单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,15-2函数的最大值与最小值,15-2函数的最大值与最小值,1,复习旧知识：,1、,f,(,x,0,),是函数,f,(,x,),的一个极大值这一概念是怎样叙述的？,2、,f,(,x,0,),是函数,f,(,x,),的一个极小值这一概念是怎样叙述的？,3、求函数的极值的步骤是哪四步？,复习旧知识：,2,0,x,y,a,b,x,0,y=f,(,x,),f,(,x,0,),f,(,b,),0 xyabx0y=f(x)f(x0)f(b),3,一、函数的最大值与最小值,定义:设,f,(,x,),是区间,a,b,上的连续函数，如果存在点,x,0,a,b,，,使得对于所有,x,a,b,，,都有,f,(,x,),f,(,x,0,)（,或,f,(,x,),f,(,x,0,)），,则称,f,(,x,0,),是函数,f,(,x,),在,a,b,上的最大值（或最小值）。,最大值和最小值统称最值。,一、函数的最大值与最小值,4,0,x,y,a,b,x,0,y=f,(,x,),f,(,x,0,),f,(,b,),最大值,最小值,可以看出,函数在区间,a,b,上的最大值和最小值要么是区间端点的函数值，要么是极值。而极值点又包括在驻点中，因此我们只要把驻点的函数值及区间端点的函数值都求出来，放在一起比较大小，就能找出最大值和最小值来。最大值和最小值统称最值。,0 xyabx0y=f(x)f(x0)f(b)最大值最小,5,求函数最值的一般方法：,先求出,f(x),在,a,b,内的所有驻点（或不可导但连续的点），,将这些点的函数值与区间端点的函数值,f(a),f(b),进行比较，,其中最大（小）的就是函数在区间,a,b,上的最大（小）值,求函数最值的一般方法：,6,例1：求函数 在区间-4，4上的最值,解：,令 ，解之得驻点,驻点函数值 端点函数值,比较以上函数值的大小，可得,函数的最大值为 最小值为,例1：求函数,7,注：如果连续函数,f(x),在区间（有限或无限，开或闭）内只有一个驻点,x,0,，,而这个驻点又是极值点，那么，当,f(x,0,),是极大值时，它就是最大值；当,f(x,0,),是极小值时，它就是最小值。,y,a,x,0,b,x,o,x,a,x,0,b,o,注：如果连续函数f(x)在区间（有限或无限,8,练习:,习题15-2 第 题,9,二、函数最值应用问题举例,在工农业生产，科学技术研究和经营管理中，常常会遇到在一定条件下，怎样使用料最省，产量最多，成本最低，效益最大等最优化问题。这些问题通常可以用数学上求函数的最大值或最小值的办法来解决。,下面的实际应用问题，我们曾经建立过它的数学模型。,二、函数最值应用问题举例 在工农业生产，科学技术研究,10,例题1：有一边长为48厘米的正方形铁皮，从它的四个角截去相等的小正方形，然后折起各边做一个无盖的铁盒，问在四角截去多大的小正方形，才能使所做的铁盒容积最大？,48,48-2,x,x,48-2,x,x,例题1：有一边长为48厘米的正方形铁皮，从它,11,解：（1）设截去的小正方形边长为,x,盒子的容积为,y.,盒子容积即长方体体积，等于,底面积乘高，即,盒子容积与截去的小正方形边长,之间的函数关系为,48,48-2,x,x,48-2,x,x,解：（1）设截去的小正方形边长为x,盒子的容积为y.4848,12,（,2,）问题转化成求容积,y,的最大值，同时求出小正方形边长,x,.,由上一节求函数最值的程序，应先求导数及驻点。,（2）问题转化成求容积 y 的最大值，同时求出小正方形边长x,13,令 解之得驻点 （此根不在定义域范围，舍去）,（3）由上一节求函数最值的程序，应把驻点的函数值与闭区间端点的函数值进行比较，但这是开区间，没有端点，又只有一个驻点，根据常识，铁盒必然存在一个最大容积，因此这个驻点就是使函数（铁盒容积）取最大值的最大值点。即,当截去的小正方形边长为,8,（厘米）时，使铁盒容积最大。,令 解之得驻点 （,14,（1）设出自变量和函数的字母，列函数式，并找出自变量取值范围。,（2）求导数，并求 的根，即驻点。,（3）如果定义域为闭区间，则用求函数最值的办法求解。,如果定义域为开区间，且只有一个驻点，那么这个驻点就是这个实际问题的最大值点或最小值点。,由上例可以得出求实际应用问题最大值和最小值的一般步骤：,（1）设出自变量和函数的字母，列函数式，并找出自变量取值范围,15,互动练习题:,如图,靠墙建一个矩形的猪圈,现只有围60米的建筑材料.,问长和宽怎样选取,可以使猪圈的面积最大?,x,互动练习题:x,16,小结:,1,求函数最值的一般方法：,先求出,f(x),在,a,b,内的所有驻点（或不可导但连续的点），,将这些点的函数值与区间端点的函数值,f(a),f(b),进行比较，,其中最大（小）的就是函数在区间,a,b,上的最大（小）值,小结:1,求函数最值的一般方法：,17,2,求实际应用问题最大值和最小值的一般步骤：,（1）设出自变量和函数的字母，列函数式，并找出自变量取值范围。,（2）求导数，并求 的根，即驻点。,（3）如果定义域为闭区间，则用求函数最值的办法求解。,如果定义域为开区间，且只有一个驻点，那么这个驻点就是这个实际问题的最大值点或最小值点。,2,求实际应用问题最大值和最小值的一般步骤：（1）设出自变,18,课后作业,辅导与测试：,P,课后作业辅导与测试：,19,