题,1,1.,“,事件,A,不发生，则,A=,”,对吗？试举例证明之。,2.,“,两事件,A,和,B,为互不相容，即,AB=,则,A,和,B,互逆”，对